新題薈萃

田彥武　宋　云　周少兵

題1 閱讀材料題

閱讀下列文字，完成下列各題：

對于任意實數x，符號[x]表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數.在實數軸（箭頭向右）上[x]是在點x的左側的第一個整數點，當x是整數時，[x]就是x.這個函數[x]叫做“取整函數”，也叫高斯（Gauss）函數，它在數學本身和生產實踐中有著廣泛的應用.例如在學習和使用計算機時，在算法語言中，就有這種取整函數；再如電話中的電信資費和坐出租車時的路費（超過起步價）等常常要用到這個函數.

點評 本題屬于閱讀理解性的信息遷移型試題，主要考查即時性定義問題，考查方程、不等式的解法.信息遷移題是指以考生已有的知識為基礎，并給出一定容量的新的定義信息，通過閱讀獲取有關信息，捕捉解題資料，發現問題的規律，找出解決方案，并應用于新問題解答的一類題目.本題以著名的高斯函數作為背景和資料，考查學生對新情景的適應和對新情景中數學問題本質的理解，考查學生的學習閱讀理解能力、邏輯思維能力、應用能力、創新能力和整合數據的能力，這種題型必將成為未來高考的熱門題型.尤其是一道題中涵蓋了選擇、填空和解答三種常見的題型，打破常規，頗有風味.

題2 探究創新題

點評 “以能力立意”是新高考數學命題的指導思想．高考在考查數學基礎知識的同時，注重數學學科的內在聯系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面．從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡的“交匯點”處設計試題，是近年來高考數學命題的一大亮點．新課標也“倡導積極主動、勇于探索的學習方式和注重提高學生的數學思維能力”的基本理念.為此，新課標教材中很多地方設置了“閱讀與思考”“信息技術應用”“探究與發現”等欄目．教材設置這些欄目的主要目的不僅是為學生提供豐富的具有思想性、實踐性、挑戰性的，反映數學本質的選學材料，拓展學生的數學活動空間，發展學生“做數學”“用數學”的意識，而更重要的是通過這些欄目展現數學的科學價值和人文價值．正如配套教師用書中的《說明》所言：“在知識形成過程的‘關鍵點上，在運用數學思想方法產生解決問題策略的‘關節點上，在數學知識之間聯系的‘聯結點上，在數學問題變式的‘發散點上，在學生思維的‘最近發展區內，教材通過‘思考‘探究等欄目，提出恰當的、對學生數學思維有適度啟發的問題，引導學生的思考和探索活動，使他們經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改變學生的學習方式．”課標同時指出：“數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，初步嘗試數學研究的過程，體驗創造的激情，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出、解決問題的能力；有助于發展學生的創新意識和實踐能力．”本題正是基于這些基本理念的基礎上，通過人教A版（2005年6月第1版）教材選修2-1第45頁例6，第47頁B組題第2題，第48頁的“信息技術應用”，第57頁例5和第59頁B組題第3題等改編而來，難度并不大，但可以作為今后高考命題的一種新嘗試.

（以上兩題均由寧夏銀川九中 750001 田彥武老師提供并作解答和點評）

點評 本題綜合考查了向量的坐標運算，三角函數的最值、單調性、奇偶性及三角函數的圖象變換等基礎知識，同時涉及到了待定系數法、分類討論及化歸等數學思想方法.

（本題由寧夏銀川九中 750001 周少兵老師提供并作解答和點評）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”