正四面體外接球和內切球的半徑的求法

李鳳華

題 已知正四面體ABCD的棱長為a，求其外接球的半徑R和內切球的半徑r.

分析 如圖1，因為正四面體ABCD的外接球的球心O到點B，C，D的距離相等，所以O在平面BCD內的射影O₁到點B，C，D的距離也相等. 又因為在正四面體ABCD中△BCD是正三角形，所以O₁是△BCD的中心，進而在正四面體ABCD中,有AO₁⊥平面BCD，所以球心O在高線AO₁上;同理:球心O也在其它面的高線上. 又正四面體ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD,得:點O到正四面體各面的距離相等，所以點O也是正四面體ABCD的內切球的球心. 這樣，正四面體的內切球的球心與外接球的球心重合. 記正四面體ABCD的高為h，則 . 因此，只要求出r和R中的一個，便可求出另一個.

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