由《課程焦點》透視美國數學課程改革現狀

[摘 要] 全美數學教師協會于2006年9月12日發布了《課程焦點》報告，對2000年的《數學課程與評價標準》作了補充說明，力求在保持創造#65380;發展的同時，強調數學基礎的重要性，成為美國數學課程改革的新方向。通過《課程焦點》透視美國數學課程改革現狀，反思我國當前新一輪數學課程改革，得到以下三點啟示；(1)進一步提高教師素質，積極開展數學教學研究，不斷提高數學教師對數學課程改革的認識；(2)正確處理“雙基”與“創新”的關系；(3)重視“數學教學回歸生活世界”，加強數學與其他學科的聯系.

[關鍵詞] 《課程焦點》報告；美國教育；數學教育；課程改革；啟示

[中圖分類號] G511 [文獻標識碼] A[文章編號] 1672-1128(2008)03-0042-06

一#65380;問題的提出

當前，我國中小學掀起了一場轟轟烈烈的基礎教育課程改革浪潮。應該說，新課程改革實行這幾年以來，得到了廣大教師的高度認可以及媒體和社會公眾的廣泛關注與熱情支持；然而，對于新課程改革的成效卻一直處于爭論之中。在2005年的兩會期間，北京大學數學科學院教授#65380;中國科學院院士姜伯駒先生聯合90名全國政協委員聯名呼吁，從2005年秋季入學起，立即停止推行《義務教育數學課程標準》，盡快修訂新的數學課程標準。① 不僅數學家在關注著新一輪課程改革并提出了建設性的建議，同時，新課改也引起了國家最高領導人的高度重視。2006年6月5日，胡錦濤總書記在兩院院士大會的講話中指出；“要改變單純灌輸式的教育方法，探索創新型教育的方式方法，在尊重教師主導作用的同時，更加注重培養學生的主動精神，鼓勵學生的創造性思維。” 而新課程標準中明確界定教師的作用是“組織者#65380;引導者#65380;合作者”。在《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》的基本理念中，沒有強調“基礎知識和基本技能”的掌握，沒有強調教師的主導作用，實行啟發式教學也不見了。② 似乎這些已成為了破壞學生“自主性”和創新意識的罪魁禍首!我們不禁感到困惑；這到底是所謂的“旁觀者清”，還是新課改中出現了“矯枉過正”的現象?2006年7月31日溫總理探望錢學森，錢學森說；科學技術要有創造，必須懂得文學#65380;藝術#65380;音樂。溫總理指出；我們的教育還有一些問題。③ 那么，具體到數學教育這一方面，到底存在哪些問題?我們又應當保持怎樣清醒的認識并在不斷的摸索與反思中找到相應的有效的解決對策?他山之石，可以攻玉。現今，東西方數學教育正在尋求基礎與發展之間的平衡。本文以美國《課程焦點》為切入點透視美國數學課程改革現狀，以期能對我國的新一輪數學課程改革及當前數學教育發展現狀有一個更深刻的認識。

二#65380;美國《課程焦點》的內容簡介

全美數學教師理事會(National Council of Teachers of Mathematics，NCTM)于2006年9月12日發布了《從學前班到8年級的課程焦點；追求連貫性》(Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade 8 Mathematics；A Quest for Coherence)(本文其他各處簡稱為《課程焦點》)的數學課程報告。報告中明確提出了“學生從學前班到8年級每個階段應該學習和掌握的重要數學知識，同時將‘回歸基礎’的理念貫穿其中”，成為美國課程改革的新方向④。

2005年，兩位美國數學家R.James Milgram#65380;Wilfried Schmid和三位資深數學教育專家Deborah Loewenberg Ball#65380;Joan Ferrini-Mundy和Jeremy Kilpatrick進行對話，最后達成了“十點共識”。現簡介如下；⑤

(1)數字方面的基本技能對于多樣化的日常應用仍然是十分重要的。

(2)數學需要使用有關精確定義的對象及概念進行小心推理。

(3)學生必須能夠明確地表述問題和解決問題。

(4)快速回憶(Quick Recall)基本事實。在整數運算中，計算的流暢性(Fluency with Operation)是關鍵的。

(5)必須慎重使用計算器。

(6)學生應該能夠熟練地使用整數運算的法則。

(7)分數的數學意義是十分重要的。分數的運算是代數學習的重要基礎。

(8)數學教學中的“現實”背景。

(9)學生能夠通過直接教學#65380;結構化的調查和開放式的探究組合進行有效的學習。確保學生獲得正確的數學理解和結論是數學教師的責任。作出明智的教學策略依賴于教師深厚的學科知識功底。

(10)有效的數學教學依賴于深刻理解的學科知識。

這份于2006年9月12日發布的《課程焦點》是原有的全美數學教師理事會標準的一個延伸。因而在《課程焦點》中，原有標準所涉及的內容與“焦點”的聯系得到了專門的標注。《課程焦點》的內容僅限于課程，而不包括教學策略，也不包括用來幫助學生學習的教學手段。⑥ 也就是說，制定《課程焦點》的目的只是解決“教什么”的問題，而不解決“怎么教”的問題。對于學生從先學前班到8年級每一個年級，《課程焦點》都有對學生必須掌握的概念的描述，分為數及運算#65380;基本代數#65380;測量和幾何四大類。年級越高，對這幾方面的要求也就越高。⑦ 整個《課程焦點》報告包括前言與說明#65380;正文以及附錄#65380;參考文獻等幾個部分。其中，《課程焦點》明確指出了美國當前數學教育中存在的問題，并闡述了實施的重要性。另外，為了配合2000年公布的《學校數學的原則和標準》的使用，在報告的附錄部分，還將課程焦點的知識點和2000年的數學課程進行了對比，并且用不同顏色與標識清晰地展現了這兩份報告關于數學課程的不同闡釋。⑧

三#65380;由《課程焦點》透視美國數學課程改革現狀

縱觀《課程焦點》出現的相關背景，⑨我們可以看到，美國的教育改革道路是曲折的。美國數學課程在不斷的變化和改革中前進，其數學教育的發展現狀呈現如下特點；⑩

1.重視數學教師的專業知識學習，引領數學教師樹立終身學習的觀念，切實提高數學教師的素養

教師是課程改革的主力軍!正如“十點共識”中提到的{11}；“確保學生獲得正確的數學理解和結論是數學教師的責任。作出明智的教學策略依賴于教師深厚的學科知識功底”，“教師必須能夠做他們要教的數學”，“并說明教學的觀點和秩序，能夠建立主題同主題之間的聯系”。所以在后來的“如何使用課程焦點”這一問題上，文件就非常有針對性地提出了如下要求{12}；“為了達到課程焦點所要求的深度#65380;理解和熟練，在教授學生時為了取得最好的成績，教師自身需要深入理解數學知識，并能夠理解數學知識之間的關系”#65380;“基于課程焦點的有效的教學，需要職前教師深入的準備，更需要在職教師持續的專業發展”。很明顯，美國也認識到《課程焦點》精神能否有效落實#65380;數學課程改革成功與否是與數學教師自身的專業素養和教學技能掌握情況休戚相關的!然而，據有關資料顯示，在美國，“有28%的中學數學教師沒有主修或兼修數學課程。將近一半的數學教師只學過他所教的數學課程。” {13} 美國原有的數學課程知識點較多，教師通常需要將很多的數學主題教給每一年級的學生，而許多年級的數學主題年年重復。長期以來，批評者嘲笑美國的數學教育是“寬一英里，深一英寸”的#65380;“廣而不深”的模式，教師帶著學生從一個主題跳躍到另一個主題，卻不強調對重要概念的掌握，而教師對哪些內容最重要也缺乏鑒別。NCTM的主席芬奈爾先生說；“為什么要讓一個三年級的學生拖著一本厚達738頁的課本上學?你不能說這738頁每一頁都是同等重要的。”{14} 這也間接地反映了這一現實!

針對美國數學教師所處的“尷尬”境地；美國數學教育界賦予教師作用的美好憧憬——教師在文件精神的落實和課程改革中的舉足輕重的作用——與目前數學教師自身所具備的專業素養不足之間的矛盾，美國數學教育界已有了清醒的認識并采取了積極行動。我們從《課程焦點》實行的重要性中就可以窺之一二； “數學學習是一個不斷積累的過程”#65380;“高年級的數學學習應該建立在前面數學學習知識的基礎之上”，課程應該提供給學生更好地幫助其“努力學習重要的數學知識”的機會。{15} 同時，對于數學教師“不強調對重要概念的掌握，而教師對哪些內容最重要缺乏鑒別”#65380;“缺乏清晰#65380;連貫的優先知識和課程的重點指導，教師很難有時間再去對重要的數學知識進行深入而卓有成效的講解”{16}以及美國Center for Mathematics Education，Newton，MA的主任AI Cuoco在為意大利數學家寫的一篇對美國數學教育作了較全面介紹的報告中談到的；“我極少見到完全不關心學生的教師，也極少見到極努力幫助學生成功的教師”，{17} 諸如此類的現狀，《課程焦點》就明確提出，“可以使教師每年有更多的時間對額外的數學課程重點加以研究，學生也有機會對題目進行更深入的探索和研究，對相關的數學應用也會有興趣，這樣就能夠促進學生加深對數學的理解”。{18} 此外，為了使數學教育更有協調性和目的性，美國近年來還曾提出了一個文件(MET報告)，其中也有針對性地提出了如下建議；“優秀教師必須對自己所教的數學有深刻的理解”#65380;“優秀的中學數學教師必須曾在大學中主修數學，而且在最后一年上過兩學期怎樣把大學和中學的數學聯系起來的課程”#65380;“教師需要終身都有提高數學和教學能力的機會”。{19} 的確，數學教學成功與否取決于數學教師的專業競爭能力及關心學生的程度——是否教所有的學生懂得數學及應用它。對于這一點，美國數學教育界已經有了更深刻的認識!

2.“回歸基礎”重登美國數學教育的“大雅之堂”

多年來，美國教育界認為強調“教師主導#65380;演講示范；學生模仿，關注記憶#65380;心算#65380;練習”這些東方國家所崇尚的教育理念是落后的，是與其所主張的“學生自由發展#65380;張揚個性#65380;兒童中心#65380;教育生活化”以及所謂的“教育即社會，社會即教育”#65380;“發現教育”#65380;“建構主義教育”等是格格不入的，因此，不予理睬!美國民眾普遍意識到；當前美國數學教育中的理論錯誤和實踐偏差，關鍵就是忽視基礎，缺少東方國家學生所具有的熟練數學基礎；{20}“美國學生在國際數學競賽中屢次表現不佳而東亞國家卻屢獲殊榮”這一局面的出現也是不難預料的；美國學生數學基礎的薄弱程度與其所追求的“數學教育強國”形象是完全不符的。因此，美國數學教育界“從來不提向東方學習，更不會向中國的數學教育學習點什么”{21} 的思想需要轉變!而在“十點共識”中這種轉變就提到了體現；“數字方面的基本技能對于多樣化的日常應用仍然是十分重要的。這些技能為更高級的數學學習提供了重要的基礎”，“學生應該能夠熟練地使用整數運算的法則”{22}等等。或許是“吃一塹，長一智”吧，這次發布的《課程焦點》文件就“明確地向東方教育理念靠攏”{23}。正如美國教育部前任高官小芬恩針對新公布的《課程焦點》所稱道的；“這絕對是一場回歸基礎的勝利，從建構學習轉向基礎教學，美國大部分人都認為這是非常重要的。”{24}

3.全民積極參與討論數學課程改革問題

從《課程焦點》產生的背景中，我們發現；近十年來， 美國的“數學戰爭”一直沒有平息過{25}，批評爭論之聲不絕于耳。1999年11月8日，美國《華盛頓郵報》刊登了有近200名數學家#65380;物理學家簽名的給教育部長賴利的公開信中就批評了對“小學四則運算中‘算法’的忽視”，主要批評矛頭是針對“忽視基本運算能力的”；各界人士還就公開信中談及的 “提高算術計算能力的唯一方法，甚至是最好的方法，是用‘紙和筆’的運算”這一問題展開了辯論，最終美國從事數學教育的13位大學教授發表聲明表示了對這一觀點的不認同，認為這一說法“沒有理論研究和實踐經驗的支持”，在21世紀即將來臨的時刻，使用計算器和計算機進行計算是必然的事。{26} 此外，美國還就“什么是教數學的最有效的方法”有過一場激烈的辯論，參與人員涉及著名數學家#65380;政府高官#65380;家長#65380;教師#65380;企業家；有過一些關于數學教學的電視節目，有幾次，人們還到國會去聽證。{27}我們可以看到，美國社會各界對于當前數學課程改革中出現的問題給予了熱切關注。

縱觀美國數學課程改革中從教學策略的選擇到教學手段的采用，美國數學家和數學教育家之間的分歧與爭論從未中斷過。正如NCTM的前一任主席凱茜#8226;L#8226;西萊所說的，“也許我們還需要再討論15年才能更加清楚地明白每個人究竟在說什么。”{28}的確，任何一種教育理念都需要在不斷的實踐與探索中加以完善。對于課程改革中出現的現象，哪怕是假象，都值得我們運用實事求是的科學態度去弄清其原因。因為改革關乎國家的未來!真理越辯越明，美國《課程焦點》的出臺，也不禁讓西萊感嘆；“一次又一次地讓我感到震驚的是我們真的是共識多于分歧。”{29}

可以說，美國的數學教育是在數學家和數學教育家之間的不斷“論爭”中逐步走向完善的。美國數學教育界積極鼓勵數學家參與到數學教育改革的洪流當中并認為他們是可以作出貢獻的，事實證明的確如此。如美國大多數數學家現在懂得了，要有高的教學質量，數學專業水平是必要的，但是還不夠。教師和教育家有許多專業的知識可貢獻于改進數學教育。反過來也是一樣。美國的課程與評價標準的修訂就有美國數學會#65380;美國數學協會和許多數學家的共同參與。{30}

4.辯正看待數學教學與現實生活的聯系

美國在對待具體的數學教學與現實生活的聯系時，是十分辯正的。我們可以從“十點共識”關于“數學教學中的‘現實’背景”中窺見一斑!通過應用問題進行數學教學，可能有助于激發動機和導入數學觀點。然而，這種方法不應該被提升到一個一般的原則。如果，所有學校數學都要使用現實問題進行教學，那么一些重要的主題就得不到適當的關注。教師必須小心選擇背景。他們需要有選擇地使用現實問題或數學應用把學生注意力集中到通過問題來發展的數學思想上來。{31}

四#65380;對我國數學課程改革的啟示

1.進一步提高教師素質，積極開展數學教學研究，不斷提高數學教師對數學課程改革的認識

新一輪數學課程改革，使得廣大數學教師在了解數學課程#65380;執行新課標#65380;使用數學新教材時面臨著前所未有的挑戰——課程理念的挑戰#65380;課程目標的挑戰#65380;課程實施的挑戰#65380;課程評價的挑戰……隨著數學新課程標準的實施，奮戰在數學教育第一線的數學教師們已經深切地感受到，為了盡快適應這場課程改革，數學教師必須改變教學觀念，積極投身到這場史無前例的數學教育改革中。當前，數學教師已經逐漸形成了重研討#65380;重反思#65380;重互助的新型教研氛圍，有力地促進了教師整體素質的提高。{32}但不少教師對課程標準的理念和內容沒有進行深入學習，因而缺乏了解，存在某種焦慮甚至抵觸情緒；某些實驗班的教師對實驗教材前后相關的教學內容缺乏整體的了解；高中的新課程標準讓廣大的高中數學教師畏懼，因為“許多選修課的內容他們并沒有學過”；就連初中老師也“感到不好教，因為現在的課程內容涉及的知識面很廣，他們沒法面面俱到。”{33} 因此，新一輪課程改革對我國數學教師提出了嚴峻的挑戰。進一步加強數學教育師資力量，提高數學教師素質，引導教師理解數學課程標準，已經成為人們的共識。

同時，教育要改革，科研要先行。為了確保數學教育改革的順利進行，培養數學創新人才，必須提高數學教師的素質，數學教師不能僅僅充當一名“教書匠”，還必須具備一定的研究意識和研究能力。為此，數學教師在課程改革過程中積極開展科學研究顯得很有必要。

另外，在我國的數學課程改革中，雖然不少數學家已經積極投身到改革的浪潮中，但仍需加大數學教育界包括數學家#65380;數學教育家#65380;一線數學教師乃至國家領導人#65380;家長和學生之間的“對話”力度，同時兼顧數學教育改革的決策者#65380;實施者以及被實施對象。畢竟，我國的新一輪數學課程改革是一場自上而下的改革，改革進程中各種教育理念是否符合教育規律還有待在一線數學教育教學的具體實踐中進一步檢驗。

2.正確處理“雙基”與“創新”的關系

美國在飽嘗“忽視基礎”之苦后作出了 “回歸基礎”的決策，尤其是《課程焦點》的出臺，“成為回歸基礎與建構主義爭論終結的標志”。{34} 我們有理由相信；這是美國數學教育界“吃數塹，長一智”后的明智之舉。眾所周知，我國的數學教學歷來重視基礎知識和基本技能的教育，即所謂的“數學雙基教學”，其含義是；在掌握基礎知識和基本技能的基礎上，謀求學生的發展。它在教育學上主張——運算速度；速度導致效率；程序記憶；記憶通向理解；精確表示；邏輯保證精確；練習操作；通過變式改進重復。{35} 而這次《課程焦點》中卻出現了以下令國人覺得“似曾相識”的字眼，諸如；“Quick Recall”，即要求“快速回憶”某些內容；“Fluency with Operation”，即“計算的流暢性”。既然要回憶，就先要記憶，必須牢固記憶，才能“快速回憶”{36}；而計算流暢性的重要組成部分是效率和正確性。最終，流暢性需要基本數字的快速#65380;自動化的回憶。{37} 這與“學生發現才是學生學習的正確方法”#65380;“知識主要靠學生自己去建構”的美國傳統教育理念是完全不同的；當美國的數學教育改革正在努力尋找“雙基”與“創新”的平衡點之時，我們不禁要問；中國的數學教育改革與發展之路所指何方?針對《課程焦點》，張奠宙先生等人給予了高度的關注并提醒我們的國人； “美國聚焦的地方，正是我們視而不見#65380;打算舍棄乃至批判否定的東西。”{38} 當我們在“發現學習”#65380;“建構主義”等令人眼花繚亂的西方教育理念大超市“樂不思蜀”地“淘寶”時，我們是否想過還要回頭再辯證地審視我們自己的“國寶”——中國數學“雙基”教育，而不是片面地認為都是落后的{39}?

3.重視“數學教學回歸生活世界”，加強數學與其他學科的聯系

北京師范大學的嚴士健教授認為“我們現今的數學教育并沒有給予人們關于數學與自然#65380;社會等各方面的關系的比較完整的認識，只是把數學看成附加于社會的一種知識#65380;技能和工具。”{40}盡管中國學生在許多國際數學測查中屢獲佳績，但較之歐美日等發達國家，我們的學生在創造力#65380;遷移能力以及解決實際問題等能力方面還存在顯著差距。而要解決這一現狀，讓“數學教學回歸生活世界”不失為一種值得嘗試的有效途徑。數學源于生活又讓其回歸生活，教師把源于生活娛樂的問題搬進課堂，比如當前掀起的“全民炒股熱”#65380;“節假日商場大肆宣揚的‘大甩賣’#65380;‘滿400減200’等活動”，引導學生運用數學知識揭開其中的奧妙和內幕。這樣，學生既感到學習內容新鮮有趣而不是枯燥反復的練習運算，又能使學生掌握現實生活中的多種操作技能，讓他們感受到“生活中處處有數學，處處要用到數學”{41}，“數學是鮮活而有生命的”，{42} 從而激發他們對日常生活問題探討的興趣，真正體現數學的應用價值。

隨著社會的不斷發展，數學在社會生活中的作用越來越明顯，高科技的本質是數學，數學是科學的工具和語言，數學的思維方式和文化精神不斷被人們接受。由于數學自身的特點和人類社會的不斷進步，數學在現代文化中已經扮演著中心角色。當代文化發展的重要特征之一就是數學化，數學的方法#65380;思想與精神不僅在自然科學和工程技術領域中起著重要的作用，而且正在以越來越快的速度滲透到社會科學的各個領域，顯示出巨大的推動作用和啟發作用。事實上，早在100多年前，馬克思就指出；“一門學科只有在成功地應用數學時，才算達到了真正完善的地步。”

然而，長期以來，數學教育人為割斷各學科之間的內在聯系，使數學成為一門非常抽象#65380;難懂而又沒有應用價值的學科。對此，張奠宙先生就指出，“數學是人做出來的，必然有人的思想#65380;情感#65380;感覺，社會文化#65380;歷史文化在起作用，無論數學#65380;科學和人文科學，創造性的思維源泉往往是相通的”，“數學是一種文化”，“支撐數學的基礎在于它的文化價值”，“正如音樂不等于音符節拍，美術不等于線條顏色；數學不等于邏輯程式，不然的話，光彩照人的數學女王，就會變成一副X光照片下的骨架!”張先生同時談到“揭示數學思想的本質當然是第一位的，除此之外，我們也可以增加一些人文的#65380;文學的#65380;美學的色彩，使人容易接近，尤其在思想意境上能夠比較接近，畢竟數學和其他學科都是人創造的，彼此一定能夠互相溝通!”{43} 數學教育不僅傳授數學知識，更要注重數學思想的傳授。同時，注重與各門學科的聯系，讓數學返璞歸真，回歸到與生活實際中，讓學生意識到數學應用的價值，提高數學學習的興趣，從而全面提高數學教育質量。

五#65380;結束語

回顧美國教育的發展，我們可以看到，除了數學研究外，美國還在技術#65380;科學和金融等方面都有深刻的貢獻，這得歸功于數學專業知識這塊基石——而這個基石之堅實，不亞于世界上任何地方。{44} 這在某種意義上展現了美國教育者們勇于探索積極進取的精神。盡管，在多次國際數學競賽及測試中，美國學生的表現欠佳，但美國優秀學生的數學成績還是不錯的，尤其是美國學生在創造性思維方面較之我國學生，表現出明顯的優勢。{45} 再看我國目前的數學教育現狀，似乎處在另一個極端；中國學生在許多國際數學測查中雖然屢獲佳績，但學生的創新能力卻沒能得到相應的培養。中國是一個數學教育大國，但“還不是數學強國。中國數學距國際先進水平還有較大的距離。”{46}

總之，新一輪數學課程改革的方向沒有錯，{47}我們應堅定地走下去。美國數學教育改革走過了十幾年的風風雨雨，許多經驗是值得我們借鑒的，許多教訓也應作為前車之鑒。我國數學教育所面臨的問題和挑戰同樣也值得認真思考和對待。如何尋求東西方數學教育發展的平衡點，相互取長補短，去粗取精，從而構建適合我國國情的數學課程，任重而道遠。

基金項目；浙江省教育規劃(SW24)，杭州市131人才基金項目

注釋

①④⑥⑨⑩{15}{16}{18}{24}{34} 馬健生，苑大勇；《“從先學前班到8年級的課程焦點；追求連貫性”報告述評》，《課程#8226;教材#8226;教法》，2007年第5期，第48-52頁

{2}{20}{21}{23}{36}{39}{47} 袁震東；《我們為什么關注美國“課程焦點”》，《數學教學》，2006年第11期，封二#65380;第1頁

{3}{43} 張奠宙；《 微積分教學；從冰冷的美麗到火熱的思考(續) 》，《高等數學研究》，2006年第5期，第4頁

{5}{9}{10}{11}{12}{13}{22}{25}{26}{31}{37}{45} 莫由；《美國“學校數學課程和評價標準”及其“課程焦點”》，《數學教學》，2006年第11期，第2-4頁

{6}{7}{14}{28}{29} 《“數學戰”停火，基礎獲重現》，《 數學教學》，2006年第11期，第5-6頁，第30頁

{17}{19}{27}{30}{44} AI Cuoco.Teaching Mathematics in the U.S.A，Notices of the AMS(VOL 50，no 7，2003，Aug，777-787)，齊民友(編譯)；《美國的數學教育》，《數學通報》，2003年第10期，第2，5，2-3，4，6頁

{32}{33}{40}{46} 張奠宙，宋乃慶；《數學教育概論》，北京；高等教育出版社2004年10月第1版，第158-160頁，序三(IV)，序一

{35} 張奠宙，戴再平；《中國數學教學中的“雙基”和開放題問題解決》，《數學教育學報》，2005年第14卷第4期(摘要)

{38} 張奠宙，趙小平；《我們正在丟棄的，美國卻要拾起來.數學教學》(編后漫筆)，2006年第11期

{41} 趙小云；《中美數學問題解決案例比較》，《課程#8226;教材#8226;教法》，2007年第5期，第82頁

{42}胡典順，趙軍；《對“數學生活化”的理性反思》，《數學教育學報》，2007年第16卷第8期，第74頁

作者單位 杭州師范大學理學院

(責任編輯 王永康)