雙次冪變差與價格跳躍的分離

王光濤

一、本文的符號

二、概念、術語和詳細數學推導過程及結果。

1、實現的方差和二次變差

2、隨機波動率

3、單次冪變差過程

4、雙次冪變差過程

5、帶有罕見、大幅跳躍的隨機波動率模型

5.1 罕見的跳躍及其二次變差

5.2 罕見的跳躍與單次冪變差

5.3 罕見的跳躍與雙次冪變差

三、實證分析

上證指數000001的五分鐘交易數據，時間是2013/10/14—2013/11/25日，四十個交易日。其二次變差、實現的方差、雙次冪變差如右下圖所示：

從右圖中可以直觀的看到雙次冪變差對實現方差的逼近比實現的方差對二次變差的逼近要好的多，但是處在同一個數量級。二次變差與實現方差的離差平方和為1.3874e-007，這是一個非常接近于零的數，可見實現的方差可以作為二次變差的估計量。而雙次冪變差與實現方差的離差平方和為3.2009e-008，這個數與1.3874e-007相比更加接近于零，與右圖也是吻合的。同時也說明（23）式是成立的。

上圖為真實交易數據生成的圖像，左圖給出了存在跳躍時的實現方差、二次變差和雙次冪變差的圖像。不失一般性的在第十天中加入一個2%的價格跳躍。也就是說當五分鐘的價格中有2%的跳躍時就可以檢測到。當加入1%的跳躍時，五分鐘數據監測不到，但卻可以被一分鐘的數據捕捉到。

右圖是實現的方差減去雙次冪變差生成的圖像，可以清晰的看到在第十個交易日有明顯的價格跳躍，其值為0.00040278。而2%的平方為0.0004，可見右圖準確的捕捉到了這個跳躍，驗證了（24）式。為了更好的比較分析，下面我們分析一分鐘的交易數據。數據采用2013/11/18—2013/11/25日，8個交易日的價格。

由以上分析知，左圖中第二個交易日存在價格跳躍，實際是第480個交易價格的收益率為-0.079048，是一個比剔除這個收益率外其他收益率的均值6.8920e-006大的多的值。此處實現的方差減去雙次冪變差的結果為0.0062297。而-0.079048的平方為0.0062486，與0.0062297是如此的接近。當用6.8920e-006替代-0.079048重新分析時，結果如下圖。

右圖坐標軸的明顯變化也顯示了一分鐘數據的實現方差可以比五分鐘數據更好的逼近二次變差。這與數學理論是吻合的。不失一般性的在第480個交易價格處增加一個1%的跳躍，得到的以下兩張圖，清晰的展現了跳躍的存在。事實是第二個交易日的實現方差減去雙次冪變差的結果為0.00010412，1%的平方為0.0001.再一次驗證了（24）式。

四、總結

為了簡單明了的說明問題，實證分析中僅僅隨機的加入了一個跳躍，當隨機的加入多個跳躍時得到同樣的結論。本文的數學推導和實證分析一致的說明了雙次冪變差對跳躍的穩健性，以及實現的方差可以作為二次變差的無偏估計值。所以價格跳躍的二次變差可以由已實現的方差與已實現的雙次冪變差之差表示，從而可以把價格跳躍分離出來。但是本文未給出識別跳躍的臨界值，因此還有待更深入的研究。

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