用“借”的方法解題要忠于原題意

《小學教學參考》(數(shù)學版)2007年第11期發(fā)表了周勝發(fā)老師題為《巧用借的策略解題舉隅》的文章，拜讀之后受益匪淺。我對文中選用的四道例題尤為喜愛，它們既充滿童趣，又發(fā)人深思。但對其中兩道例題的解答有不同的看法，特借貴刊一角與周老師商榷，不當之處，敬請指正。

例1 甲、乙、丙、丁四人同路旅游，他們拿出同樣多的錢合買一些飲料和食品，準備在游玩時食用。但由于甲少喝了4瓶飲料，其他3人各自拿出3.6元錢給甲。問買回的飲料是多少錢一瓶?

這道題的背景是學生喜愛的旅游活動。周老師是這樣解答的：甲少喝4瓶飲料，就當作先借給他人，現(xiàn)在還給甲4瓶飲料，那么甲應與其他3人一樣，也要拿出3.6元，則4瓶飲料為3.6×4=14.4(元)，所以每瓶飲料是14.4÷3=4.8(元)。

初讀周老師的解答，沒能理解，再讀還是不得要領，這引起了我的重視。是自己頭腦愚笨，還是周老師說理不透，或解答有問題?好奇心催我拿起筆，試著解答起來。

根據(jù)題意，我首先畫出了如下線段圖：

由上面線段圖可知，乙、丙、丁各比甲多得4瓶飲料。4人未能公平分配。為了讓分配公平，有如下兩個方案：一是將乙、丙、丁3人多分得的飲料(共4×3=12瓶)拿出來重新分配，每人該分得12÷4=3(瓶)，這樣乙、丙、丁每人多得4-3=1(瓶)，他們應將多分得的飲料退給甲；第二個方案是，乙、丙、丁不退出多得的1瓶飲料，而改付給甲1瓶飲料的錢。

由題意可知，乙、丙、丁3人是采用第二個方案的，即他們都沒有把多得的1瓶飲料退給甲，而是各自付給了甲3.6元作為等值補償。因此，每瓶飲料3.6元，而周老師得到的答案是每瓶4.8元!

解答完題目后，我陷入了深思：周老師的解答問題究竟出在哪?該如何修正?對我們今后解題教學有何啟示?于是，我再次研讀周老師的解答。

細心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，周老師解答的關鍵是把“甲少喝的4瓶飲料，就當作先借給他人”。從這個假設出發(fā)，我們不難得出，乙、丙、丁3人只分得了他們各自該分得的飲料。甲少喝4瓶飲料的原因是他把自己分得的飲料借給了他人(一定不是借給乙、丙、丁3人，否則他們3人就各自比甲多得4+4/3瓶飲料，和已知條件矛盾)。這樣，乙、丙、丁當然不會付錢給甲。而原題是說“由于甲少喝4瓶飲料，其他3人各自拿出3.6元給甲”，這句話的弦外之音是：甲少喝的4瓶飲料是由于乙、丙、丁多喝導致的，他們當然愿意付錢給甲。由此可知，周老師的假設和原題的題意出現(xiàn)了偏差，從而導致解題失誤。這個例子告訴我們，用“借”的方法解題，不能和原題意矛盾。

經(jīng)探索，我發(fā)現(xiàn)只要對周老師的解法略作調整，解法立即通俗易懂。如下：

題中告訴我們，甲比其他3人少分4瓶飲料，可以假設他們4人以集體名義借來4瓶飲料(不是周老師說的以甲自己的名義借出4瓶飲料)，并都分給甲。這樣，甲分得的飲料數(shù)就和其他3人的飲料數(shù)相同了。為體現(xiàn)分配公平，甲應該把其他3人給的3.6×3=10.8(元)退出歸4人共有。還要再拿出3.6元也歸4人共有。由此可知，4人比原來共多得了4瓶飲料，共多付出10.8+3.6=14.4(元)，因此每瓶飲料為14.4÷4=3.6(元)。

再者，創(chuàng)設如下問題情境，學生理解起來也很容易。其解法和周老師的解法也更為接近。如下：

假設甲、乙、丙、丁4人平均分完飲料后，路上遇王大爺，4人決定送4瓶飲料給他(每人送出1瓶)，但在實際送時。4瓶飲料都是由甲代付的。這樣，甲就比乙、丙、丁每人各少得4瓶飲料和原題意表達“甲比其他3人少得4瓶飲料”的語境實質相同)。這樣，為保證分配公平，乙、丙、丁每人應付給甲與1瓶飲料價格等值的3.6元錢，因此每瓶飲料這3.6元。

當然，本題若用方程解法更為簡單。

設乙、丙、丁每人實際得到的飲料瓶數(shù)比應得的多x瓶。則甲實際得到的飲料數(shù)比應得的少3X瓶。由此可知。乙比甲多得(3X+X)瓶。依題意得：

3x+x=4

X=1

這就是說，乙多得1瓶飲料，而他為此多付出了3.6元。因此每瓶飲料為3.6元。

當然。本題還有許多其他解法，限于篇幅不一一列舉。

比較上面各種解法，我們可以看出，基本的解法簡單易懂。富有技巧性的解法反而不利于學生的理解。因此。教師在選擇解法于課堂教學時，要注重通法，淡化特技。

例2 悟空偷來一些仙桃，先分給師傅一些后，還剩下13個仙桃?guī)熜值苋朔帧煾禐榱藴y試三個徒弟的智慧，于是提出這樣的要求：其中兩人分得1/3，一人分得1/5。由于八戒不懂算術，認為分得桃子的1/5多，就爭著要1/5的桃子。八戒是否分得最多?應怎么分?

這是一道很受學生歡迎的數(shù)學趣題。周老師提供的解法是：由于13不能被3和5同時整除，所以采用一般方法不易把13個桃子按要求分開。如果從他們的師傅那里借來2個桃子，使分配總量變?yōu)?5，15同時能被3和5整除。則悟空和沙僧各分得桃子15×1/3=5(個)，八戒分得桃子15×1/5=3(個)。分好后正好剩下15-13=2(個)桃子，再還給師傅。

乍一看，該題采用先借2個桃子然后再還回的方法。巧妙地解決了分桃子難題。思維獨特，技巧高超，令人拍案叫絕。但細細品味，卻怎么也高興不起來。大家不妨算算，如果答案正確，那么八戒分得了剩余桃子的3÷13=3/13，這不是他該得的1/5!悟空和沙僧各分得了剩余桃子的5÷13=5/13，這也不是他們各自該得的1/3

為什么會出現(xiàn)這種情況呢?細細揣摩，不難看出，問題恰恰出在那個“充滿智慧”的“借”的方法上。那個初看叫人拍案叫絕的“先借后還”方法，用在本題時，卻改變了題意。事實上，按照題意要求，八戒本該得到13個桃子的1/5，而借來2個桃子后，他卻得到了15個桃子的1/5。同樣，悟空和沙僧本該各得到13個桃子的1/3，借來2個桃子后，他們也各得到了15個桃子的1/3。這都和原題意出現(xiàn)了理解偏差，在“不知不覺”中改變了題意。

這個例子再次說明，我們用借的方法去解題時，要忠于原題意。不能“借”后使原題意發(fā)生改變。否則，很可能出現(xiàn)類似于上面兩個例題的錯誤。

注：原文中的例2和下面的“分牛問題”實質相同：“古代有一位老人。在臨終前囑咐他的三個兒子：他已不久于人世了，家里沒有什么東西給你們留下，只有畜牧場上的19頭耕牛。你們三人分吧，老大分得總數(shù)的二分之一，老二分得總數(shù)的四分之一，老三分得總數(shù)的五分之一，但不許把牛殺掉或賣掉。”

關于這個“分牛問題”的討論，很多刊物已發(fā)表過相關的文章，感興趣的讀者可以去查閱，相信你一定有很大的收獲。