論數學模型化思想與數學教學

所謂數學模型就是針對或參照某種事物系統的特征或數量的依存關系，采取數學語言，概括地或近似地表述出的一種數學結構，是利用數學解決問題(實際問題或理論問題)的主要方式之一。利用數學模型解決問題的方法叫做數學模型法(method of mathematical model)，簡稱MM。

本文主要探討數學模型在小學數學教學中的運用。

一、小學數學教學中的數學模型化思想

在小學階段，數學模型是數學學習內容中的重要部分。小學生學習數學知識的過程，實際上就是對一系列數學模型的理解、把握的過程。小學數學模型的表現形式為一系列的概念、算法、性質、定律及公理等。例如，小學數學中很重要的一部分內容是幾何初步知識，它是公理化思想的體現，是一種直觀的、形象化的數學模型。同樣，概念系統和算法系統本身也是重要的數學模型，又是構建其他數學模型的基礎，學生對這些知識的把握是至關重要的。幫助小學生建立并把握好有關的數學模型，就把握住了數學的根本。

二、數學模型化思想是“問題解決”的重要形式

數學模型是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的過程。并且，建立模型更為重要的是，學生能體會到從實際情景中發展數學，獲得再創造數學的絕好機會。在建立模型、形成新的數學知識的過程中，學生能更加體會到數學與大自然及數學與社會的天然聯系，從而使學生從現實問題情景中學數學、做數學、用數學。這樣，數學教學中的“問題解決”才有了相應的環境與平臺。

現代數學觀認為，數學具有科學方法論的屬性，數學思想方法是人們研究數學、應用數學、解決問題的重要策略。而建立數學模型，研究數學模型，正是問題解決過程中的重要環節，是決定問題解決程度的關鍵。

三、模型化思想是培養學生“用數學”的重要途徑

在教學中由淺入深、由易到繁地滲透數學模型法思想，不僅可以強化學生對數學基礎知識的學習，還可以培養數學應用意識，提高學生的實踐能力。例如，“弟弟今年2歲，姐姐比弟弟大三歲，問姐姐今年多少歲?”可以將實際問題轉化為“某數與2的差等于3，求這個數?”這是一個很簡單的數學問題。問題提出以后啟發學生思考，用什么數學知識點來解決呢?學生會很快解答：一種方法，把問題看作是一個已知差和減數，求被減數問題，用加法運算就可以解決。另一方法，設某數為x，列方程得x-2=3，解得x=5。這樣的兩種建立模型的方法都使問題很快得到解決。又如：“在一個停車場，現有車30輛，其中汽車有4個輪子，摩托車有3個輪子，這些車共有110個輪子，那么，三輪摩托車有多少輛?”把汽車看作“兔子”，三輪摩托車看成3只腳的“雞”，構建“雞兔同籠模型”，利用假設法將問題化歸為熟悉的、簡單的問題。

從簡單問題入手，引導學生學會運用轉化思想建立數學模型，使實際問題具體化、數學化，然后運用數學方法求出了數學模型的解，從而使問題得到解決。

在解決本題的過程中，學生們真正感受到了數學模型法的魅力，數學的應用價值；感受到了數學模型法使許多數學問題不再神秘莫測，能夠順利求解。數學模型法促使學生學會觀察、分析、綜合、概括、歸納、類比、判斷，學會怎樣應用數學、怎樣學習數學。

四、數學模型化思想有利于培養學生的創造能力

為什么數學課是世界上普遍開設時間最長、最廣泛的一門教育類課程?因為學習數學是一種高水平的創造性勞動。創造應該是“發人所未發”，對于小學生來說，“發自己所未發”就應該認為是創造。在數學教學中應該有意識地培養學生的創造能力。

數學模型法為孩子們提供了應用數學的機會，培養了學生們的創造精神。例如，在數學課外活動中，讓學生們討論雞兔同籠問題、盈虧問題、哥斯尼堡七橋問題等等。這些問題的提出引起了同學們的極大熱情。教師引導學生了解轉化的數學思想，利用數學模型化的方法解決問題，就能讓學生的創造能力得到培養。

數學模型法為學生自主學習、自主探究、自主解決問題提供了可能；它為學生聯系實踐、發展個性、培養特長提供了機會。因此，數學模型法也是培養學生應用意識和創造精神的有效途徑。

五、數學模型化思想在小學數學教學中的運用

學生在探索、獲得數學模型的過程中，也同時獲得了構建數學模型、解決實際問題的思想、程序與方法，而這對學生的發展來說，其意義遠大于僅僅獲得某些數學知識?！霸侔l現”過程，本身體現了一種基本的模式，即研究數學問題的模式，可以表征為：抽象——符號——應用。

3.建立概念模型

概念模型的建立首先需對大量實際生活或提供的問題實際背景進行研究；其次運用比較、分析、綜合、概括、分類等思想方法，去掉非本質的東西，用數學語言抽象概括概念模型，并運用于實際。

例如建立質數概念：

首先，讓學生寫出1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12的約數。

1的約數有1；2的約數有1、2；3的約數有1、3；4的約數有1、2、4；5的約數有1、5；6的約數有1、2、3、6；7的約數有1、7；8的約數有1、2、4、8；9的約數有1、3、9；10的約數有1、2、5、10；11的約數有1、11：12的約數有1、2、3、4、6、12。

然后，通過分析、比較按照約數多少分成：

只有一個約數的是1；

有兩個約數的是2、3、5、7、11；

有兩個以上約數的是4、6、8、9、10、12。

最后，抓住本質的東西再進行概括，并用數學語言進行描述只有1和它本身兩個約數的數叫質數(或素數)。這樣就建立起了質數這個概念的模型。

在整個建立模型及問題解決的過程中，使學生經歷“問題情境——建立模型——分類求解——解釋與應用”的數學學習的基本過程，引導學生主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究，發展了學生搜集和處理信息的能力，以及交流與合作的能力。

新的《數學課程標準》指出：義務教育階段的數學課程不僅要考慮學生自身的特點，更要遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將數學實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步與發展。使學生感受到數學不再是公式、結論的簡單匯集，而是一個包含有問題、方法、語言及文化等多種成分的復合體。而學習數學的過程，不僅是獲得數學結論的過程，更是數學實踐、探索的過程。