生產利潤優化問題的案例分析

2007-12-31 00:00:00程英喆

中國集體經濟 2007年11期

摘要：文章根據某銅材廠生產的實際情況，建立了關于銅材生產量的一般化的數學規劃模型，利用Lingo數學軟件計算出數學規劃模型的最優解，并通過分析計算結果，對該廠銅材日產量的計劃提出合理的建議。

關鍵詞：利潤；日產量設計；數學規劃模型；Lingo軟件；建議

一、前言

在以追求最大利益為目的的生產中，任何人力物力的浪費都可能使得廠商在市場中失去競爭力。而利用數學工具分析并優化生產計劃，可以有效地提高生產效率，減少浪費，從而獲取更多的利潤。筆者以某銅材廠為例，對其生產利潤進行優化分析，并為提高其生產利潤提出合理的建議。

二、問題的提出

該廠生產的銅母排產品分為初級制品和深加工制品兩種，其中10×120（mm2）、3×30（mm2）和90×360（mm2）三種規格的銅母排市場需求量非常大。這六種產品在生產中存在如下特點：

（一）相似性

三種初級制品的加工方法、所使用的生產設備以及產品原材料都相同；而三種深加工制品是分別利用三種初級制品為原材料，通過另外一套加工設備，以彼此相似的加工方法生產而成。

（二）差異性

由于產品規格的不同，過于精細的銅母排和體積過于龐大的銅母排加工難度要比中等規格的銅母排大，因此，加工不同的產品，工人所獲得的工資不同；而體積比較極端的產品成材率略低于中等規格的產品；同時，不同規格的產品在加工過程中原材料的損耗不同、市場需求不同，因此，產品的價格也各不相同。

（三）局限性

該廠的規模不大，且投入設備的資金有限，因此產品的生產能力會受到設備以及工人技術水平的限制；由于資金周轉的局限性，每天用于生產的銅母排原材料提供量是有限的；工人每天的工作時間也是有限的。

因此，上述六種銅母排產品中任何一種產品的產量都會直接或間接受到其他五種產品產量的影響。

針對上述情況，可利用數學規劃模型設計生產計劃，以合理分配六種產品的日產量，獲得盡可能大的生產利潤。

三、產品的日產量設計

（一）生產與銷售現狀

在該企業現有狀態下，三種規格的銅母排初級制品和深加工制品有關生產與銷售的原始數據見表1。

（二）模型假設

1、由于該廠當前所處的市場環境存在供小于求的狀況，并且有長期的訂單可以確保一部分的產品的銷路，因此產品銷售不出去的可能性相當小，于是在數學模型中可假設，各種產品無論廠商每天生產多少，都一定可以全部銷售出去。

2、由于當前銅材生產的趨勢是追求“零庫存”，因此熱銷的產品在一般情況下廠商是不會準備庫存的，即不需要單獨支付一定量的庫存費以及產品保養費，于是在數學模型中可不考慮這一部分的成本。

3、由于三種規格的初級制品和深加工制品并不是互為替代品，因此各自的產量不會影響到彼此的價格。與此同時，銅材的成本以及售價都與期貨價格接軌，在短期內基本上能夠維持平穩狀態。

（三）符號說明

An：第n種初級制品；

Bn：由An加工而成的深加工制品；

k：一共有k種初級制品；

xAn、xBn：分別為An、Bn的日產量；

tAn：將單位質量的原材料生產成An所需要的時間；

tBn-An：將單位質量的原材料所生產出的An加工成Bn所需要的時間；

CAn、CBn：分別為生產An、Bn所需要的成本；

LAn、LBn：分別為單位質量的原材料可以生產出的An、Bn的質量；

SAn、S′An：分別為一次性購買An的質量小于或大于w1噸的部分的價格；

SBn、S′Bn：分別為一次性購買Bn的質量小于或大于W2噸的部分的價格；

TAn、TBn：分別為生產An、Bn的工人每天的總工作時間；

M：每天原材料的總供應量；

mAn、mBn：分別為An、Bn每天的生產能力上限；

PAn、PBn：分別為客戶N每次對An、Bn的需求量；

I1、I2：分別為客戶N提貨當天（提貨日）或不來提貨當天（非提貨日）的日利潤。

（四）模型的建立與求解

設備技術能力：每天生產出的各種規格初級制品（包括用來加工成深加工制品的初級制品）的總質量不能超過生產初級制品的能力上限；每天生產出的各種規格深加工制品的質量也不能超過生產深加工制品的能力上限。即

將有關生產與銷售的原始數據（表1）代入上述模型，并利用Lingo軟件計算，結果如表2所示。

綜上所述，該廠日利潤的數學期望值最大為

I=I1×2/7+ I2×（7-2）/7=3548.86×2/7+3728.69×5/7=3677.31（元）

而調查結果顯示，該廠實際的平均日利潤為3600元，因此通過該線性規劃模型的優化，可以使該廠平均日利潤增長2.1%。

（五）對計算結果相關數據的說明

對于上述線性規劃模型，從Lingo計算的結果中，可以分析得出以下一些結論：

1、各因素的剩余量。提貨日各因素的剩余量如下：每日原材料為0.55噸；生產初級制品的工作時間為2.63小時；生產深加工制品的工作時間為0.013小時；三種初級制品的生產能力為0噸。非提貨日各因素的剩余量如下：原材料為0.55噸；生產初級制品的工作時間為0小時；生產深加工制品的工作時間為4.41小時；三種初級制品的生產能力為0噸。

2、各因素的邊際收益。提貨日初級制品生產能力的邊際收益如下：規格10×120 mm2為590元；規格3×30mm2為990元；規格90×360mm2為690元。提貨日深加工制品產量的邊際收益如下：規格10×120mm2為－32.82元；規格3×30 mm2為－26.89元；規格90×360 mm2為－43.52元。非提貨日初級制品生產能力的邊際收益如下：規格10×120mm2為573.4元；規格3×30mm2為964.56元；規格90×360mm2為674.28元。非提貨日生產三種規格初級制品工作時間的邊際收益均為5.2元。提貨日和非提貨日其他因素的邊際收益為0。

（六）對現有生產的建議

由上述分析及計算結果發現，針對該廠在現有生產情況下存在的問題，可提出如下建議：

1、提高利潤最大的局限性在于生產能力水平的限制。若廠商更換設備，以提高生產技術水平的方式來突破生產能力上限的限制，則模型中“設備生產能力”約束條件被解除。在這種情況下，利用Lingo軟件同樣可計算出該廠日利潤的數學期望值最大為I=4176.34×2/7+4491.20×5/7=4401.24（元）。因此，上述結果比設備生產能力受限制時的最大平均日利潤增加了近19.7%，比該廠現有的平均日利潤增加了近22.3%。

2、非提貨日生產初級制品的工人工作時間的限制也使得利潤受到局限。若廠商在非提貨日請生產初級制品的工人加班，以提高他們日工作時間的方式來突破工作時間的限制，則廠商每小時可收益5.2元，因此支付的總加班費不能超過每小時5.2元。而通過Lingo計算可知，當加班時間超過約2.3小時后，加班對提高日利潤將不再有意義。

3、提前與客戶N簽下長期合約，使得該廠提貨日的利潤相對非提貨日的利潤有一定的損失。但解除合約又將承擔一定風險。若解除與客戶N的合約而一直按照非提貨日的產量來進行生產，可能出現只有提貨日的產量中除去合約要求的部分以外的產品能夠賣出去的情況，此時，該廠當日的總利潤I為：

I=（1.42-0.6）×（63000-62410）+（1.02-0.75）×（63600-62610）+（1.26-0.75）×（62800-62110）=1403.15

假設解除與客戶N的合約后，提貨日的日利潤為隨機變數ξ，ξ服從在區間[1403.15，3728.69]上的均勻分布，

因此，上述結果比不解除合約時的最大平均日利潤減少了近7.6%，比該廠現有的平均日利潤減少了近5.7%。由此可見，該廠不應該輕易解除現有的合約。

綜上所述，對實際生產的建議如下：

突破產品生產能力上限。這樣可使最大平均日利潤達到4401.24元，比現有條件下的最大平均日利潤增加近19.7%，比現有的平均日利潤增加近22.3%。

合理安排工人加班。加班最多可以使得非提貨日日收益增加5.2元/小時，而加班時間最多不超過2.3小時。

避免輕易解除與客戶的長期合約。解除合約會導致平均日利潤只有3396.47元，比現有條件下的最大平均日利潤減少近7.6%，比現有的平均日利潤減少近5.7%。

四、結論

通過數學規劃模型可分析出該廠能夠獲得的最大平均日利潤及其對應的各種產品的日產量，從而可使該廠提升平均日利潤。

通過突破產品生產能力上限，合理安排工人加班，或者避免輕易解除與客戶的長期合約，能夠進一步提升該廠平均日利潤，或避免該廠平均日利潤減少。

本文所涉及的一般化的數學模型和相關的數學分析方法，也可用來解決其他同類型的優化問題。