排列、組合與二項式定理常見題型及解法

排列、組合、二項式定理的有關知識在高考中雖每年以小題的形式出現，但卻是歷年高考的必考內容，由于其試題具有一定的靈活性、機敏性和綜合性，常使人感到撲朔迷離．本文結合近年相關省份高考數學試題進行分類解析，總結歸納出常見的、典型的考題及其解法，希望同學們能夠對基本的解題策略熟練掌握，舉一反三，觸類旁通．

題型1 兩個原理直接應用問題

例1 某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽法有__________種．（以數字作答）

解析 按區域種植，選擇相鄰區域較多的先種，可分六步完成：

第一步從4種花中任選1種給1號區域種，有4種方法；

第二步從余下的3種花中任選1種給2號區域種，有3種方法；

第三步從余下的2種花中任選1種給3號區域種，有2種方法；

第四步給4號區域種花，由于4號區域與2號區域不相鄰，故這兩個區域可分為同色與不同色兩類：

（1）若4號區域與2號區域種同色花，則4號區域有1種種法，第五步給5號區域有2種種法，第六步給6號區域有1種種法；

（2）若4號區域與2號區域種不同色花，則4號區域有1種種法，而5號區域的種法又可分為兩類：若5號區域與2號區域種同色花，則5號區域有1種種法，6號區域有2種種法；若5號區域與2號區域種不同色花，則5號區域有1種種法，6號區域有1種種法．

由兩個原理得，不同的種植方法共有4×3×2×[1×2×1+1×(1×2+1×1)]=120種.

點評 兩個原理是解決排列、組合問題的重要手段，也是基礎方法．尤其是分類加法計數原理與分類討論有很多相通之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的方法可以有效地將其化簡，達到求解的目的．應用兩個原理時，關鍵是根據自己對問題的分析，一般情況是先分類再分步．

題型2特殊元素（位置）優先考慮問題

例2 安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________種．（用數字作答）

解析 先安排甲、乙兩人在后5天值班，有A種排法；其余5人再進行排列，有A種排法，所以共有A·A=2400種不同的安排方法．

點評 若排列中有特殊元素或特殊位置時，一般既可先處理特殊元素，也可先處理特殊位置，依據特殊情況而定．如本題也可先安排除甲、乙外的5人中的2人在5月1日和2日值班，有A種排法；再排其余5人（含甲、乙）在后5天值班，有A種排法，共有A·A=2400種不同的安排方法．

題型3相鄰排列問題

例3 用數字0、1、2、3、4組成沒有重復數字的五位數，則其中數字1、2相鄰的偶數有__________個．（用數字作答）

解析 個位數字必須是0、2、4，可以分情況討論：（1）若末位數字為0，則1、2為一組，且可以交換位置，3、4各為1個數字，共可以組成A·A=12個；（2）若末位數字為2，則1與它相鄰，其余3個數字排列，且0不是首位數字，則有A·A=4個；（3）若末位數字為4，則1、2為一組，且可以交換位置，3、0各為1個數字，且0不是首位數字，則有A·A·A=8個，所以符合條件的五位數共有24個．

點評 對于含有某幾個元素相鄰的排列問題，可先將相鄰元素“捆綁”起來視為一個元素，與其他元素一起進行全排列，然后再對相鄰元素內部進行全排列，這就是處理相鄰排列問題的“捆綁”法．

題型4互不相鄰排列問題

例4 用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有__________個．（用數字作答）

解析 可以分成三步：第一步把1與2、3與4、5與6看作三個整體排成一列，共有A種排法；第二步是把7與8插入第一步中的三個整體之間，共有A種排法；第三步把第一步當中的1與2、3與4、5與6之間的位置可以交換，共有A·A·A種排法．所以組成這樣的八位數共有A·A·A·A·A=576種．

點評 對于含有某幾個元素互不相鄰的排列問題，可先將其他元素排成一排，然后將不相鄰的元素插入這些排好的元素之間及兩端的空隙中，這就是解決互不相鄰排列問題的“插空”法．本題使用了“捆綁”法與“插空”法．

題型5定序排列計算問題

例 5 某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工程丁必須在丙完成后立即進行，那么安排這6項工程的不同的排法種數是__________.（用數字作答）

解析 由于丁必需在丙完成后立即進行，故可把兩個視為一個大元素，先不管其他限制條件使其與其他4項進行排列共有A種排法；在所在的這些排法中，甲、乙、丙相對順序共有A種，故滿足條件的排法種數共有 =20．

點評 對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總排列數除以這幾個元素的全排列數，即若有n個元素參加排列，其中有m個元素順序是確定的，則排列數是 ．

題型6 排列組合混合計算問題

例 6 5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有種.（用數作答）

解析 兩老一新時， 有CCA=12種排法；一老兩新時，有CCA=36種排法，即共有48種排法．

點評 對于排列組合的混合應用題，可采取先選取元素（組合），后進行排列的策略．

題型7不同元素的分組分配問題

例 7 5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有().

A． 150種B． 180種

C． 200種D． 280種

解析 人數分配上有1、2、2與1、1、3兩種方式．（1）若是1、2、2，可分兩步完成：第一步將5名志愿者分為三組（1、2、2）有 種方法；第二步將這三組志愿者分配到3所學校支教有A種方法．由分步乘法計數原理得不同的分配方案共有 ·A=90種．（2）若是1、1、3，同理則有種 ·A=60，所以共有150種．

點評 對于不同元素的分組分配問題，可運用先分組（堆）后排列的策略求解．無次序分組問題常有“均勻分組、部分均勻分組、非均勻分組”等三種類型．計數時常有下面結論：對于其中的“均勻分組”和“部分均勻分組”問題，只需按“非均勻分組”列式后，再除以均勻組數的全排列數．

題型8 排列、組合有關的幾何問題

例8 過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有().

A． 18對B． 24對

C． 30對D． 36對

解析 如下圖所示：（1）上、下底面的6條棱所在的直線中，有6對異面直線；

（2）“上、下底面的6條棱所在的直線”與“3條側棱和6條面對角線所在的直線”中，有3×6＝18對異面直線（以AB為例，AB分別與CD、CE、CF構成3對異面直線）；

（3）“3條側棱所在的直線”與“6條面對角線所在的直線”中，有2×3＝6對異面直線（以AD為例，AD分別與BF、CE構成2對異面直線）；

（4）6條面對角線所在的直線中，有2×6/2＝6對異面直線．

綜合（1）、（2）、（3）、（4），15條直線中異面直線有6+18+6+6=36對．

點評 求解幾何圖形問題時，一要熟悉幾何圖形性質及點、線、面的位置關系；二要按同一標準分類，避免重復或遺漏．

題型9 二項式定理求展開式的指定項問題

例9-的展開式中含x的正整數指數冪的項數是().

A． 0 B． 2 C． 4 D． 6

解析 展開式通項為Ｔr+1=C 10-r- r=C-x ，若展開式中含x的正整數指數冪，即5- r∈N*，且0≤r≤10，r∈N，所以r=2．正確選項為B．

點評 求二項展開式的指定項，關鍵是抓住展開式中的通項公式，就可由題設確定通項公式中的指數或項數，進而求出r，從而求出其指定項．

題型10二項式定理求展開式的系數和有關問題

例10 若3 -的展開式中各項系數之和為64，則展開式的常數項為().

A． -540 B． -162

C． 162 D． 540

解析 令x＝1，則(3-1)n=64=2n，∴n=6，即求3 -展開式的常數項．

由通項公式，得Ｔr+1=C3 6-r·-=(-1)r·36-r·C·x3-r．

令3-r=0，得r=3，常數項為(-1)3·36-3·C=-540．正確選項為A．

點評 轉換視角，把展開式看作一個代數恒等式，通過令變量取不同的值得到所需結果，是解決這一類問題的通法．

題型11二項式定理求冪指數n問題

例11 若2x-展開式中含 項的系數與含 項的系數之比為-5，則n等于().

A． 4B． 6C． 8D． 10

解析 Tk+1=C(2x)n-k-=(-1)k2n-kCxn-2k，令n-2k=-2，則n=2k-2．

Tr+1=(-1)r2n-rCxn-2r，令n-2r=-4，即n=2r-4． 故r-k=1．

由題意，得 =-5，即(-1)k-r2r-k =-5．

∵r-k=1，∴化簡得 =5，解得k=4，

∴n=6．故選B．

點評 利用二項式定理求冪指數，主要體現了方程思想在二項展開式中的應用.問題解答的關鍵是根據題目條件建立相關的方程，即可獲解．

責任編校 賴慶安

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。