不等式考點透析

《不等式》一章共有5個知識點，往年各地高考數學試題多以選擇題或填空題的形式考查不等式的基礎知識；以解答題形式考查的不等式，多為與其他知識的簡單交匯，屬中檔或高檔題．

高考試題卷中考查的重點為不等式的解法、證明和應用．其中有兩個熱點內容：一是解含參數的不等式問題，這類問題往往要對參數進行分類討論，而且要做到不重不漏；二是不等式在函數、集合、數列、三角、向量、充要條件、導數、解析幾何等的廣泛應用．

復習對策：解不等式是《不等式》的重點知識，其解題的基本思想是轉化和化歸，要熟練一次不等式、二次不等式、高次不等式、分式不等式、無理不等式、指數和對數不等式、絕對值不等式、含有字母的不等式的解法和轉化規律；證明不等式要掌握常用的比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、換元法等，對這些方法考生自己要有所歸納，有所認識，會用這些方法證明不等式，特別是利用均值不等式求最值的問題必須熟練．不等式的應用是高考考查的重點，也是熱點，其應用非常廣泛，對能力的考查也日趨成熟，同學們復習時要特別關注.

類型1不等式的解法

解不等式最重要的是掌握不等式的常用解法，尤其要注意不等式轉化的等價性，有時還要注意借助函數的性質、數形結合等.

例1 （2006年山東卷）設 f（x)=2ex-1，x＜2，log3（x2-1），x≥2，則不等式 f（x)>2的解集為（).

A. （1，2）∪（3，+∞）B. （ ，+∞）

C. （1，2）∪（，+∞）D. （1，2）

解析 令2ex-1＞2（x＜2），解得1＜x＜2. 令log3（x2-1）＞2（x≥2），解得x∈（ ，+∞），正確選項為C.

點評 把分段函數與不等式解法有機融合，具有一定的綜合性；突破此題的關鍵在于恰到好處地利用指數函數、對數函數的單調性.

類型2不等式中的大小比較問題

在給定條件下比較幾個式子的大小，是不等式高考題中一類常見的問題，也是一類最基本的問題，其解題關鍵在于用好函數的單調性.

例2 （2007年安徽卷)設a＞1，且m=loga（a2+1），n=

loga（a-1），p=loga（2a），則m，n，p的大小關系為（）.

A. n＞m＞p B. m＞p＞n

C. m＞n＞p D. p＞m＞n

解析 ∵設a＞1，∴a2+1＞2a，2a＞a-1，m=loga（a2+1），

n=loga（a-1），p=loga（2a），∴m，n，p的大小關系為m＞p＞n，正確選項為B.

類型3不等式中的最值問題

最值問題是不等式問題中一類基本問題，解答此類問題時，要注意觀察式子結構并作適當變形后再求解.

例3 （2007年山東卷）函數y=loga（x+3）-1（ a＞0，a≠1）的圖像恒過定點A， 若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0， 則 + 的最小值為_______.

解析 函數y=loga（x+3）-1（ a＞0，a≠1）的圖像恒過定點A（-2，-1），則（-2）·m+（-1）·n+1=0，即2m+n=1，可得m＞0，n＞0， + =（ + ）·（2m+n）=4+ + ≥4+2 =8.

點評 求解此題關鍵是要將已知條件作適當變形，并利用均值定理.

例4 （2006年浙江卷）對a，b∈R，記max{a，b}=a（a≥b）b（a＜b），函數 f（x)=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R)的最小值是（）.

A. 0B. C. D. 3

解析 由|x+1|≥|x-2|，解得x≥ ；由|x+1|＜|x-2|，解得x＜ .

由max{a，b}及函數 f（x)的定義可得：

f（x)=

當x≥ 時，f（x)≥f（ )= ；當x＜ 時， f（x）＜

f（ ）= ，故 f（x）的最小值是 .正確選項為C.

點評 本題以定義概念型問題呈現給考生，主要考查函數、絕對值不等式的解法等有關知識，考查考生的實踐能力和創新意識，對考生能力考查有較高要求.

類型4不等式恒成立問題

不等式的恒成立問題是關于不等式的高考題中出現頻率較高的一類題，同學們要注意掌握處理不等式恒成立問題的常規方法.

例5 （2007年山東卷）當x∈（1，2）時，不等式x2+mx+4＜0恒成立，則m的取值范圍是 ．

解析 構造函數f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]. 當x∈（1，2）時，不等式x2+mx+4＜0恒成立，則f（1）≤0，f（2）≤0，即1+m+4≤0，4+2m+4≤0，解得m≤-5.

例6 （2007年安徽卷)若對任意x∈R，不等式x≥ax恒成立，則實數a的取值范圍是（）.

A. a＜－1 B. a≤1

C. a＜1D. a≥1

解析 若對任意x∈R，不等式a≥ax恒成立，當x＞0時，x＞ax，a＜1；當x＜0時，－x≥ax，∴a≥－1；當x=0時，a∈R.綜上得-1≤a≤1，即實數a的取值范圍是a≤1，選B.

點評 以上兩題難度都不大，屬基礎題.

類型5不等式的實際應用

利用不等式解決生產、生活中的實際問題，是不等式的重要功能，也是不等式強大工具作用的具體體現，是考生必須具備的數學能力．在應用不等式解決應用問題時，應先弄清題意，根據題意列出不等式或函數式，再利用不等式知識求解．不等式的應用大致分為兩類：一類是建立不等式求參數取值范圍或解決一些實際應用問題；另一類是建立函數關系，利用均值不等式求最值問題．

例7 （2006年天津卷）某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x= 噸．

解析 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買 次，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，一年的總運費與總存儲費用之和為 ·4+4x萬元；由 ·4+4x≥160，當 =4x，即x=20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和最小.

點評 不等式的一個重要應用是求函數的最值．利用均值不等式求函數最值時要特別注意“一正、二定、三相等”，即每個項都是正值，和或積是定值，所有的項能同時相等；有時需要通過變形來創造出運用均值不等式的條件．

類型6創新情景考查不等式

解決創新情景中的不等式問題，關鍵是要理解題意.

例8 （2005年遼寧卷）在R上定義運算?茚：x?茚y=

x（1-y）.若不等式（x-a）?茚（x+a）＜1對任意實數x成立，則（）.

A. -1＜a＜1B. 0＜a＜2

C. - ＜a＜ D. - ＜a＜

解析 由新運算的定義可得（x-a）?茚（x+a）=（x-a)[1-（x+a)]=-x2+x-a+a2＜1，即x2-x+a-a2+1＞0；若不等式△=1-4a+4a2-4=（2a-3)（2a+1）＜0，解得- ＜a＜ ，所以應選C.

點評 此題本質上是對基本不等式的考查.

注：上述幾種類型都是不等式本身知識內在的綜合，而不等式與其他章節知識的綜合更是靈活多變，異彩紛呈.

類型7不等式與簡易邏輯的綜合

這類綜合題難度一般不會很大，只要求考生能掌握解題的基本方法與技巧.

例9已知a＞1，設命題P：a（x-2）+1＞0，命題Q：（x-1）2＞a（x-2）+1，試尋求使得P、Q都是真命題的x的集合.

解析 設A={x|a（x-1）+1＞0}，B={x|（x-1）2＞a（x-2）+1}，依題意，求使得P、Q都是真命題的x的集合即是求集合A∩B.

∵a（x-2）+1＞0，（x-1）2＞a（x-2）+1.?圯x＞2- ，（x-a）（x-2）＞0.

∴若1

而a-（2- ）=a+ -2>0，所以a＞2- .

故當12或2- ＜x＜2}.

當a=2時，易得P、Q都是真命題的x的集合為{x|x> ，且x≠2}；

當a>2時，有x＞2- ，（x＞a，或x＜2，此時使得P、Q都是真命題的x的集合為{x|x>a或2- ＜x＜2}.

點評 本題將不等式與簡易邏輯知識相結合，準確理解真假命題的知識是解題的基礎.

類型8不等式與函數的綜合

函數與不等式的關系十分密切，解答此類綜合題要求考生掌握透相關的性質及公式等.

例10 （2006年陜西卷）已知函數 f（x）=ax2+2ax+4（a>0），若x1

A. f（x1）

B. f（x1）=f（x2）

C. f（x1）>f（x2）

D. f（x1）與f（x2）的大小不能確定

解析 函數 f（x）=ax2+2ax+4（a>0）， 二次函數的圖像開口向上，對稱軸為x=-1，a>0，由x1+x2=0知x1與x2=0的中點為0，∵x1

點評 解答本題的關鍵在于利用函數的性質和數形結合的思想方法.

類型9不等式與向量的綜合

不等式與向量的綜合題具有一定的難度，對解題技巧性要求較高.

例11 （2006年遼寧卷）設O（0，0），A（1，0），B（0，1），點P是線段AB上的一個動點， =?姿 ，若 · ≥ · ，則實數?姿的取值范圍是（）.

又因點P是線段AB上的一個動點，所以0≤?姿≤1. 由上可知，滿足條件的實數?姿的取值范圍是1- ≤?姿≤1，正確選項為B.

點評 本題以向量形式呈現，考查向量的基礎知識、不等式的基礎知識及考生綜合分析問題、解決問題的能力.

類型10不等式與函數、數列綜合題

不等式與函數、數列有機融合在一起，可以有效考查考生分析問題、解決問題的能力具有較高的難度．

例12 （2006年湖南卷）已知函數 f（x）=x-sinx，數列an滿足：0≤a1≤1，an+1=f（an），n=1，2，3，…．

證明：（1）0＜an+1＜an＜1；（2）an+1＜ an3．

證明 （1）先用數學歸納法證明0＜an＜1，ｎ=1，2，3，….

（i）當n=1時，結論顯然成立．

（ii）假設當n=k時結論成立，即0＜ak＜1.因為0

由（i）、（ii）可知，對一切正整數結論都成立．

又因為0＜an＜1時，an+1-an=an-sinan－an＝－sinan＜0，所以an+1＜an，綜上所述0＜an+1＜an＜1．

（2）設函數g（x）=sinx-x+ x3，0＜x＜1．由（1）知，當0＜x＜1時，sinx＜x，從而g′（x）=cosx-1+ =2sinx2 + ＞-2（ ）2+ =0，所以g（x）在（0，1）上是增函數．

又g（x）在[0，1]上連續，且g（0）=0，所以當0＜x＜1時，g（x）>0成立．

于是g（an）>0， 即sinan-an+ an3＞0 ． 故an+1＜ an3．

點評 本題是一道數列背景的不等式證明問題，所用方法為數學歸納法、導數法．證明不等式的常用方法還有：比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法和換元法等．

責任編校 賴慶安

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。