主元分類法解高考數學壓軸題

分類思想作為數學思想之一，是數學的重要思想，當含有參數時，對參數需要進行分類，如果有幾個參數時，要確定一個主元進行分類，再進行第二次分類和第三次分類.中學數學中的判別式與0、絕對值的正負性、底數與1、角的象限、整數的奇偶性、斜率的存在性等問題，往往需要進行分類解答.本文以主元分類法對廣東省2007年高考數學卷中的壓軸題進行如下分析與解答.

例題（2007年廣東卷) 已知a是實數，函數

f（x）=2ax2+2x-3-a．如果函數y=f（x）在區間［-1，１］上有零點，求a的取值范圍．

分析 參數a是實數，解答過程中要對a進行分類；同時函數有零點，零點的個數也可以進行分類，二次函數判別式含有參數a，也要進行分類.因此，解答過程中有必要用一個主元分類.

解法1以a為主元進行分類如下：

1. 若 a＝０，f（x）=2x-3，顯然［-1，１］在上沒有零點， 所以a≠０.

2. a≠０，對判別式含有參數a進行分類：

（1）令△=4+8a（3+a）=8a2+24a+4=0 ，

得 a = ，

①當a= 時，y=f（x）恰有一個零點在

［-1，１］上.

②當a= 時，沒有零點.

（2）當△≠0 時，以零點進行分類：

① 當有一個零點時，有f（－１）f（1）＜0， 即1＜a＜5.

② 當有兩個零點時， 則f（－１）f（1）≥0，分類如下：

（i）a＞0，△=8a2+24a+4＞0，-1＜- ＜1， f(１)≥0. f(-１)≥0.

（ii）a＜0，△=8a2+24a+4＞0，-1＜- ＜1， f(１)≤0. f(-１)≤0.

解得a≥５或 .

綜上可知，a的取值范圍是a＞1或a≤ .

解法２以零點為主元進行分類：

1.只有一個零點時，分類討論如下：

（1）若a＝０，f（x）=2x-3 ，顯然在區間［-1，１］上沒有零點， 所以a≠０.

（2）a≠０，當f（-1）f（1）≤0時， 1≤a≤5有零點.

2. 有兩個零點時，a≠０，當f（-1）f（1）＞0時，進行分類討論如下：

（1）當f（-1）>0，f（1）＞0時，a＞5有零點.

（2）當f（-1）＜0 ， f（1）＜0時 ， a<1， 進行分類討論如下：

①當0＜a<1時，函數的兩根不在區間［-1，１］上，即在區間上沒有零點.

②當a＜0時，當函數最大值大于0，函數的對稱軸在區間［-1，１］上時有零點，此時a≤ .

綜上可得，a的取值范圍是a＞1或 a≤.

點評 這是一道比較復雜的綜合題，很多考生無法正確解答，其主要原因是他們不知道如何分類.因此，在解答此類問題時，要注意選擇好主元，尤其是很多參數不確定時，只有確定好以某一個主元進行分類，才能找到解題的突破口.

責任編校 賴慶安

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