三角函數最值在實際問題中的應用

“學以致用”是新課標的“靈魂”，利用三角知識解決現實生活中的實際問題，理應成為我們學習三角函數內容的一個重點.合理地選取自變量是求解應用題的一個關鍵步驟，以“角”為自變量建立函數關系式是三角函數應用題求解的一種基本方法.本文列舉幾個利用三角函數最值求解實際問題的例子，供同學們參考.

例1 如圖，在直徑為１的圓O中，作一個關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．

(Ⅰ) 將十字形的面積表示為 的函數；

(Ⅱ)為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？

解析 對于第一個問題，用x、y表示面積相對容易；第二個問題需要是利用三角變換求最值或用導數求最值.

（Ⅰ）設S為十字形的面積，.

（Ⅱ）解法1：

點評 利用三角函數求面積的最值是一種常用方法，其中涉及三角換元或三角變換.

例２ 如圖，某城市現有自市中心O通往正西方向與正東北方向的兩條主要公路，為了解決該市交通擁擠問題，市政府決定修建一條環城公路，分別在通往正西方向和正東北方向的公路上選取A、B兩點，使環城公路在A、B間為直線段，要求AB環城路與市中心O的距離為10公里，且使A、B間的距離｜AB｜最小.請你確定A、B兩點的最佳位置. (不要求作近似計算)

解析 本題是與三角形有關的問題，因此需分清三角形中的邊角關系，然后利用三角函數的定義來求解.

由上可知，把兩站A、B設在距市中心O為

10 公里處，|AB|最短，最短距離為20（1+ ）公里.

點評 應用三角函數模型解題離不開函數解析式的確立，而要準確列出解析式則必須讀懂題意；合理設定變量并建立三角函數關系后，往往要利用該函數的性質或圖像進行分析求解，有時還要用到均值不等式.

例３ 要修一條深2米，橫截面為等腰梯形的引水渠，在橫截面面積大小一定的條件下，要求渠底面和兩側面所用材料最省.問渠壁的傾斜角 （銳角）為多大時，才能滿足這一要求.

解析 可以將問題抽象為求滿足橫截面積在定值的條件下，渠底面和兩側面的截面周長最小，所消耗材料最省.如圖所示，設橫截面面積為S，則S= ×２= ×２，得BC= -２cot ，

∴渠底面和兩側面的截面周長為l=AB+BC+CD＝2× + -２cot =2× + .

令t= ，要使周長l最小，只需t= 最小，根據三角函數公式可以得到：

t= = + ，由均值不等式可知，當 ＝ ，即tan = 時，t取得最小值.

由此可知，故當 =60°時，渠底面和兩側面的截面周長最小，也就是渠底面和兩側面所用材料最省.

點評 把實際問題抽象轉化為數學問題，關鍵是建立函數關系式，并運用均值不等式或函數導數等方法求最值.

例４ 在一次足球課上，體育老師問瑪麗同學：“如果你是左前鋒，當你得球后，沿平行于邊線GC的直線FE助攻到前場（如圖，設球門寬AB=a米，球門柱B到FE的距離BF=b米），那么你推進到距底線CD多少米時，為射門的最佳位置？”

解析 射門角∠APB最大時為射門的最佳位置.若直接在非特殊△APB中利用三角形邊長來求∠APB的最值，顯得比較繁瑣，注意到∠APB=∠APF－∠BPF，而后兩者都在直角三角形中，故可應用直角三角形的性質求解.

當且僅當x= ，即x= 時，y取到最小值2 ，從而可知x= 時，tan?琢取得最大值，即tan?琢= 時，?琢有最大值.故當P點距底線CD為 米時，為射門的最佳位置.

點評 將“文字語言、圖形語言、符號語言”進行歸納，尋找反映所求實際問題的背景，把題目中出現的邊、角關系和直角三角形聯系起來.引入角變量，通過三角變換及求最值，達到尋求射門的最佳位置.

例５ 如圖，一位滑雪運動員自h=50m高處A點滑至O點，由于運動員的技巧(不計阻力)，在O點保持速率?自0不變，并以傾角 起跳，落至B點，令OB=L.試問：當?琢=30°時，L的最大值為多少？當L取最大值時， 為多大？

解析 首先借助于物理學知識得出目標函數，其次運用三角函數的知識來解決實際問題.

由已知條件列出從O點跳出后的運動方程：

∴L最大值為200米，也即當L最大時，運動員起跳的仰角為30°.

點評 用三角函數解決物理中的一些問題或用物理知識解決數學中的一些問題，是數學與各個學科之間聯系的一個體現，從中我們可以感受到“數理聯姻”的魅力.此外，在解答此類問題時，考生對有關術語如仰角、俯角、方位角、方向角等要正確理解.

例６ 有一個養魚專業戶設計了如圖所示的魚池.過道寬為a厘米，設成品魚的身長與彎曲后的弦長之比為 ∶1，則成品魚的身長最小為多少厘米時，就不能進入未成品魚池？

解析 成品魚是否進入未成品魚池，要通過一定的計算才能知道，引入參數，將實際問題轉化為三角函數的模型去解決.

設魚身彎曲后的弦與過道的夾角為θ，則AB= + （θ （0， ）），問題轉化為求y=y（θ）= + （θ （0， ））的最小值.

y=a（ + ）＝a

＝a ≥a =2 a，當且僅當tanθ＝cotθ，即θ=45°時式子取等號.由于成品魚的身長與彎曲后的弦長之比為 ∶1，可知成品魚身長最小為4a厘米時，就不能進入未成品魚池.

點評 當已知與未知之間不能直接建立起關系時，可通過引參數來實現.本題巧妙地引入參數θ，使實際問題順利地轉化為三角函數的問題去解決.

三角函數的實際應用多與最值有關，解決這類問題的方法是選取一個恰當的變量θ角，構造以θ角為自變量的函數，通過求三角函數最值來解決.這類問題解題一般流程為：審讀題意→設角建立三角函數式→進行三角變換→解決實際問題；通常分兩步求解：首先建立目標函數，其關鍵是選擇恰當的自變量并確定自變量的取值范圍；其次是在符合實際問題意義的情形下求目標函數的最值.

責任編校 賴慶安

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。