直線和圓考點高考命題亮點解析

直線與圓是解析幾何的入門知識，一般來說，在高考中主要考查：平行與垂直問題、方程問題、對稱問題、相切問題、距離問題、軌跡問題等，考生對這些問題都頗為熟悉. 然而，2007年全國各地的高考對有關直線和圓考點的考查中，有一些題突破了常規類型，考查形式上具有新穎之處.

一、在常規題型上，革新相切及方程問題的設計

相切是平面解析幾何中最重要的一種位置關系，包含直線與圓、圓與圓的相切問題，其常規的題型表現為已知直線和圓相切時，求直線或圓的方程，而下列考題在常規題型上則有所革新.

例1 （2007年山東卷）與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標準方程是 ．

解析將曲線方程化為（x-6）2+（y-6）2=18，其圓心到直線x+y-2=0 的距離為d= =5 .結合上圖可知，所求的最小圓的圓心在直線y=x上，其到直線的距離為 ，圓心坐標為（２，２）. 所以，所求圓的標準方程為（x-2）2+（y-2）2=2.

點評求圓的方程，把圓心、半徑的求解作為突破口. 題中與所已知直線和曲線相切的圓有無數個，而半徑最小的圓是惟一的，結合圖形易分析得出最小半徑的圓心位置及半徑大小.

二、在知識交匯上，距離問題巧融合不等式

對距離問題的考查，一般只涉及點線距離及兩條平行線距離的研究，而下面的考題卻抓住點這一重要元素，構造了點線距離及不等式組所表示平面區域的珠聯璧合.

例2 （2007年全國卷）下面給出的四個點中，到直線x-y+1=0的距離為 ，且位于x+y-1＜０x-y+1＞0

表示的平面區域內的點是（ ）.

A．（１，１）B．（－１，１）

C．（－１，－１）D．（１，-１）

解析選擇項A中，點（１，１）到直線x-y+1=0的距離為 = ，但點（1，１）代入x+y-1＜０不符合要求.

選擇項B中，點（－１，１）到直線x-y+1=0的距離為 = ，但點（-1，1）代入x-y+1＞0不符合要求.

選擇項C中，點（-1，-1）到直線x-y+1=0的距離為 = ，又點（-1，-1）代入x+y-1＜0x-y+1＞0符合要求. 正確選項為C.

點評 將點線距離的計算與簡單線性規劃問題結合在一起，知識點交匯的形式較為新穎.

三、在數學思想上，由含參圓系施加分類討論

在學習基礎知識的同時，同學們必須重視數學思想方法的滲透，高考也十分重視對思想方法的考查. 以下考題通過對含一個參數的圓系的研究，凸現出分類討論的重要性.

例3 （2007年江西卷）設有一組圓Ck：（x-k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）．下列四個命題：

A． 存在一條定直線與所有的圓均相切

B． 存在一條定直線與所有的圓均相交

C． 存在一條定直線與所有的圓均不相交

D． 所有的圓均不經過原點

其中真命題的代號是．（寫出所有真命題的代號）

解析 圓心為（k-1，3k），半徑為 k2，圓心在直線y=3（x+1）上，所以直線y=3（x+1）必與所有的圓相交，B正確；由C1、C2、C3的圖像可知A、C不正確；若存在圓過原點（0，0），則有（-k+1）2+9k2=2k4?圯10k2-2k+1=2k4（k∈N*），因為左邊為奇數，右邊為偶數，故不存在k使上式成立，即所有圓不過原點. 填B、D.

點評 研究含參數的一組圓，既要抓住對含參方程的剖析，又要結合特值來進行排除. 題中用代入法研究是否過原點，用消參法得到圓心所在直線，用特值法排除A、C選項. 此題既在含參數的一組圓方程的已知上較為獨特，又在命題判斷類型上加強了綜合.

四、在解題方法上，滲透坐標法在客觀試題中的應用

對平面幾何問題的研究，一種方法是建立適當的坐標系，將平面幾何問題轉化為解析幾何問題，此法稱為坐標法（或解析法）.一般是在解答題中涉及此法的運用，而下列的客觀試題凸現了坐標法的思想.

例4 （2007年四川卷）如圖，l1、l2、l3是同一平面內的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在l1、l2、l3上，則△ABC的邊長是（）.

A. 2B.C.D.

解析 過點Ｃ作l2的垂線l4，以l2、l4分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，并設A（a，1）、B（b，0）、

C（0，-2）.

由AB=BC=AC，可知（a-b）2+1=b2+4=a2+9=邊長的平方.

檢驗A：（a-b）2+1=b2+4=a2+9=12，無解；

檢驗B：（a-b）2+1=b2+4=a2+9= ，無解；

檢驗C：（a-b）2+1=b2+4=a2+9= ，無解；

檢驗D：（a-b）2+1=b2+4=a2+9= ，符合要求，所以選D.

點評 本題作為一道客觀題的壓軸題，在基礎知識的綜合運用中考查考生的能力.

五、在思想觀點上，將運動變化設計于位置關系中

運動與變化這一辯證唯物主義思想，在高中數學內容許多處都有所滲透，如函數中因變量是隨自變量的變化而變化、平面圖形旋轉構成旋轉體以及點的運動軌跡形成曲線等.

例5 （2007年上海卷）如圖，A、B是直線l上的兩點，且AB=2．兩個半徑相等的動圓分別與l相切于A、B點，C是這兩個圓的公共點，則圓弧AC、CB與線段AB圍成圖形面積S的取值范圍是．

解析 如圖，當⊙O1與⊙O2外切于點C時，S最大，此時，兩圓半徑為1，S等于矩形ABO2O1的面積減去兩扇形面積，有Smax=2×1-2×（ ×π×12）=2- ．

隨著圓半徑的增大，C可以向直線l靠近，當C到直線l的距離d→0時，S→0，∴S∈（0，2- ].

點評 研究運動與變化中的若干問題時，需要抓住幾何圖形固有的特征和變化的趨勢. 此題所圍圖形的面積變化，通過圖形可感知與點C到直線l的距離有關，圖形雖不規則，但由運動的兩個極端易分析得到對應的圖形面積，從而可知變化面積的范圍.

六、在知識拓展上，涉及格點及計數等競賽問題

高考注重對數學基礎知識及基本能力考查，但由于高考是選拔人才的需要，所以與中學數學考試要求沒有脫離的競賽性問題，也常作為高考命題設計的一個范疇.

例6 （2007年湖北卷）已知直線 + =1（a，b是非零常數）與圓x2+y2=100有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有（）.

A．60條 B．66條C．72條 D．78條

解析 可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標軸不垂直，不過坐標原點，而圓x2+y2=100上的整數點共有12個，分別為（－6，±8），（6，±8），（8，±6），（-8，±6），（±10，0），（0，±10），前8個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有8條；12個點中過任意兩點，構成C212=66條直線，其中有4條直線垂直x軸，有4條直線垂直y軸，還有6條過原點（圓上點的對稱性），故滿足題設的直線有52條.

綜上可知滿足題設的直線共有條52+8=60，選A.

點評 把橫坐標、縱坐標為整數的點稱為格點（意為坐標方格的頂點）.在討論直線和圓的公共點為格點時，要抓住圓方程的整數解，并結合圖形分析各種可能的直線，由排列組合中的計數原理可得到計算結果.

七、在創新思維上，由新定義點研究軌跡及圖形

創新是一個民族的靈魂，高考也十分重視對創新思維的考查，常常表現為利用一個新的定義來解決問題.

例8 （2007年上海卷）已知P為圓x2+（y-1）2=1上任意一點（原點O除外），直線OP的傾斜角為θ弧度，記d=OP． 在右側圖1的坐標系中，畫出以（θ，d）為坐標的點的軌跡的大致圖形為.

解析 如圖2中，∠OPA=90°，OA=2r=2，則d=OP=2cos（ -θ）=2sinθ，θ∈（0，π），所以以（θ，d）為坐標的點的軌跡的大致圖形如圖3.

點評 由已知易得到θ與d的函數關系，進一步根據函數式作出圖形，注意自變量θ的取值范圍. 此題以新穎的坐標構成形式，考查了對軌跡方程及圖像的研究，填空的形式也是獨出心裁，突出了上海高考卷對能力的高要求.

八、在應用能力上，將數學問題置于實際情景中

解答數學應用問題，需要從切合實際生活的新穎情景中，抽象出中學數學階段所涉及的數學模型，運用所學數學知識來進行解答.

例8 （2007年浙江卷）要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水．假設每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數最少是（ ）.

A. 6B. 5 C. 4 D. 3

解析 因為龍頭的噴灑面積為36π≈113，正方形面積為256，故至少三個龍頭. 由于2R＜16，故三個龍頭肯定不能保證整個草坪能噴灑到水.

當用四個龍頭時，可將正方形均分四個小正方形，同時將四個龍頭分別放在它們的中心，由于2R=12＞

8 ，故可以保證整個草坪能噴灑到水. 正確選項為C.

點評 此題以草坪噴水龍頭的設計作為問題，背景貼近實際生活，轉化為數學問題就是用半徑為6的圓，如何覆蓋邊長為16的正方形.

責任編校 賴慶安

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。