二項(xiàng)分布的Ｂａｙｅｓ解風(fēng)險(xiǎn)分析

摘 要：文章先介紹了不同損失函數(shù)下的Bayes解，然后以二項(xiàng)分布作為具體應(yīng)用問題，從Bayes風(fēng)險(xiǎn)的角度，對(duì)不同的損失函數(shù)下所得的Bayes解進(jìn)行了比較，探討了各類Bayes解的優(yōu)良性。

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)分布 損失函數(shù) Bayes解 Bayes風(fēng)險(xiǎn)

引言

假定樣本x′=(x ，x ，…，x )的聯(lián)合密度是p(x ，x ，…，x ；θ)，簡寫成p(x|θ)，其中θ是參數(shù)。從貝葉斯觀點(diǎn)看來，參數(shù)估計(jì)問題就是要尋找隨機(jī)向量x的函數(shù)δ(x)，使它盡可能“接近”隨機(jī)變量θ。為選擇最好估計(jì)量，人們建立了諸如損失函數(shù)、風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而求出Bayes解。由于先驗(yàn)分布的選取不同，即使是同樣損失函數(shù)情況下，得到的Bayes解也不同。文獻(xiàn)［１］和［２］探討了在不同先驗(yàn)分布的選取下，Bayes風(fēng)險(xiǎn)情況。由于共軛分布有不少優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際工作中我們往往選取共軛分布作為先驗(yàn)分布來求Bayes解，因此探討在不同損失函數(shù)下Bayes解的Bayes風(fēng)險(xiǎn)就成為必要。文獻(xiàn)［３］分析了基于不同損失函數(shù)下Bayes解優(yōu)劣，沒有從Bayes風(fēng)險(xiǎn)的角度去分析。本文我們以二項(xiàng)分布作為具體應(yīng)用問題，應(yīng)用Bayes風(fēng)險(xiǎn)分析在不同損失函數(shù)下Bayes解的優(yōu)劣情況。當(dāng)然，在選擇先驗(yàn)分布時(shí)，我們主要是根據(jù)雷發(fā)(Raiffa·H)和施萊弗(Schlaifer·R)在文獻(xiàn)［４］中提出的共軛分布原則，為以下行文方便，先給出若干預(yù)備知識(shí)。

1 幾類常見的損失函數(shù)下的Bayes解

此時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，由式（2）可得

從式（16）可以看出，對(duì)同一概型根據(jù)不同的損失函數(shù)，即使選用同類的先驗(yàn)分布，也會(huì)得到不同的Bayes決策。從表面上來看，選取相對(duì)差損失函數(shù)給出的二項(xiàng)分布參數(shù)p的Bayes估計(jì)（即Bayes解）是估計(jì)類中最保守(小)的一個(gè)。然而，它是不是最合理、最好的一個(gè)呢?從Bayes風(fēng)險(xiǎn)的角度看，由式（17）可知，選取平方損失函數(shù)給出的條件期望估計(jì)是二項(xiàng)分布參數(shù)p的Bayes風(fēng)險(xiǎn)最小的估計(jì)，是比其他兩類更合理的一個(gè)估計(jì)。

參考文獻(xiàn)：

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