例析一道“新定義”試題

摘 要：“新定義”類試題在中考試題中屢見不鮮。本文通過對一條例題的解析，指出“新定義”類試題在“變”中也有“不變”的規則。

關鍵詞：“新定義”試題 “變”“不變”

由于新教材的推廣，近年來“新定義”類試題在中考試題中屢見不鮮。這類試題有如下的特點：源于中學數學內容但又是學生沒有遇到過的新信息，它可以是新的概念、新的運算、新的符號、新的圖形、新的定理或新的操作規則與程序、新的情景等等。其實這類試題并沒有我們想象中的那樣陌生，它在“變”中也有“不變”的規則。變在于它的表象，題目形式變了，要求變了，不變的還是用我們曾學過的定理、方法來解決問題，化未知為已知、化陌生為熟悉。下面以一道中考題談談它的變與不變：

（2007年北京市中考題）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。類似的，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形。

（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；

（2）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，設CD、BE相交于點O，∠A=60°，∠DCB=∠EBC= ∠A。請你寫出圖中一個與∠A相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；

（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點D、E分別在AB、AC上，且∠DCB=∠EBC= ∠A。探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論。

分析：我們發現題目不像我們傳統上的敘述類型，由我們曾學過的定義派生出了新定義，這我們發現“變”了。然而問題的解決并沒有超出我們所學范圍，這是“沒變”。這道題屬于“新的概念”型，由于題目中給出了等對邊四邊形的定義，所以回答第一個問題沒有多大的困難，學過的特殊四邊形有平行四邊形、矩形、正方形、菱形和等腰梯形，這些都屬于等對邊四邊形。

而在第二個問題中，給了個60°的∠A，這樣利用題中的條件不難得到∠EOC=∠DOB=∠A=60°，接下來的猜想再次回到了題中新定義的圖形上去，根據圖形我們能觀察到的四邊形只有兩個四邊形ADOE和四邊形DBCE，由圖形直觀我們不難猜想到是四邊形DBCE是等對邊四邊形。這個問題的設置其實是為第三問題的出現打下伏筆，看似問題的變化其實解決問題的數學方法和思想都沒有變，只要我們抓住問題的本質，第三問就會迎刃而解。它也體現了從特殊到一般的數學思想方法。

第三問的解答由第二問的猜想，再根據題中的定義，我們要證四邊形DBCE是等對邊四邊形就是去證BD=CE，由于這兩條線段不在同一個三角形中，所以我們會想到用三角形全等證得兩條線段相等，但觀察圖形沒有這樣的圖形，因而想到轉化思想，把其中的一條線段通過轉化與另一條線段出現在一個三角形中證其是等腰三角形即可。因此我們可以采用“截長補短”的辦法來構造全等三角形來達到我們轉化的目的。請看下面的解法：

方法一：（截長）如圖①

在OE上截取OF=OD，

所以四邊形DBCE是等對邊四邊形。

從這道題目我們可以看出新定義題雖然在題目的外表上作了變化，而實質上還是用我們已學過的知識和方法來解決問題，變的是我們對題目的認識，不變的是我們對新題型解決的方法和數學思想。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”