對(duì)０７年高考數(shù)學(xué)山東卷兩道命題的看法

2007年是山東省實(shí)施普通高中新課程后的首次普通高校全國(guó)統(tǒng)一招生考試。數(shù)學(xué)試卷著力體現(xiàn)新課程理念，突出高考的選拔性本質(zhì)特征，立足雙基、重視應(yīng)用，在強(qiáng)調(diào)探索、適度開(kāi)放、學(xué)科整合與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值方面進(jìn)行了大膽的嘗試，為廣大一線教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)提供了正確的導(dǎo)向和寶貴的課程資源。但命題的設(shè)計(jì)上也存在一些瑕疵。下面就結(jié)合閱卷情況，筆者談?wù)剬?duì)其中兩個(gè)命題的看法。

一、應(yīng)用題的設(shè)計(jì)不夠成熟，不能很好地實(shí)現(xiàn)考查意圖

07高考數(shù)學(xué)山東卷（理工農(nóng)醫(yī)）的第20題是考查學(xué)生應(yīng)用能力的問(wèn)題。

由上述的解法，我們可以發(fā)現(xiàn)這道所謂的應(yīng)用題在本質(zhì)是一個(gè)簡(jiǎn)單的平面幾何求線段長(zhǎng)的問(wèn)題，不需要用到正弦定理、余弦定理等相關(guān)工具。問(wèn)題的求解也不需要在數(shù)學(xué)理論和現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)行深層的轉(zhuǎn)換。所以基礎(chǔ)扎實(shí)的初中生甚至是小學(xué)生就可以解決該題。筆者曾讓部分初中生和小學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題，測(cè)試結(jié)果證明了上述的判斷。閱卷情況也更加清楚地證實(shí)了這一點(diǎn)，很多學(xué)生在其余解答題得分很低甚至零分的情況下，本題仍能得到高分甚至是滿分。這說(shuō)明什么呢？這說(shuō)明命題者所預(yù)期的考查意圖只是一廂情愿，如此的命題既不能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握，更不能深入考查學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，從而就不能很好地完成為高等學(xué)校選拔人才的任務(wù)。

高考命題的設(shè)計(jì)為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的“缺陷”呢？ 筆者以為，命題的設(shè)計(jì)顯然參考了06年上海卷（理工農(nóng)醫(yī)第18題）的“海事救援”解三角形問(wèn)題。但命題者刻意追求數(shù)據(jù)的完美（甲、乙兩船行駛的速度一致），導(dǎo)致三角形 B 恰好為等腰直角三角形，這就減弱了試題所承載的考察功能。我們期待山東卷應(yīng)用題的設(shè)計(jì)能盡量減少人為編造、硬性拼湊的痕跡，增加問(wèn)題的“應(yīng)用味”和實(shí)際性，能更加樸實(shí)、自然，給人的實(shí)在、實(shí)際和實(shí)惠的感覺(jué)！

二、最后一道壓軸題的設(shè)計(jì)缺少變化，不夠合理

07年山東卷（理工農(nóng)醫(yī)）第22題如下：

1.命題設(shè)置不能很好地考查學(xué)生對(duì)分類思想的掌握。

本題是06年山東卷（理工農(nóng)醫(yī)）第18題的一種延伸（題目如下：設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a≥-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間）。原函數(shù)的選取由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)變成二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)需要討論的部分由一次函數(shù)（ax-1）變成二次函數(shù)（2x +2x+b）。命題者的意圖是考查學(xué)生利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查學(xué)生分類討論思想，對(duì)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行綜合性的考察。

分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法，是歷年高考的重點(diǎn)。筆者曾指出06年山東卷第18題a≥-1條件的設(shè)置不利于考查學(xué)生對(duì)分類討論思想的掌握［１］。同樣07年壓軸題中b≠0及問(wèn)題(Ⅰ)中b＞ 的條件，已經(jīng)提示了判斷函數(shù)f(x)單調(diào)性的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。這顯然不利于考查學(xué)生對(duì)分類思想的掌握，因?yàn)槟芊裼幸庾R(shí)地找到分類的關(guān)鍵點(diǎn)是判定學(xué)生是否掌握分類討論思想的標(biāo)志。閱卷的情況也證明了上述的分析，許多學(xué)生都能根據(jù)提示，機(jī)械地對(duì)b進(jìn)行分類討論求f(x)的極值點(diǎn)，從而降低了問(wèn)題(Ⅱ)的難度與區(qū)分度，減弱了命題的考察功能。

2.階梯設(shè)置不合理，沒(méi)有反映問(wèn)題的本質(zhì)。

著名數(shù)學(xué)家單墫曾指出：“命題設(shè)計(jì)中階梯不宜多加。”［２］特別是當(dāng)一個(gè)問(wèn)題有多種思路可以解決的時(shí)候，增加階梯往往限制了思維，只剩下“華山一條道”，反而不利于學(xué)生解決問(wèn)題。命題者的原意是把問(wèn)題(Ⅰ)、(Ⅱ)作為問(wèn)題(Ⅲ)的階梯，以問(wèn)題(Ⅰ)、(Ⅱ)的解決為基礎(chǔ)，通過(guò)函數(shù)構(gòu)造的方法解決問(wèn)題(Ⅲ)。但問(wèn)題(Ⅰ)、(Ⅱ)與問(wèn)題(Ⅲ)的聯(lián)系不夠緊密，構(gòu)造函數(shù)的方法并不是問(wèn)題的本質(zhì)解法。對(duì)于問(wèn)題(Ⅲ)而言，下面的兩種簡(jiǎn)捷的解法，才真正抓住了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

解法1（不等式放縮法）

根據(jù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)把問(wèn)題(Ⅰ)、(Ⅱ)作為問(wèn)題(Ⅲ)的階梯是不合適的。三個(gè)問(wèn)題的聯(lián)系不夠緊密，人為地對(duì)它們進(jìn)行形式的綜合，只能成為一種知識(shí)的堆砌，難以達(dá)到命題設(shè)置的預(yù)期效果，失去命題所承載的評(píng)價(jià)功能。這樣的命題設(shè)置很容易讓學(xué)生形成這樣一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)：為了證明 成立，需要構(gòu)造一個(gè)比較復(fù)雜的輔助函數(shù)。這顯然不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性和一般化精神，不利于他們形成正確的數(shù)學(xué)觀。事實(shí)上，01年全國(guó)高考（理工農(nóng)醫(yī)）第20題也存在著階梯設(shè)置不當(dāng)?shù)膯?wèn)題。

3.命題的設(shè)計(jì)沒(méi)有體現(xiàn)新課程理念，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

由上面的分析，我們可以看到07高考數(shù)學(xué)山東卷壓軸題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法以及邏輯推理能力。對(duì)于問(wèn)題(Ⅲ)而言，命題者提示的輔助函數(shù)顯然是一個(gè)特殊的函數(shù)，這就導(dǎo)致問(wèn)題的解決技巧性較強(qiáng)，競(jìng)賽味濃重，缺乏變化，不能充分體現(xiàn)新課程的特點(diǎn)。考慮到問(wèn)題(Ⅲ)的命題背景，可以考慮作一些必要的鋪墊，讓學(xué)生由淺入深地對(duì)已知函數(shù)性質(zhì)不斷推廣，探究函數(shù) 的單調(diào)性，然后利用其得出的一般結(jié)果證明不等式 。這樣的命題設(shè)計(jì)顯然更富有靈氣，更能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的真實(shí)歷程，更能體現(xiàn)新課程理念、體現(xiàn)新課程提倡研究性學(xué)習(xí)和鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新的特點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王劍，武海蓬. 對(duì)一道高考命題的幾點(diǎn)看法.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2006，5.

[2]單墫.解題研究. 南京師范大學(xué)出版社，2002，1.

（王劍系山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”