滲透在平面圖形的面積公式推導中的方法與策略

摘 要：本文詳細闡述了筆者在教學中如何讓學生在平面圖形的面積公式推導中親歷探究的過程，積極主動構建，真正理解面積計算公式，以與同行共享。

關鍵詞：平面圖形 面積公式 推導 方法 策略

認知心理學認為，教材里的知識結構是客觀存在的，要使這種知識結構轉化為學生的認知結構，必須有一個建構的過程。而這個建構過程絕不是像復印機那樣直接“復印”上去的，而是在學生已有的認知結構的基礎上，經過個體的主動參與及內心體驗，逐步感悟、同化新知識，并充實、完善或改組原有的認知結構，從而形成新的認知結構的過程。因此我們在教學面積公式推導時必須做到以下幾點：

一、平面圖形的面積公式推導中，親歷探究的過程，積極主動建構，真正理解面積計算公式

《課標》中指出：空間與圖形這部份知識教學，應注重使學生探索現實世界中有關空間與圖形的問題；應注重使學生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小及變換。因此在平面圖形面積公式教學時，我們不能單純地讓學生記住計算公式，例如：S=abs=ahs=ah/2等，然后機械地應用公式進行計算，這不是我們教學的最終的目的，而要讓學生通過動手操作，理解平面圖形面積公式的推導的過程，真正理解公式是如何獲得的，在教學過程中注重學習方法、思維方法、探索方法的獲取，讓學生主動獲取知識，同時也讓學生知道這些知識是如何被發現的，結論是如何獲得的，體現“方法比知識更重要”這一新的教學價值觀。

案例1：在教學《長方形的面積計算》公式推導的環節中是作如下安排的：

第一環節：數方格圖感知長方形的面積。

先讓學生數出以下兩個長方形的面積，每格表示1平方厘米。

學生先感知一個長方形里有幾個1平方厘米，面積就是多少平方厘米？初步知道長方形的面積可以用數方格的方法知道它們的面積。

師進行引導：如果用這種方法去求（度量）一個較大圖形或物體的面積（如操場），你會感到怎樣？

第二個環節：自主探索，獲取新知。分成以下三個步驟：

（1）觀察感知長方形面積與什么有關。讓學生用若干個1平方厘米的小正方形，任意擺一個長方形。擺好后思考下面問題：你擺的長方形面積多少？長是多少？寬是多少？你認為面積與什么有關？

（2）小組合作，探究長方形面積與長和寬的關系。這層次讓學生用12個面積是1平方厘米的小正方形擺一個長方形，擺好后小組討論：你們發現長方形面積與長和寬有什么關系？得出長方形的面積=長×寬。

（3）驗證總結，概括公式。讓學生任意擺一些長方形進行驗證，同時讓學生進一步探究：為什么長方形面積會等于長乘寬？學生發現長方形的面積就是所有小正方形的面積和，所有小正方形的面積和是：每排小正方形的個數乘以排數，而每排小正方形的個數又正好是長邊所含厘米數，排數又正好是寬邊所含厘米數。所以長方形的面積等于長乘以寬。

以上是長方形面積公式的推導過程。教學中首先要讓學生動手擺、動腦想、動口說，給學生提供足夠的活動時間。其次，重視知識的探索和形成過程。長方形面積的推導過程中，在教師精心設計的三步曲引導下，借助學具操作，學生發現每排正方形的個數正好是長邊所含厘米數，排數正好是寬邊所含厘米數，長方形的面積正好是所有小正方形的面積和，從而總結出長方形的面積公式。激發了學生學習數學的積極性，培養了學生自主學習的個性品質，充分體現了“知識固然重要，但方法比知識更重要”這一新的教學價值觀。

二、在平面圖形的面積公式推導中，滲透轉化的數學思想方法

日本著名數學教育家米山國藏指出：“作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地地發生作用，使他們終身受益。”數學思想方法（即隱性數學知識）是數學學科的精髓，是數學素養的重要內容之一。在小學數學中數學思想方法沒有也不能作為專門內容來教學，它的形成，不能干巴巴地紙上談兵，要有機地滲透到學習過程中，讓學生在數學活動中領悟和掌握數學思想方法。

案例2：我曾摘錄了這樣一篇推導平形四邊形的面積公式的案例：

第一環節：復習導入。

【課件出示】

以上三個圖形同學們用了轉化的方法，把不能求出它面積的圖形，轉化為已學過圖形的面積，再求出原來圖形的面積，我們今天就用這樣的方法來一起解決一些新的數學問題。（為探究平行四邊形的面積公式做好思想的準備）

第二環節：動手操作，探究新知。

為學生提供充分合作學習的時間、討論的空間以及實驗的素材。

讓學生親歷探索：平形四邊形的面積公式推導全過程——動手操作，親歷探索。

在活動中學生充分理解到，可以將未學過的圖形轉化為學過的圖形后推導面積公式，使轉化的數學思想方法有機地滲透到學習過程中，利用割補法探索出平行四邊形的面積公式，讓學生在數學活動中領悟和掌握數學思想方法，經歷探索平行四邊形面積公式的推導過程，體驗成功解決數學問題的喜悅或失敗的情感。

三、面積公式推導中，引導多角度思考，拓展思維空間，有利于探究，滲透推導方法多樣化的策略

教學時，應該從學生的生活經驗和已有的知識出發，給學生呈現“現實的、有意義的、富有挑戰的”材料，提供充分的教學活動和交流的機會，引導他們在自主探索的過程中獲得知識和技能，掌握基本的數學思想和方法。不同的學生常常表現出不同的數學學習傾向，因而探究活動和結果也不盡相同，教學中應當充分滿足多樣化的學習需求。例如：推導平行四邊形的面積公式時，通過割、移、補的方法拼成長方形的面積，三角形的面積轉化為長方形或平行四邊形，梯形轉化為前面學過的圖形進行推導等等。

案例3：三角形的面積公式的推導過程：

操作——思考——驗證公式

“底×高÷2”這個規律適用于所有形狀的三角形面積計算嗎？學生持懷疑態度，又懷著較強烈的好奇心。教師因勢利導讓學生利用自己的學具進行操作、剪拼、思考、歸納。

三角形面積計算是一個什么樣的計算規律呢？教師隨著這個問題提出以下要求：

（1）學具袋里有一些三角形，同學們可以利用學過的知識進行剪、擺、拼，思考一下三角形面積是不是都有“底×高÷2”的計算規律。

（2）同桌同學可共同討論、研究。

（3）有結論以后可到黑板前面展示其過程，并說明理由。隨學生展示出現以下情況：

擺拼一：用兩個完全一樣的三角形擺拼

（1）三角形面積=底×（高÷2）=底×高÷2

（2）三角形面積=（底÷2）×高=底×高÷2

（3）三角形面積=底×(高÷2)=底×高÷2

從而歸納三角形面積=底×高÷2。

發散性思維是從不同方向、不同角度、不同關系去思考問題，從多種途徑中探求解決問題方案的一種思維活動。在小學數學教學中，我們要善于啟發學生多角度地去思考。即在發現問題和解決問題的過程中，要引導學生從不同的角度去思考，從各個不同的方面尋求多種解決問題的方法。在探究的過程中，充分發表自己不同的想法，展示自己的思維方式，從而使學生探究能力得到培養。

四、面積公式推導中，將動手操作這個“外化”的活動再“內化”為思維活動。

如何使學生理解為什么三角形、梯形的面積公式中要除以2？要完成這一教學目標，要根據學生的認識規律，在指導學生進行實踐活動的過程中，把動手操作與動腦思考、動口表述結合起來。也就是說，首先把學習知識應有的思維活動“外化”為動手操作，然后通過這個“外化”的活動再“內化”為思維活動。因此在教學過程中，把操作、思維、表述緊密結合起來，才能完成這一教學目標。

案例4：根據以往的教學經驗，學生對除以2這方面的知識掌握不好，似懂非懂，運用公式進行計算只是生搬硬套，時間久了就會把公式忘了，所以教學必須使學生能知其然并知其所以然，這才算真正意義上理解知識、掌握知識，于是在推導出公式后我多加了一個如下的環節：

師：你們能說說每一種梯形面積推導方法中除以2的意思呢？

生1：用兩個完全一樣的梯形拼成的一個大的平形四邊形，這時每個梯形的面積是拼成的平形四邊形的面積的一半，這里的除以2的意思是梯形的面積是拼成的平形四邊形面積的一半。

生2：將一塊梯形割補成一個平行四邊形，它們的面積不變，平行四邊形的底就是梯形的上底與下底的和，平行四邊形的高是梯形的高的一半，這里除以2的意思是表示高的一半。

生3：第三種將梯形割補成長方形時，這里除以2是表示上底與下底的和的半。

生4：第四種將梯形割補成三角形，它是運用了三角形的面積公式底乘高除以2的原因。

師：是的，梯形面積公式中除以2針對每一種推導的方法，它們的意義各不相同，同學們能知其然，且知其所以然，將來對運用知識有很大的幫助。

學生主動探究、積極實踐，不斷發現，錘煉了發散思維后，教師要把這種“物化”的知識“內化”為頭腦里的智力活動。

參考文獻：

［１］小學數學教育.

［２］數學課程標準.