對角矩陣逆矩陣的Ｓｃｈｕｒ補求法

摘 要：本文通過與Schur補有關的一個定理，得到了對角矩陣逆矩陣的一種新的求法。

關鍵詞：Schur補 對角矩陣 逆矩陣

1. 引言及記號

因為對角矩陣或分塊對角矩陣具有較好的性質，它們的逆矩陣也具有非常漂亮的結果，所以在矩陣計算中我們經常將其他矩陣轉化成對角陣來進行運算，故研究矩陣的對角化成了一個非常重大且又重要的課題。本文通過Schur補得到了對角矩陣逆矩陣的一種新的求法。

為了敘述方便我們先引入下述定義及記號：

設C 表示所有n×n復數矩陣所構成的集合；

N={1，2，Λ，n}；

設α、β皆為N的非空子集，我們用A（α，β）表示行標集為α，列標集為β的A的子矩陣，A(α，α)縮寫為A（α）；

α′=N-α，

定義A／α=A／A（α）=A（α′）-A(α′-α) A(α，α′)為矩陣A關于子矩陣A(α)的廣義Schur補。

注釋：在本文中A／A(α)暗含A(α)是非奇異子矩陣，后面不再加以說明，且規定A／A（Φ）=A。

2. 結果

由參考文獻可得分塊矩陣逆矩陣的下列表達式：

由(1)、(2)兩式即得所要結論。

由定理１的結論，我們可以證明大家所熟知的：

式中的0表示相應階數的零子矩陣，定理于是得證。

如果定理2中的對角塊全為1×1的，則可得下面的：

3. 數值實例

參考文獻：

［1］北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數.高等教育出版社，2000.

［2］Ｒ.A.Horn，C.R.Johnson.Matrix Analysis，Cambridge University Press，New York.1985.

［3］Jianzhou Liu，Li Zhu.A Minimum Principle and Estimate of the Eigenvalues for Schur Complenents Positive Semidefinite Hermitian Matrices，Linear Algebra Appl.265：123-145(1997).

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。