與“功能關系”有關的幾點討論

功和能是兩個聯系密切的物理量，做功的過程伴隨著能量的改變，力對物體做了多少功，物體的能量就改變多少，即W=ΔE，這就是功能關系。功能關系貫穿于物理學的各個章節，其中重力場、電場、磁場三部分應用最多。筆者在教學過程中發現，學生在使用功能關系W=ΔE解題時并不熟練，有時思路還顯得比較紊亂，究其原因，是因為他們不清楚到底什么力做功等于物體哪種能量的改變。現通過一個實例的詳細推導，理清各量在推導過程中的變化，從中體會其內在聯系。

例 如圖1所示，空間存在著正交的勻強電場和勻強磁場，電場的場強為E，磁場的磁感應強度為B。一個質量為m、帶電量為+q的小球在外力F的作用下從位置1運動到位置2，速度由v1變為v2，高度由h1變為h2，試分析此過程中的功能轉化關系。（設地面處為高度和電勢的零點）

解 小球在運動過程中所受洛侖茲力不做功，而重力、電場力做功與路徑無關，只與小球初、末位置有關。由動能定理得：

所以WF=(12mv22+mgh2+qEh2)-(12mv21+mgh1+qEh1)。

在勻強電場中，U=Ed，則：

WF=（12mv22+mgh2+qφ2）-(12mv21+mgh1+qφ1)。①

由推導過程可以看出：重力功、電場力功經過移項以重力勢能差和電勢能差體現出來。由此可以得到以下結論：

（1）除重力、電場力外的力對物體所做的功等于物體機械能增量與電勢能增量之和。

若WF=0，則①變為：

12mv22+mgh2+qφ2=12mv21+mgh1+qφ1。②

即只有重力、電場力做功的情況下，物體的機械能和電勢能之和守恒。

（2）若不存在電場，則①變為：

WF=(12mv22+mgh2)-(12mv21+mgh1)。③

即除重力外的力對物體所做的功等于物體機械能的增量。

若WF=0，則③變為：

即在只有重力做功的情況下，物體的動能和重力勢能相互轉化，但總機械能保持不變。這就是機械能守恒定律。

（3）若不存在重力場（重力可忽略不計的情況），則①變為：

WF=（12mv22+qφ2）-（12mv21+qφ1）。⑤

即除電場力外的力對物體所做的功等于物體動能增量與電勢能增量之和。

若WF=0，則⑤變為：

即在只有電場力做功的情況下，物體的動能和電勢能相互轉化，但動能和電勢能的總量保持不變。

綜上所述，總結所有功能關系，有如下幾點結論：

①動能的變化看合外力的功；

②重力勢能的變化看重力的功；

③電勢能的變化看電場力的功；

④機械能的變化看除重力外的其它力的功；

⑤動能和電勢能總量的變化看除電場力外

的其它力的功；

⑥重力勢能和電勢能總量的變化看重力功、電場力功之和；

⑦機械能和電勢能總量的變化看除重力、電場力外的其它力的功；

①、④、⑤、⑦中功為正，相應物理量增加；功為負，相應物理量減少。②、③、⑥中則相反，功為正，相應物理量減少；功為負，相應物理量增加。當然，若功為零，則上述所有結論中相應物理量保持不變。

還可以看出，由于洛侖茲力不做功，磁場的存在與否不影響上述所有結論。

下面用上述推論分析幾個具體的例子來體會它在解題中的應用。

例1 質量為m的物體，由靜止開始下落，由于阻力的作用，下落的加速度為45g，在物體加速下落高度為h的過程中，下列說法正確的是

A.物體的動能增加了45mgh。

B.物體的機械能減少了45mgh。

C.物體的重力勢能減少了mgh。

D.物體克服阻力做功為15mgh。

解析 F合=ma=45mg，所以W合=45mgh，由推論①知A正確；而F合=mg-f，故f=15mg，W阻=-15mgh，D正確；同時由推論④知物體的機械能減少了15mgh，B錯；由推論②易知C正確。所以答案為：BCD。

例2 在如圖2所示的勻強電場E和勻強磁場B中，一個負電荷（重力不計）在外力作用下由A點運動到C點，則（ ）

A.外力與電場力對電荷做功之和等于電荷電勢能的增量與動能增量之和。

B.外力對電荷所做的功等于電荷電勢能的增量與動能增量之和。

C.外力、電場力、洛侖茲力對電荷做功之和等于電荷動能的增量。

D.電場力對電荷所做的功等于電荷電勢能的減少量。

解析 由推論⑤可知動能和電勢能總量的變化看除電場力外的其它力的功，所以A錯B正確；由推論①知C正確；由推論③易知D正確。故答案為：BCD。

總之，處理物理學中的功能關系問題，以“功是能轉化的量度”為主旨，運用動能定理和重力、電場力做功與路徑無關，洛倫茲力不做功的特點，結合數學推導，再經過綜合分析，理清做功的力與相應能量的對應關系，就能順利解決有關問題。

（欄目編輯羅琬華）

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