一道構思巧妙的“病”題

在講述機械能守恒定律的應用時，許多教輔資料都把1992年上海市一道高考試題來作為典型例題，題目及解析如下：

題目 如圖1所示，質量均為m的小球A、B、C，用兩條長為l的細線相連，置于高為h的光滑水平桌面上，l＞h，A球剛跨過桌邊。若A球、B球相繼下落著地后均不反跳，則C球離開桌邊的速度大小是________。

解析 A小球未落到地面前，A、B、C球組成的系統機械能守恒，它們的速率相等。A球剛于地面時速率為v1，A球減少的重力勢能轉化為系統的動能，所以有：

A球落地后，B、C球以速率v1向右運動，它們的機械能守恒。B球剛落地時速率設為v2，B球減少的重力勢能轉化為B、C球的動能，即：

B球落地后C球向右勻速運動，C球剛脫離桌面時速度為v2。

聯立（1）（2）式，解得

v2=53gh。

第1次遇到此題時，不得不對命題人的巧妙構思嘆服：兩次減少的重力勢能轉化為系統的動能，利用機械能守恒定律，列出方程組再聯立求解，計算量也不大，又很容易入手，這也許就是眾多教輔資料選擇該題作為機械能守恒定律應用的范例的原因吧。但仔細推敲，該題的構思確實巧妙，但無法求解出最終結果，是一道病題，理由如下：

A球離開桌子邊緣后，豎直向下運動，B、C球在桌面上水平向右運動，它們的速度均沿繩子方向，故它們的速率在任何時候都相等，因此，“解析”中（1）式成立。

由于l大于h，A球著地后，A、B球間的繩子松馳，沒有張力，故B、C球在桌面上以v1的速度勻速運動。

當B球離開水平桌面時，B球有水平速度v1，在重力和B、C球間繩子的拉力作用下，將做曲線運動（合力與速度不在同一直線上），示意圖如圖2所示。

B球做曲線運動，速度時刻在曲線的切線方向，不會沿B、C球間繩子的方向（桌子邊緣除外），所以B、C球的速率在B球離開桌面后不再相等，因此“解析”中（2）式不正確，而應表達為mgh=(12mv2B+12mv2C)-2×12mv21，其中vB和vC分別為B球著地時B、C球的速度。盡管能列出兩支方程，但vB和vC的大小關系無法確定，因此該題不能求出最后的結果。

若在題設中增加：“設B球離開桌面后，在特殊裝置的作用下，立即向下運動而不損失能量”，這樣B球著地過程中，B、C球的速率就是相等的，就可以按“解析”求解，該題就是一道完整的好題。此仍筆者的一點見解，不足之處，希望同行批評指正。

（欄目編輯羅琬華）

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