限制與消除系統誤差的幾種物理實驗方法

摘 要：系統誤差的特點是它的出現并不像隨機誤差那樣服從統計規律而是服從某種確定的函數規律。本文總結了普通物理實驗測量過程中幾種限制與消除系統誤差的方法，能較好地削弱或消除系統誤差對結果的影響。

關鍵詞：系統誤差；限制與消除；測量方法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-61

48(2007)7(S)-0059-3

測量數據中，除了含有隨機誤差（偶然誤差）之外還包含系統誤差。當重復測量某一個物理量時，誤差的數值和符號基本不變或按一定規律變化的那一部分就是系統誤差。系統誤差的特點是它的出現并不像隨機誤差那樣服從統計規律而是服從某種確定的函數規律。在對系統誤差進行分析研究確定其存在和所屬類型后，可采用適當的方法對系統誤差加以限制或消除，使測得值中的系統誤差得到抵消，從而消弱或消除系統誤差對結果的影響。

1 限制與消除系統誤差的幾種測量方法

1．1 交換抵消法

這種方法是使測量中的某些條件相互交換，使產生固定系統誤差的因素對測量結果起相反的作用，從而抵消這種不變的系統誤差。

例如用等臂天平稱物體的質量。先在左盤放置砝碼P，右盤放置被測物體m，如圖1所示。

當天平平衡時被測物體的質量為：

如果天平兩臂之長絕對相等，即l1l2＝1，則有 m＝P，即砝碼的數值就是被測物的質量。但實際上兩臂總是存在微小差別，即l1l2≠1，這時如果仍以m＝P作為測量結果，顯然會使測量結果中帶有固定系統誤差。

為消除這一誤差，我們可以將被測物與砝碼互換位置，并改變砝碼量值使天平重新平衡，如圖2所示。

這時被測物與砝碼的關系為：

利用（3）式所得被測物的質量值即不含由于天平不等臂而存在的固定系統誤差。

1．2 代換消除法

代換法是在測量裝置上對被測量進行測量后在不改變測量條件的情況下，立即用一個標準量代替被測量，再進行測量，從而求出被測量與標準量的差值，則被測量為：被測量＝標準量＋差值。

例如用惠斯通電橋測量未知電阻RX的值，如圖3。

根據電橋平衡條件有：Rx=R1R3R2

由于R1，R2和R3都有一定誤差，因此按它們的標準值計算的Rx也必含有誤差，即：

這就是說代換的結果，測量結果的誤差ΔX只與標準電阻的誤差ΔN有關，而與Δ1，Δ2，Δ3無關。因此電橋的精確度對測量結果就沒什么影響，這就消除了測量結果的儀器誤差。

用電橋測電阻的另一種代換法是用一個可變標準電阻與被測電阻串聯，如圖4所示。

調節標準電阻使電橋平衡，這時有：

設標準電阻含有固定系統誤差Δ0及其它性質的誤差ΔN和Δ′N，則RX將有誤差ΔX：

之外，標準電阻的固定系統誤差全被消除，而標準電阻的其它系統誤差也可能部分被消除。

1．3 反向補償法

在測量中改變某些條件，例如測量方向，電流方向等，使兩次測量結果中誤差的符號相反，從而抵消了固定系統誤差。

例如用電位差計及標準電阻測量電阻值，如圖5所示。

由于電壓接頭存在熱接觸電勢，因此測得的電壓并非電阻本身的電壓，這必然引起系統誤差。為了消除這種系統誤差，可用正反兩方向的電流測量兩次，以抵消熱電動勢的影響。

當用正方向電流測得未知電阻兩端電壓Uω正時，實際上包含了熱電勢ex，即：

同理標準電阻兩端電壓測得值為：

其中ux，us分別為未知電阻兩端和標準電阻的電壓；ex，es為熱電動勢。

現將電流反向（電流值未改變）則得：

（10）式減（12）式得未知電阻兩端的實際電壓值為：

（11）式減（13）式得標準電阻兩端的實際電壓值為：

于是未知電阻為:

由上式確定的未知電阻值，將不含因熱電勢所引起的系統誤差。

1．4 對稱觀測法

當測量系統呈現某種對稱性時，可以安排相互對稱的兩次測量，以此來削弱或消除系統誤差。這種方法應用比較廣泛，在一般的教學實驗也被常用到。現舉二例說明。

（1）用分光計測量角度時，由于刻度盤的轉軸O與游標盤的轉軸O′不重合將使角度讀數由偏心產生系統誤差。

為了克服這種誤差，在游標盤的某一直徑兩端開兩個讀數窗口，如圖6所示。

測量角度時，先在AB｛刻度上讀取θ1，然后在A′B′｛刻度上讀取θ2，根據平面幾何的圓內定理，圓內角（對于刻度盤）θ的讀數應等于:

(AB｛的度數+A′B′｛的度數)/2，而

AB｛的度數也就是以O為圓心的圓心角θ1和θ2，因此得：

即二個窗口讀數θ1和θ2之平均值就等于游標的轉角θ。

（2）LRC串聯電路的諧振頻率的測定。

諧振曲線如圖7所示，可以表為：

如果以電流最大值來判斷諧振點從而測定諧振頻率則由于檢測儀器具有一定的靈敏閥值，而C點附近的曲線斜率很小，使測量很容易產生誤差。為此取I=IMax2的曲線斜率最大處A點和B點，讀取相應的頻率ω1和ω2，諧振頻率為：

由于A，B點的曲線斜率最大，在同樣的儀器靈敏閥值之下，可使ω1和ω2測得更準確，從而達到消弱系統誤差的目的。

1．5 周期性系統誤差的消除

對于周期性系統誤差，測得一個數據后，相隔半個周期再測一次，只要所測次數為偶數，然后取平均，就可以消除周期性系統誤差。例如刻度盤偏心誤差的消除就是采用相距180°的一對游標讀數，然后取平均。

2 系統誤差已消除的準則

采用各種方法去消除系統誤差，最終不可能把系統誤差完全消除干凈而總有一定的系統誤差殘余。實際上，只要將系統誤差減弱到某種程度，這時就可以認為系統誤差已經被消除了。

根據四舍六入五取偶的數字截尾準則，當殘余系統誤差θx 絕對值滿足：｜θx｜<1210x時，就可以認為系統誤差已經消除，而不必再采取進一步措施。上式中10x 表示誤差最后一位有效數字所在的位置。

3 結語

雖然系統誤差的出現都具有某種確定的規律性，但這種規律性對不同的實驗測量卻是不相同的，須針對每一具體情況采取不同的處理方法。本文結合普通物理實驗實例分析的常用的五種消除系統誤差的測量方法和判斷系統誤差是否已消除的基本準則，在新一輪中學物理課程改革中特別是實驗技能方面，對提高學生實驗設計能力和誤差處理能力都有一定的促進作用。

參考文獻：

［1］普通物理實驗 （力學部分）［M］.楊述武 主編. 2000.5，第三版.高等教育出版社。

［2］普通物理實驗 （電磁學部分）［M］.楊述武 主編. 2000.5，第三版.高等教育出版社。

［3］普通物理實驗 （光學部分）［M］.楊述武 主編. 2000.5，第三版.高等教育出版社。

(欄目編輯王柏廬)

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