“對稱性原理”在靜電學中的應用

物理是一門自然學科，它包括了世間的各種現象，力的、光的、電的、磁的等等。要學好這門課，就得有科學的方法和技巧，而“對稱性”是物理學中一種重要的方法，有著廣泛地應用。從哲學的角度來看，世界的事物都是一分為二的，把它用到物理上其實就是對稱性。

事實上， 對稱現象廣泛存在于各種事物之間，結構對稱、物像對稱，時間對稱、空間對稱，點對稱、軸對稱等等，分析解決問題時，抓住事物的對稱性采取一些變通，常常會使復雜的問題簡單化。

利用對稱法的關鍵在于尋找研究對象的對稱性特點，在已有經驗的基礎上通過直覺思維，或借助對稱原理的啟發進行聯想類比，來分析挖掘研究對象在某些屬性上的對稱性特點。本文僅就對稱法在靜電學中的應用作一些分析。

1 帶電圓環產生的電場的場強計算

有一個均勻帶電圓環，半徑為R，所帶電量為Q，圓環軸線上距環心（O點）r處有點P。求P點場強。

分析 本例具有軸對稱性，利用對稱性易于求出軸線上任一點的場強。在圓環上取一小段（可看成點電荷），所帶電量，

ΔQ=Q/2πRΔl

它在P點產生的分場強為：

ΔE=kQΔl/2πR(r²+R²)

圓環上小電荷產生場強的平行于軸的分量

ΔEX=ΔEcosθ

垂直于軸的分量則因環上對稱小電荷在P點產生的場強等大反向而相互抵消。

所以，所求P點的合場強為

2 均勻帶電球殼（球體）內外的電場

如圖2所示，均勻帶電球殼所帶電量為Q，求球殼內部的場強。

分析 過P點作兩個頂角很小的對頂圓錐面，在球殼上截出兩個近似圓形的小球殼面A、B，（可看成點電荷），由幾何相似形，可得出A、B的面積和它們到P點的距離的平方成正比，而球面A、B所帶電量與面積成正比，故有：

根據庫侖定律，可知點電荷qA、qB在P點處產生的場強是互相抵消的。用同樣的方法，結合對稱性，可知均勻帶電球殼內部的場強處處為零。

如果討論的是球體，由于內部場強處處為零，內部不存在自由電荷，自由電荷均勻分布在球體外表面，故其結果同上。

更為有趣的是，根據對稱性和矢量疊加原理，球殼（球體）外部任意點P（如圖3所示）的場強為（數學知識超出高中要求，此處略去）：

式中r為OP的距離，Q為球殼的帶電量。

上述結果表明，在研究球體外部的場強時，可以把均勻帶電球殼看成是電量集中在球心處的點電荷，而與帶電體的半徑無關。

3 缺損圓環產生的電場

有時在解題中沒有直接的“對稱”模式可循，這就需要根據題意，選取適當的對象，構造出一個“對稱”模型。正面解比較難，而用了對稱理論從側面就容易解決問題。

如圖4所示，半徑為r的圓環，其上帶有均勻分布的正電荷，單位長度的電荷為q，現截去圓環一小段圓弧AB，（圓弧長L<

解析 圓環缺損后，部分失去了對稱性。但注意到，圖中除與A′B′對稱部分AB缺失外，其余部分仍是對稱的，它們在環心處產生的場強為零，從而整個環在環心處產生的場強等效于A′B′在環心處產生的場強，其方向為環心指向缺口處，大小為：

當然，也可用“挖補法”來解決。設想將缺失的帶電圓環再補上，根據對稱性，圓心O處的場強應當為零，即缺口圓在O處的場強與截弧AB在O處的場強等值反向。

4 無限大導體板的靜電感應問題

一塊無限大導體板，左側接地，在右側離板d的A處放置一個源負電荷q，求靜電平衡后①板上感應電荷在導體內部任意點P產生的場強；②感應電荷在導體外部任意點P`產生的場強；③證明導體表面附近處的合場強垂直于導體表面；④求源電荷-q受到的庫侖力。

分析 ①因為靜電平衡后導體內部合場強為零，所以感應電荷在導體內部任意點P產生的場強必然和-q在該點產生的場強等大方向，從而相互抵消。若A到P的距離為rA，則：

E感A=kq/r²A;（方向如圖5）

②根據對稱原理，感應電荷在導體外部任意點P′產生的場強一定和感應電荷在對稱點P″產生的場強鏡像對稱，若A到P″的距離為rB，則

E感B=kq/r²B;（方向如圖6）

③根據上面的討論，若將P′取在導體外表面，此處的電場由E_-q和E感B疊加而成，不難看出，合場強垂直于導體表面，如圖7所示。

④假若在導體內部取與-q所在點A的對稱點A′，則A′的場強由E_-q和E感疊加為零，由對稱性可知，A處的E感′和A′處的E感應等大反向，所以-q所受的電場力為：

從以上分析看出，對導體外部而言，感應電荷的作用和在與源電荷A的對稱位置A′處放上一個等量異種電荷的效果是完全等效的，這就是根據“對稱性原理”得出的，也稱為“電像法”。值得注意的是，從上述①看出，該法對導體內部是不適用的。

由此可見，“對稱性”理論能給我們的解題帶來極大的方便，以上幾例知識小試牛刀，其他較深入運用還需要我們在學習實踐中慢慢領悟和體會。

對稱法作為一種具體的解題方法，雖然高考命題沒有單獨正面考查，但是在每年的高考命題中都有所滲透和體現，從側面體現考生的直觀思維能力和客觀的猜想推理能力.既有利于高校選拔能力強素質高的優秀人才，又有利于中學教學對學生的學科素質和美學素質的培養.作為一種重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命題中必將有所體現，希望在學習過程中予以重視和理解。