變力做功問(wèn)題歸類例析

功的求解是高中物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，恒力做功可用公式W=Fscosα來(lái)求解，但如果是變力做功，即力的大小或方向在做功過(guò)程中發(fā)生了變化，就很難套用該公式了。而學(xué)生遇到此類做功的問(wèn)題時(shí)，常常感到很棘手。現(xiàn)就中學(xué)階段出現(xiàn)的變力做功問(wèn)題進(jìn)行歸類例析，以期達(dá)到拋磚引玉之功效。

1 平均值法

有一些變力，如彈簧彈力雖然大小隨位移變化而變化，但是它們的變化關(guān)系是線性關(guān)系，可以用力的初始值F₁和末狀態(tài)值F₂的平均值=F₁+F₂/2來(lái)計(jì)算變力所做的功。

例1 如圖1所示，輕彈簧一端與豎直墻壁連接，另一端與一質(zhì)量為m的木塊連接，放在光滑的水平面上，彈簧的勁度系數(shù)為k，彈簧處于自然狀態(tài)。用水平力緩慢拉物體，使物體前進(jìn)x，求這一過(guò)程中拉力對(duì)物體做了多少功？

解析 緩慢拉動(dòng)物體，可認(rèn)為物體處于平衡狀態(tài)，故拉力等于彈力大小，有

F=kx，

而彈簧的彈力為變力，與彈簧的形變量成正比，在題設(shè)條件下，彈力的初始值為F₁=0，終值為F₂=kx，可用平均力=0+kx/2=kx/2求功，有

W=F#8226;s=kx/2#8226;x=1/2kx²。

2 分段法

有些力（如摩擦力、空氣阻力），在曲線運(yùn)動(dòng)（如往返運(yùn)動(dòng)中）過(guò)程中所做的功并不等于力和位移的乘積，而是力與路程的乘積，這類力的功可分段考慮求解。

例2 如圖2所示，質(zhì)量為m的物體以一定初速度滑上斜面，上滑到最高點(diǎn)后又沿原路返回。已知斜面傾角為θ，物體與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，上滑的最大高度為h。則物體從開始滑上斜面到滑回到原出發(fā)點(diǎn)的過(guò)程中摩擦力做功又是多少？

解析 因?yàn)樯匣c下滑時(shí)摩擦力方向相反（上滑時(shí)沿斜面向下，下滑時(shí)沿斜面向上），全程不是恒力，所以不能把全程位移s=0代入W=F#8226;scosα計(jì)算全程的摩擦力所做的功。所以要分段運(yùn)算，然后求和。依題意有

W_f上滑＝f#8226;scosα=-μmgcosθ#8226;h/sinθ

=-μmghcotθ，

W_f下滑＝f#8226;scosα=-μmgcosθ#8226;h/sinθ

=-μmghcotθ。

所以有

W_總＝W_f上滑＋W_f下滑＝-2μmghcotθ。

3 研究對(duì)象轉(zhuǎn)換法

根據(jù)題設(shè)的條件轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，從而將求變力所做功的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求恒力所做功的問(wèn)題。

例3 人在A點(diǎn)拉著繩通過(guò)離地面的高度為h光滑定滑輪，吊起質(zhì)量m的物體，如圖3所示，開始繩與水平方向的夾角為α，當(dāng)人勻速地提起物體由A點(diǎn)沿水平方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)繩與水平方向成β角，求人對(duì)繩的拉力所做的功。

解析 人對(duì)繩的拉力大小雖然始終等于物體的重力，但方向卻時(shí)刻在變化，無(wú)法利用恒力公式直接求出人對(duì)繩的拉力所做的功，若轉(zhuǎn)換研究對(duì)象就不難發(fā)現(xiàn)，人對(duì)繩的拉力所做的功與繩對(duì)物體的拉力所做的功相同，而繩對(duì)物體的拉力是恒力，滑輪離地面的高度為h。人由A走到B的過(guò)程中，物體G上升的高度等于滑輪右側(cè)的繩子增加的長(zhǎng)度，即

Δh=h/sinβ-h/sinα。

人對(duì)繩子做的功為

W=Fs=GΔh，即W=Gh(1/sinβ-1/sinα)。

4 微元累積法

將物體的位移分割成許多小段，因?yàn)樾《魏苄。恳恍《紊献饔迷谖矬w上的力可以視為恒力，這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化為在無(wú)數(shù)多個(gè)無(wú)窮小的位移上的恒力所做元功的代數(shù)和。此法在中學(xué)階段，常應(yīng)用于求解力的大小不變、方向改變或者方向不變、大小改變的變力做功問(wèn)題。

例4 在水平面，有一彎曲的槽道⌒AB ，槽道由半徑分別為R2和R的兩個(gè)半圓構(gòu)成，如圖4所示，現(xiàn)用大小恒為F的拉力將一光滑小球從A點(diǎn)沿槽道拉至B點(diǎn)，若拉力F的方向時(shí)時(shí)刻刻均與小球運(yùn)動(dòng)方向一致，則此過(guò)程中拉力所做的功為多少？

解析 拉力F沿槽道轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，力的大小雖然不變，但方向不斷變化，不能直接使用公式W=Fscosα進(jìn)行計(jì)算。但是我們可以用微元分割法，把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分割成n個(gè)微過(guò)程，這樣就把軌道(⌒AB)分割成n段小弧，使每一小段弧都可以看成這段弧的切線，即可以看成是這段的位移，其中每小段的弧長(zhǎng)為Δs=3/2πR/n。這樣，由于F的大小不變，加之與位移的方向相同，因而對(duì)每小段圓弧均可為恒力做功，所以拉力F做元功為

ΔW=F#8226;ΔS=F#8226;3/2πR/n，

所以由A到B過(guò)程中拉力F所做總功為

W=W₁+W₂+…+W_n=F#8226;s₁+F#8226;s₂+…+F#8226;s_n=nΔW=3/2πFR。

5 圖象法

在題設(shè)情況下，如果能找出力F與位移s的函數(shù)關(guān)系，則在F－s的直角坐標(biāo)系中，做出F隨s變化的圖象，那么，圖象與橫坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積即是F對(duì)物體在某一段位移上所做功的數(shù)值。

例5 如圖5所示，長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為m的均勻的繩，一段置于水平的足夠高的光滑桌面上，另一段a垂于桌面上，當(dāng)繩下滑全部離開桌面時(shí)，求重力所做的功。

解析 開始使繩下滑的力是a段繩所受的重力，此后下垂的繩逐漸增大，使下滑的力也逐漸增大，且隨下垂段的增大成線性增大，所以這是一個(gè)變力做功的問(wèn)題。由于繩的質(zhì)量為m，開始使繩下滑的力是a段繩所受的重力F=almg，當(dāng)繩全部離開桌面時(shí)，繩下滑的位移是l-a，且此時(shí)下滑力是整條繩所受的重力mg。在此區(qū)間使繩下滑的重力均勻地增加，如圖6所示。那么，重力做的功在數(shù)值上就等于圖線所包圍的梯形面積，即

W=1/2#8226;（almg+mg）#8226;(l-a)

=mg(l²-a²)/2l。

6 W=Pt公式法

根據(jù)功率恒定，求變力的功可用W=Pt來(lái)求解。

例6 一輛質(zhì)量為m汽車在平直的公路上以額定功率從靜止開始加速行駛，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t前進(jìn)了一段距離s，此時(shí)恰好達(dá)到其最大速度vm，設(shè)汽車所受的阻力是車重的n(n<1)倍，則在這段時(shí)間里，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功。

解析 因機(jī)車的功率恒定，當(dāng)機(jī)車從靜止開始達(dá)到最大速度的過(guò)程中，由F=Pv可知牽引力不斷減小，當(dāng)速度達(dá)到最大值時(shí)，機(jī)車所受牽引力達(dá)到最小值，與阻力相等。在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)車所受阻力可認(rèn)為是恒力，但牽引力是變力。由于在加速到最大速度過(guò)程中，功率保持不變，所以有

W=Pt，（1）

而當(dāng)汽車達(dá)到最大速度時(shí)，汽車將以vm做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有

F=f=nmg，（2）

同時(shí)額定功率為

P=F#8226;v_m，（3）

聯(lián)立（1）（2）（3）解得

W=nmgv_mt。

7 動(dòng)能定理法

由動(dòng)能定理可知，外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的變化，即Ｗ_外＝ΔＥ_ｋ，Ｗ_外系指物體受到的所有外力（外力可為恒力，但也可為變力）對(duì)物體所做功的代數(shù)和，ΔＥ_ｋ是物體動(dòng)能的變化量。

例7 如圖7所示，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)過(guò)光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，拉力為某值F時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R，當(dāng)拉力逐漸減小到F/4時(shí)，物體仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為2R，則外力對(duì)物體所做的功大小是多少？

解析 該題中繩的拉力顯然是變力，這里應(yīng)用動(dòng)能定理來(lái)求解．設(shè)當(dāng)繩的拉力為F時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v₁，則有

8 機(jī)械能守恒定律法

我們知道，物體只受重力和彈力作用或只有重力和彈力做功時(shí)，所研究的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。如果重力和彈力中有一個(gè)力是變力，這個(gè)變力所做的功就可用機(jī)械能守恒定律求解。

例8 圖8所示是一個(gè)橫截面為半圓，半徑為R的光滑柱面，一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線兩端分別系物體A、B，且mA=2mB，由圖示位置由靜止開始釋放A物體，當(dāng)B物體達(dá)到半圓頂點(diǎn)時(shí)，求繩的張力對(duì)物體B所做的功。

解析 在B物體達(dá)到半圓頂點(diǎn)過(guò)程，繩的張力是變力，但由于柱面是光滑的，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。所以要求出繩的張力對(duì)物體B做的功，關(guān)鍵求出B到達(dá)圓柱頂點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，由機(jī)械能守恒可知，系統(tǒng)重力勢(shì)能的減少等于系統(tǒng)動(dòng)能的增加。

系統(tǒng)勢(shì)能的減小量為

ΔE_p=mAgπR/2-mBgR，

系統(tǒng)動(dòng)能的增加量為

ΔE_k=1/2(m_A+m_B)v²，

由ΔE_p=ΔE_k得

v²=23(π-1)gR，

繩的張力對(duì)B球做的功

W=1/2mBv²+mBgR

=π+2/3mBgR

9 功能原理法

機(jī)械能守恒定律告訴我們，在只有重力和彈力做功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。言下之意，如果除重力和彈力之外的其它力對(duì)物體也做功，系統(tǒng)的機(jī)械能就會(huì)發(fā)生變化，而且這些力做了多少功，系統(tǒng)就有多少機(jī)械能發(fā)生轉(zhuǎn)化，這就是功能原理。如果這些力是變力或只有一個(gè)變力做功，而其它力對(duì)物體做的功和系統(tǒng)機(jī)械能的變化量容易求得，就可以用功能原理求解變力做功問(wèn)題。

例9 如圖9所示，一人用定滑輪吊起一個(gè)質(zhì)量為M的物體，繩子每單位長(zhǎng)的質(zhì)量為ρ，試求人將物體從地面吊起高度為L(zhǎng) 的過(guò)程中所做的最小功。

解析 假定物體被勻速吊起，人將物體從地面吊起的過(guò)程中，人的拉力可表示為

T=Mg+ρgx，

式中x為豎直方向繩的余長(zhǎng)。當(dāng)物體上升時(shí)，繩的余長(zhǎng)x減小，T減小，因而T為變力，故本題屬變力做功問(wèn)題。在本題中用功能原理求解比較方便。

設(shè)繩的重量全面集中在它的重心上，物體升高高度為L(zhǎng)時(shí)，繩的重心上升L/2，產(chǎn)，以ΔE₁、ΔE₂分別為物體和繩的機(jī)械能增量，則系統(tǒng)機(jī)械能的增量為

ΔE=ΔE₁+ΔE₂，

由功能原理知，人的拉力所做的功為

W=ΔE=ΔE_P1+ΔE_k1+ΔE_P2+ΔE_k2，

當(dāng)ΔE_k1=ΔE_k2=0時(shí)，即緩慢提升物體時(shí)Ｗ最小，即

W_min=ΔE_P1+ΔE_P2，即

W_min=MgL+L/2ρgL

=(M+1/2ρL)gL。

10 能量轉(zhuǎn)化和守恒定律法

電磁感應(yīng)的過(guò)程總是伴隨著能量轉(zhuǎn)化的過(guò)程，在某些有做功過(guò)程的電磁感應(yīng)問(wèn)題中，可以從能量的角度考慮問(wèn)題，利用能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律來(lái)求解變力的功。

例10 如圖10所示，一個(gè)固定的無(wú)限長(zhǎng)平行絕緣軌道處在相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，方向如所示。物體A的質(zhì)量為m，帶電量為+q，A與軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)是μ，求A從靜止開始下滑到具有最大速度而滑行距離為s的過(guò)程中，摩擦力所做的功。

解析 物體開始下滑時(shí)，其受力如圖11所示，當(dāng)下落速度v增大時(shí)，洛侖茲力FB變大，側(cè)面支持力FN變小 ，摩擦力 f減小，所以加速度增大；當(dāng)電場(chǎng)力FE

當(dāng)物體有最大速度vm時(shí)有

mg=μ(qv_mB-qE)，（1）

又由能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得摩擦力做的功為

W=-(mgs-1/2mv²m)，（2）

聯(lián)立（1）（2）解得

W=-mgs+1/2m(mg/μqB+E/B)²。

在上述實(shí)例中，從不同的角度、用不同的方法闡述了求解變力做功的問(wèn)題。在教學(xué)中，通過(guò)對(duì)變力做功問(wèn)題的歸類討論，有利于提高學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，開闊學(xué)生解題的思路。