數(shù)學(xué)判斷題不應(yīng)有歧義

判斷題又叫是非題，一般是呈現(xiàn)一個(gè)命題句，學(xué)生對(duì)需判斷的命題作出是非判斷。判斷題是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的題型。好的數(shù)學(xué)判斷題能促使學(xué)生聯(lián)系該命題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而進(jìn)行積極的數(shù)學(xué)思維，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)涵。但有一些數(shù)學(xué)判斷題常常引起學(xué)生甚至教師之間的爭(zhēng)論。

案例描述

案例1

判斷：從圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離處處相等。

(來(lái)源：蘇教版第十一冊(cè)教材《圓的認(rèn)識(shí)》練習(xí)二十四第2題)

這是近日我校舉行青年教師“同課異構(gòu)”式賽課中出現(xiàn)的一道判斷題。在教學(xué)時(shí)三位賽課教師卻給出了兩種不同的答案，評(píng)課時(shí)也出現(xiàn)了兩派不同的意見(jiàn)。有教師認(rèn)為該命題錯(cuò)誤，理由是這樣表達(dá)不嚴(yán)密，應(yīng)該加上“在同一個(gè)圓內(nèi)”。也有教師認(rèn)為恰好相反，該命題正確，因?yàn)檫@題考察的是“從圓心”到哪里的距離，如果是“從圓心”到“圓內(nèi)”或是“圓外”那就不是半徑的距離了，就不對(duì)了。另外，這題可以看作已經(jīng)默認(rèn)是在“在同一個(gè)圓內(nèi)”，無(wú)需說(shuō)明，不作說(shuō)明符合實(shí)際生活中的語(yǔ)言規(guī)范，是一種約定俗成的省略，就像“媽媽比女兒年齡大”，沒(méi)有誰(shuí)在說(shuō)之前加上“在女兒是該媽媽所生的前提下”這句話吧?同理，總不可能是從這個(gè)圓的“圓心”畫到別的圓的“圓上”吧，如果可能那就是無(wú)理取鬧了，還是數(shù)學(xué)問(wèn)題所討論的范圍嗎?

孰是孰非，各執(zhí)一詞，誰(shuí)也說(shuō)服不了誰(shuí)，這個(gè)題算是有歧義的判斷題。筆者不禁要問(wèn)：這樣的歧義問(wèn)題有何價(jià)值?數(shù)學(xué)判斷題能有歧義嗎?為什么不能把命題表達(dá)準(zhǔn)確了?或正確或錯(cuò)誤都行，但要準(zhǔn)確，不能在一些枝節(jié)問(wèn)題或無(wú)關(guān)問(wèn)題上引起不必要的爭(zhēng)論。反觀當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，像這樣有歧義的判斷題還有不少，舉例如下。

案例2

判斷：百分?jǐn)?shù)是分母為100的分?jǐn)?shù)。

(來(lái)源：中國(guó)少年兒童出版社《數(shù)學(xué)教案與作業(yè)設(shè)計(jì)》第十一冊(cè)百分?jǐn)?shù)的配套練習(xí))

這道題如果從百分?jǐn)?shù)的意義上講，答案顯然是錯(cuò)誤的。“雖然世上先有分?jǐn)?shù)，后有百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)投胎于分母為100的分?jǐn)?shù)。但是，隨著社會(huì)的發(fā)展和科技的進(jìn)步，分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)兩者在意義上不完全相同了”(參見(jiàn)《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2001年第7、8合刊第62頁(yè)“關(guān)于百分?jǐn)?shù)的若干認(rèn)識(shí)”。)現(xiàn)行教材對(duì)于百分?jǐn)?shù)的定義也很明確：“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)”，看來(lái)百分?jǐn)?shù)是用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，而并不等于分母是100的分?jǐn)?shù)。

但是如果我們從百分?jǐn)?shù)的歸屬上來(lái)說(shuō)，這道題應(yīng)該是正確的，因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)屬于分?jǐn)?shù)的一類。分?jǐn)?shù)有兩類：一類是表示具體數(shù)量的，一類是表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系的，即分率。從這個(gè)角度說(shuō)，百分?jǐn)?shù)屬于分?jǐn)?shù)中的一種，并且也是分母為100的分?jǐn)?shù)。

案例3

判斷：任何一個(gè)數(shù)和它的倒數(shù)相乘都得1。

(來(lái)源：某地2006年第十一冊(cè)數(shù)學(xué)評(píng)測(cè)試卷)

對(duì)于此命題，一些學(xué)生認(rèn)為是錯(cuò)誤的，因?yàn)檫@里的“任何一個(gè)數(shù)”并沒(méi)有把0去除。這個(gè)數(shù)有可能是0的情況，0乘任何數(shù)都得0，并不一定等于1。還有一些學(xué)生則認(rèn)為，書上明確指出“0沒(méi)有倒數(shù)”，那此命題中說(shuō)“一個(gè)數(shù)和它的倒數(shù)”，“一個(gè)數(shù)”已經(jīng)不包含是“0”的情況了，否則“0這個(gè)數(shù)和它的倒數(shù)相乘”本身就錯(cuò)了，因而此題正確。

案例4：

判斷：一批種子做試驗(yàn)，有100粒發(fā)芽，5粒沒(méi)有發(fā)芽，發(fā)芽率是95％。

(來(lái)源：中山大學(xué)出版社《小學(xué)畢業(yè)班名師精講精練題庳》)

教師出這道題的本意是判斷這道題是錯(cuò)的，因?yàn)閷W(xué)生會(huì)誤算成(100-5)÷100＝95％，但是用正確方法算是100÷(100＋5)＝0.952380……≈95％。雖然命題中少寫了一個(gè)“約”字，有可能使學(xué)生的想法和出這道題的考察本意有出入。

反思重建

筆者認(rèn)為，判斷題的命題句通常是一些比較重要的或有意義的概念、事實(shí)、原理和結(jié)論的正例或反例，能有歧義嗎?行文至此，顯然是不能的。教師在出判斷題時(shí)須注意兩條策略。

策略1：從考察的知識(shí)指向出發(fā)。對(duì)于這種模棱兩可的歧義題目，專家學(xué)者都存在爭(zhēng)論，花上“千字文墨”都很難論述清楚是正確還是錯(cuò)誤，何況學(xué)生呢?如果一個(gè)判斷題從意義的理解是正確的，而從歸屬上來(lái)理解又是錯(cuò)誤的，還是不出為妙。如案例2中“百分?jǐn)?shù)是分母為100的分?jǐn)?shù)。”這樣的判斷題出得欠妥，因?yàn)閷?duì)此判斷題本身有了不同的理解，會(huì)使學(xué)生對(duì)“百分?jǐn)?shù)”的定義產(chǎn)生誤解，而不是對(duì)“百分?jǐn)?shù)”的概念更加明確，這也就違背了出這道題的本意。又如案例1中“從圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離處處相等。”可以干脆改為“在同一個(gè)圓內(nèi)，從圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離處處相等”，這樣考察內(nèi)容就明確了。也可以換個(gè)明確的知識(shí)點(diǎn)考察，如改為“連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑”，用以考察概念，這樣問(wèn)題的指向清楚了，避免拘泥于非本質(zhì)內(nèi)容而沉浸于無(wú)休止的爭(zhēng)論中。

策略2：從學(xué)生的思維過(guò)程出發(fā)。教師在出判斷題時(shí)，切忌出類似如案例4中“一批種子做試驗(yàn)，有100粒發(fā)芽，5粒沒(méi)有發(fā)芽，發(fā)芽率是95％”這種題目。因?yàn)檫@類題目平時(shí)比較優(yōu)秀的學(xué)生更容易錯(cuò)，他們比一般同學(xué)想得深，于是經(jīng)過(guò)計(jì)算約等于95％是成立的。所以此題可以改為“一批種子做試驗(yàn)，有100粒發(fā)芽，15粒沒(méi)有發(fā)芽，發(fā)芽率是85％”，這樣，正確解法是100÷(100＋15)＝≈87％，就不會(huì)出現(xiàn)上述歧義了。又如案例3中“任何一個(gè)數(shù)和它的倒數(shù)相乘都得1”，干脆把“任何”這個(gè)詞去除，改成“一個(gè)數(shù)和它的倒數(shù)相乘都得l”，能為學(xué)生的思維過(guò)程著想就要著想，我們是評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)業(yè)，而不是用難題來(lái)故意刁難學(xué)生。

理性思索

由上述的案例分析與反思重建，筆者覺(jué)得問(wèn)題的焦點(diǎn)已經(jīng)不再于答案本身，我們需要思考的是：這類帶有歧義的判斷題是“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”嗎?它究竟能給學(xué)生帶來(lái)什么?由此進(jìn)一步思索：我們的數(shù)學(xué)教學(xué)到底怎么了?

1．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)：是客觀，還是主觀?對(duì)于下面這道判斷題，老師們并不陌生。“含有未知數(shù)的式子叫方程。”判斷錯(cuò)誤，應(yīng)把“式子”改為“等式”才對(duì)，我們一直這樣教學(xué)生、考學(xué)生。可是這樣判斷，就是絕對(duì)正確了嗎?張奠宙先生曾在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》上撰文說(shuō)：“其實(shí)，含有未知數(shù)的等式叫方程，也并非是方程的嚴(yán)格定義，它僅是一種樸素的描寫，并沒(méi)有明確的外延，是經(jīng)不起推敲的。首先，改成‘等式’二字也未必正確，實(shí)際上應(yīng)是‘條件等式’才對(duì)。因?yàn)楹形粗獢?shù)的恒等式不是我們研究的方程。例如，x－x＝0，對(duì)一切x都對(duì)，何必解呢?反過(guò)來(lái)，把解‘含有未知數(shù)的不等式’，稱之為‘解不等式方程’，也可以說(shuō)得通，無(wú)非是大家約定俗成而已。”看了這段話，我們有何感想?袁振國(guó)教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)就是人們的一種主觀建構(gòu)，從某種程度上說(shuō)它就是無(wú)中生有。”我們不能動(dòng)搖數(shù)學(xué)的客觀性，但我們是否也應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)的主觀性。在關(guān)注數(shù)學(xué)事實(shí)的同時(shí)，是否更應(yīng)該關(guān)注孩子的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。“3×4”變成“4×3”是否就影響了學(xué)生對(duì)乘法本質(zhì)意義的理解呢?現(xiàn)在我們中國(guó)的數(shù)學(xué)教育不已經(jīng)改過(guò)來(lái)，不分“乘”和“乘以”了么，省去了多少主觀困擾。2．評(píng)價(jià)內(nèi)容：是形式，還是本質(zhì)?數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模壿嬓詮?qiáng)，但這種人為制造的無(wú)謂爭(zhēng)論除了給學(xué)生帶來(lái)困惑與茫然之外還能帶來(lái)什么?這種現(xiàn)象的產(chǎn)生實(shí)際上是過(guò)度追求形式化的結(jié)果。當(dāng)我們還陷于兩個(gè)因數(shù)位置之爭(zhēng)時(shí)，西方教育界卻提出了“非形式化的數(shù)學(xué)教學(xué)”口號(hào)。形式化固然是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，但絕對(duì)的形式化是做不到的，適度的非形式化反而有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)。沒(méi)有說(shuō)明“在同一個(gè)圓內(nèi)”，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生拿此圓比彼圓嗎?因此，數(shù)學(xué)教學(xué)判斷題不能一味追求表達(dá)形式的邏輯性，不能過(guò)于咬文嚼字、死扣字眼，這樣的結(jié)果只會(huì)把大部分學(xué)生“嚇跑”，并不能促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正意義的發(fā)展。最后，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)判斷題不能有歧義。有歧義的數(shù)學(xué)判斷題本身與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)是不協(xié)調(diào)，又何談這嚴(yán)密那邏輯的呢。由此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)呼喚返璞歸真，以求得對(duì)數(shù)學(xué)精神實(shí)質(zhì)的把握與形式化表達(dá)的動(dòng)態(tài)平衡。

責(zé)任編輯：陳國(guó)慶