小題大作效果佳

習題講評是復習中的一個重要環節。教學中，由于復習時間緊、任務重，教師講評時常常是就題論題，將自己的方法強加于學生，忽略了對學生解題思維起點的追問及對與題目相關的知識和方法進行解剖，導致最后沒有完全發揮題目的功效及達成提高學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力的目的。那么，如何在習題講評的同時，在數學思想方法、數學思考、數學意識等眾多方面幫助學生獲得一次全面的發展與提升呢？這是數學教師在復習階段常面臨的問題。現通過對一道習題進行“專題式”的放大處理，談談復習中習題的講評，以期拋磚引玉，求教于同行。

如：大圓與小圓直徑的比是3∶1，則大圓與小圓周長的比是()，面積的比是()。

此題有些教師常這樣教學：先通過舉例求出此題的答案，然后變更題目數據讓學生嘗試舉例解答，再通過不完全歸納得出“兩個圓直徑的比、半徑的比、周長之比是一樣的，面積的比是前項與后項的平方之比”，最后讓學生記住這一結論。不可否認，這樣教學能讓學生在較短的時間內掌握這題的答案，甚至在考試中花較少的時間就能獲得較高的分。但這樣教學將學生視為接受的容器，只是教師的一廂情愿而已，其缺陷也是顯而易見的：學生缺少主動建構的過程，不能舉一反三、靈活運用，最終導致思維僵化。

在教學中，我沒有簡單地處理這一題，而是通過小題大作，重現學生的思維過程，引導學生交流，讓學生在講評中復習一片知識，掌握一種思想方法，從而提高復習效果，達到鍛煉思維和發展個性的目的。

一、教學實錄

師：做正確的同學，說說你是怎么解答這一題的?

生1：用假設法求解。假設大圓的直徑是3厘米，小圓的直徑是1厘米，則大圓的周長是3.14×3=9.42(厘米)，面積是3.14×(3÷2)2=7.065(平方厘米)；小圓的周長是3.14×1=3.14(厘米)，面積是3.14×(1÷2)2=0.785(平方厘米)。因此，它們周長的比就是9.42∶3.14=3∶1，面積的比是7.065∶0.785=9∶1。

師：你們是這么想的嗎?(大部分學生默認)結果對嗎?(只有少部分學生全對，大部分學生表示在計算面積之比時，化簡錯了)

師：化簡7.065∶0.785確實有點困難。數字是我們自己想的，總不能給自己出難題，能不能把數字變簡單些呢?(學生思考)

生2：不管假設直徑是多少，計算都麻煩，因為計算圓的周長和面積都要乘3.14。

師：對，就是這個3.14給我們添麻煩。

生：比的基本性質。

生4：我還可以根據直徑的比寫出答案，不需要再舉例子了。大圓和小圓直徑的比是3∶1，求周長就是把大圓和小圓的直徑同時乘以π，根據比的基本性質，即把前項和后項同時乘π，結果還是3∶1。

師：那面積的比呢?

生5：我知道了。根據比的基本性質，如果知道兩個大小不等的圓的半徑、直徑、周長和面積之間的任意一組關系，就可知道其他幾組之間的關系。比如說，兩個圓半徑的比是2∶1，那么它們直徑的比是2∶1，周長的比也是2∶1，面積的比就是4∶1了。

生6：不一定。如果知道兩個圓面積的比是9∶1，可以知道它們半徑的比是3∶1，但如果兩個圓面積的比是3∶1，那么它們半徑的比是多少，你知道嗎?

師：對。不過，這個知識我們要到初中才會學到。

二、練習設計

(一)基本練習

1.大圓的半徑是小圓半徑的4倍，則小圓周長是大圓周長的()，小圓面積是大圓面積的()。

2.小圓周長是大圓周長的一半，則小圓半徑是大圓半徑的()，大圓面積是小圓面積的()倍。

(二)變式練習

1.甲、乙兩個圓柱的底相等，高的比是4∶3，甲圓柱與乙圓柱的體積之比是()。

2.甲、乙兩個圓錐的高相等，底面積的比是3∶2，甲圓錐與乙圓錐的體積之比是()。

3.甲、乙兩個圓柱的高相等，底面半徑的比是4∶1，甲圓柱與乙圓柱的體積之比是()。

4.兩個等高的圓柱底面半徑的比是5∶1，它們側面積的比是()。

5.兩個等高的圓柱側面積的比是4∶1，它們體積的比是()。

6.兩個半圓半徑的比是3∶1，則它們周長的比是 ()，面積的比是()。

(三)提升練習

如下圖，大圓半徑和小圓直徑相等，大圓的周長是9.42米，小圓周長是()；若大圓面積是20平方厘米，則陰影部分的面積是()。

反思：

在上述教學過程中，對一道習題充分展開進行講評，使習題的講評成為思維交流進而得以提升的平臺。尤其在練習中，循序漸進的練習促進了學生舉一反三，將所學知識靈活運用，不僅復習了一片知識，學會了一種思想方法，而且思維得以提升，這就充分發揮了習題的功效。案例中，不少學生已經會用“假設法”解答類似的問題，那么習題有沒有進行精講的必要?顯然，只局限于知曉一下答案而不能觸類旁通，不利于知識的融會貫通和發展學生的思維能力。特別是試題的評講，如果就題論題，會使復習陷入浩瀚的題海，不能自拔。精講能夠“放大”題目相關的數學知識和其中的數學思想方法，培養學生的思維能力，引導學生學會數學地思維。因此，要提高習題講評的質效，就必須把習題充分展開，使學生對所學知識融會貫通，享受到數學思考帶來的快樂。這就需要教師在復習中做有心人，于關鍵處點撥，把握好引領的時機。

1.精心設計是對習題進行“展開”式講評和提高講評效果的一個重要前提。

這里的精心設計是指設計教學過程，當然也包括講評后相關練習的設計。教師往往比較注重新授課的備課，對于講評課，教師常常是很隨意，只要學生會做習題就行了，于是上課是“腳踩西瓜皮，滑到哪兒算哪兒”，沒有完全發揮習題的功效。因此，講評課同樣需要精心備課。首先，教師要精心選擇典型性例題，做到數量少、容量大、覆蓋面廣、啟迪性強，為精講、精練、高效、減負打下基礎。在講評前要充分思考這題涉及哪些知識，解決的方法有哪些，題中蘊含了哪些思想方法，不同層次的學生在解決問題時的主要障礙在哪里……對于講評時探究得出的新方法、新規律，要及時準確地總結并鞏固應用。練習設計應循序漸進的原則，同時要新而不偏、活而不虛，讓學生在復習中實現從“學會”到“會學”的轉化。

2.對習題進行“展開”式講評，要求教師要善于營造各抒己見的氛圍，留給學生充分的時間和空間，激活學生的原創思維，使思維在碰撞中得到提升。

在習題的講評時，教師往往只重視自己對題目的看法，常常是用自己的思維方式，通過喋喋不休的講解，把自己的方法強行灌輸給學生。教師就在不經意間替代了學生的思維，抹殺了學生作為學習主體的權利?！稊祵W課程標準》指出：“數學學習過程應是一個生動活潑的、主動的和富有個性的學習過程?！币虼?，教師在講評時應營造和諧的氛圍，引導學生充分交流，促進學生用多種思維形式思考問題，提倡“算法多樣化”和“解決問題策略的多樣化”，更好地培養與激發學生的創造力。案例中，教師積極鼓勵學生相互交流、相互啟發，激活學生的原創思維，使學生的思維由具體運算階段向形式運算階段發展，提升了學生的思維水平。對習題進行“放大”處理，有利于習題發揮作用，使學生充分體會到其中的數學思想方法。

許多習題蘊含著豐富的內涵，教師只有認真鉆研，才能明確每一道習題的作用和功能，把習題用“活”。這對于激發學生的興趣，培養學生的能力，開發學生的智力，將會收到事半功倍的效果。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。