新理念下數學教學的繼承與創新例談

數學課改以來，傳統的教學觀念與教學行為受到了前所未有的沖擊和挑戰，教學呈現出自主、活躍、開放而成效顯著的新局面，同時也出現了一些令人困頓與深思的問題。在對這些問題進行反思的過程中，大多數課程實施者對課改的態度與教學行為變得更加務實，既正視“鐘擺”現象，又努力避免矯枉過正。在傳統與現代之間選擇融合，在思想和方法之間錘煉思維，突出數學教學的基本規律，實現新課程理念下的整合與創新，克服極端做法，在不斷調整、適應的過程中推進新課程的順利實施。下面列舉幾例，供參考、指正。

一、自主探索，相機引導，擇優而用，提升認知層次

“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”這三者既有自身的特點與程序，又是密切聯系、相互配合的，是實現學生在學習過程中主體地位的有效學習方式。

例1 計算9+3=?

教師放手讓學生動手操作、探索，然后交流、匯報，學生說出了以下算法(教師隨機板書)：

生1：我用小棒幫助算，先一個一個地數9根小棒，再接著數3根小棒，10、11、12，就是9+3=12。

生2：我也用小棒幫助算，先數3根，再數9根，4、5……10、11、12，也是9+3=12。

生3：我先畫9根小棒，再畫3根小棒，然后再數，結果也是12(根)。

生4：我先記住9，然后接著數3個數——10、11、12，得9+3=12。

生5：也可以先記住3，再接著數9個數——4、5……11、12，也得9+3=12。

生6：我先從3根小棒里拿1根放到9根里，得10根，再加上2根，得12根。

生7：我想到了9加1等于10，就把3分成1和2，先算9

+1=10，再算10+2=12，就是9+3=12。

生8：我想先把9當成10，10+3=13，再減1，13-1=

12，就是9+3=10+3-1=12。

生9：我知道9+2=11，所以9+3=12，我還知道9+4=

13……

由此看出，不同的學生有不同的認知水平和思維方式：對處于動作認知水平與圖形認知水平的學生，在肯定他們算法正確的基礎上，必須提高思維層次，向符號認知水平靠近，使他們通過模仿他人來改變自己的思維方式，提高思維水平，掌握更好的算法(如果學生能熟練地敘述9加一個數的得數，那么就能正確地遷移到8加幾或7加幾，收到融會貫通的效果)。教師沒有讓學生“用自己喜歡的方法算”(那樣，較低認知水平的學生就難以提升，思維方式難以改變)，而是引導學生經歷了“做——想——說”的過程后，啟發反思，使之感悟到：利用圖形式比小棒式簡便，利用符號式比圖形式更簡便些(接著練習9+4、9+5、9+6，多數學生學會了“湊十”算法)。這種展示不同算法并把差異當作課堂動態生成的教學資源加以利用的做法，正是學生主體地位與教師主導作用結合的繼承和創新的一個實例。

例2 一個長方形，長30厘米，寬20厘米。請你們算出這個長方形的周長。(圖略)

教師鼓勵學生根據“周長”的意義，用自己的方法算它的周長。之后，學生匯報了如下算法：

(1)30+20+30+20=100(厘米)；(2)30+30+20+20

=100(厘米)；(3)30×2=60(厘米)，20×2=40(厘米)，60+40=100(厘米)；(4)30+20=50(厘米)，50×2=100(厘米)；(5)(30+20)×2=100(厘米)。

接著，教師啟發學生說出各自算法的依據(對照圖形說各名稱術語)。通過比較，認為算法(5)最簡便，即“長+寬”得半周長，半周長的2倍就是它的周長。于是，引導學生逐步抽象、提煉出長方形周長的計算公式：長方形周長=(長+寬)×2。這樣的自主探索、引導提煉，實施了探究策略的多樣化，使學生經歷了知識的形成過程與數學建模過程，并相機引導和梳理提升，實現了“多中選優、擇優而用”的目標，滲透了數學思想方法，培養與發展了學生的探究、創新能力。

二、畫圖分析，理清數量關系，提升思維方式

小學生思維發展的基本特點，是從以具體形象思維為主要形式逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過渡，他們的抽象邏輯思維在很大程度上，仍然具有很大成分的具體形象性。因此，“解決問題”教學要繼承傳統經驗——借助示意圖或線段圖，幫助學生逐步從形象思維向抽象思維過渡，提升思維水平。

例3 小朋友們學跳繩，小明跳了25下，比小華多跳6下。小華跳了多少下?

教師先讓學生讀題、理解題意(自述誰跟誰比，誰多誰少)，然后引導學生用示意圖或線段圖來理清數量關系。學生中出現了如下圖示：

從圖示中容易看出，題目中雖有“……比……多……”，但要用減法計算，這對低年級學生理解算理很有幫助。

例4 小朋友們拍皮球比賽，小玉拍了36下，小民比小玉拍的2倍少17下。小民拍了多少下?

解決兩步計算的實際問題，應借鑒傳統應用題教學中“根據已知條件解答相關問題”的基本規律，抓住關鍵句，借助線段圖，切實引導學生學會分析數量關系。當學生熟悉了一些常用的數量關系及掌握了分析與綜合的思考方法后，獲取信息后就能迅速地展開聯想，正確作出解題方法的判斷和選擇。教學本例，還可從應用題的問題出發，以圖示的數量關系為依據，從整體上展開聯想，即可得出關系式：小玉拍的36下×2-17下=小民拍的。這樣，就比較直觀地找到中間問題“小玉拍的2倍”，必須先求出來，從而使問題獲解，并為以數量關系式作向導尋求解題方法的思路奠定基礎。這種由“實物圖→示意圖→線段圖→關系式”的過渡，體現了思維方式的不斷提升。

三、從問題切入，復述解析思路，提升思維能力與品質

培養和發展學生的思維能力與思維品質是數學教學的永恒主題。“思維永遠是由問題開始的。”解答較復雜的問題，可從整體上把握題意，從“問題”切入，以題目中給的條件為依托，逐步展開思維。這樣，目標明確，思考有“路”，容易收到預期的效果。

例5 工程隊計算在5天內修完1250米長的水渠，第一天修了240米，第二天比前一天少修10米。照這樣的進度計算，工程隊能按時完成任務嗎?如果要按計劃完成任務，后3天的平均進度要提高多少米?

讀題后，教師可提出如下問題，啟發學生獨立思考或小組討論:(1)根據題意猜想一下，工程隊能不能按時完成任務?(2)要解答第一問，必須知道什么條件?(計劃的平均進度與前兩天的平均進度，并予以比較)(3)怎么求這兩個平均進度并比較?[分別列式為1250÷5和(240

+240-10)÷2，若(240+240-10)÷2＜1250÷5，說明前兩天達不到計劃的平均進度，肯定不能按時完成任務](4)要解答第二問，又必須知道哪些條件?(后3天實需的平均進度和計劃的平均進度，并比較)(5)如何求后3天的實需進度和應提高的進度呢?[先求余下沒修的米數1250-(240×2-10)，再除以余下的天數(3天)，然后減去計劃的平均進度，即可求得需提高的進度]之后，一生突然說出另一思路：計劃平均進度是250米(1250÷5)，第一天少修10米，第二天少修(10×2)米，這30米就是后3天平均每天要多修的10米(師生肯定了這一簡捷解法)。在學生匯報解法、復述思考過程時，教師可借機板書思路圖，以便理清思路，深化理解，提升分析法思維的正確性與條理性等思維品質。

四、聯想變式，拓寬思路，培養和發展思維的靈活性與求異性

聯想是一種由此及彼的思維方式，它能喚起學生對已學知識的回憶，感悟數量關系變化的規律，從而溝通知識之間的聯系，發展學生變換敘述方式表述數量關系的靈活變通能力與創新思維能力，拓展解題思路，進而為重組應用、多角度解答應用題并化繁為簡奠定基礎。應根據教學進度分階段單項集中訓練，也可分散放到“解決問題”練習課或復習與整理中進行。

例6 同一個數量關系可以用不同的方式來表述，因而引出不同的表達式和解法。如由“學校體訓隊中，女生人數是男生人數的1/3”這一關系，你可以聯想到哪些不同的表述方式?

學生在教師的啟發下，思考片刻后相繼說出了如下表述方式：(1)男生人數的1/3相當于女生人數，或男生人數是女生的3倍、男生人數比女生多2倍；(2)女生人數比男生少2/3；(3)女生人數占全隊人數的1/4，或全隊人數的25%是女生人數；(4)男生人數占全隊人數的3/4(或75%)，或全隊人數的75%是男生人數；(5)男生比女生多的人數相當于全隊人數的1/2，或女生比男生少全隊人數的50%；(6)女生與男生人數的比是1∶3，或男、女生人數的比是3∶1；(7)男生人數與全隊人數的比是3∶4，或女生人數與全隊人數的比是1∶4；(8)全隊人數是女生人數的4倍，或全隊人數約是男生人數的1.33倍……

聯想是多向的、互逆的。如上例，已知其中的任一說法，都可以聯想出其他不同的表述方式，并由此可推出不同的數量關系式。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。