理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生的高等數(shù)學(xué)能力探究

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生思維方式影響和專(zhuān)業(yè)思維能力培養(yǎng)是其他學(xué)科所無(wú)法比擬的，因?yàn)橛性S多經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯思維模式及數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的分析方法貫穿其中，甚至在近代許多高科技領(lǐng)域的研究過(guò)程中仍借鑒著數(shù)學(xué)科學(xué)的這種模式與分析。任何高新技術(shù)的創(chuàng)新無(wú)不是通過(guò)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思維方法并借助于計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這里不僅是借助于數(shù)學(xué)作為工具，更是模仿數(shù)學(xué)思維方式與技巧。具備扎扎實(shí)實(shí)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的理論基礎(chǔ)和基本能力，是幾乎所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域人才必備的基本素質(zhì)。理工科學(xué)生的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就不應(yīng)僅是學(xué)生獲取一定的基礎(chǔ)理論、基本知識(shí)和基本運(yùn)算方法，更重要的應(yīng)在于其是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素質(zhì)的主渠道，是發(fā)展學(xué)生“創(chuàng)造性應(yīng)用能力”和“創(chuàng)新精神”的主戰(zhàn)場(chǎng)。所以說(shuō)，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)著手于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，著眼于能力的培養(yǎng)發(fā)展。

理工科學(xué)生的高等數(shù)學(xué)能力構(gòu)成

1.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的能力。一是數(shù)學(xué)感覺(jué)和判斷能力。一個(gè)專(zhuān)業(yè)問(wèn)題擺在面前，首先要判斷它是不是數(shù)學(xué)問(wèn)題？是哪一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題？包括哪些能察覺(jué)的數(shù)學(xué)因素？例如，函數(shù)變化、隨機(jī)觀察、幾何描述、優(yōu)化決策和計(jì)算算法等，這就要能夠?qū)?shù)學(xué)本質(zhì)有所理解，從宏觀上能夠進(jìn)行大體的判斷；二是數(shù)據(jù)搜集與分析能力。數(shù)字化時(shí)代，數(shù)據(jù)無(wú)處不在。能夠收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、駕馭數(shù)據(jù)，用各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法指導(dǎo)自己的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)探究；三是數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)表示能力，即會(huì)使用高等數(shù)學(xué)原理、符號(hào)、公式抽象地表示客觀事物發(fā)展的規(guī)律，能夠?qū)⒕唧w的專(zhuān)業(yè)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系表示為可以運(yùn)算的數(shù)學(xué)模型；四是歸納猜想與合情推理能力，即善于運(yùn)用類(lèi)比、聯(lián)想、歸納等一般科學(xué)方法，觀察專(zhuān)業(yè)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，做出猜想；五是數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)與數(shù)學(xué)洞察能力，即掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉高等數(shù)學(xué)思想方法，欣賞高等數(shù)學(xué)的魅力；六是數(shù)學(xué)計(jì)算與算法設(shè)計(jì)能力。對(duì)數(shù)字與符號(hào)依一定算法可進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)大量專(zhuān)業(yè)問(wèn)題的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，是專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的實(shí)際需要；七是理性思維與構(gòu)建體系能力。掌握高等數(shù)學(xué)的辨證理性思維特征，不走極端，不含糊馬虎。在專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)中能夠數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，并和別人進(jìn)行專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)交流，最終形成比較完整的專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)的思想體系。

2.創(chuàng)造性應(yīng)用數(shù)學(xué)能力。包括提出專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)問(wèn)題和質(zhì)疑的能力，即具有懷疑、善于思考、敢想的品質(zhì)；建立新的專(zhuān)業(yè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并解決專(zhuān)業(yè)的實(shí)際問(wèn)題的能力；將一類(lèi)的專(zhuān)業(yè)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)的能力；構(gòu)建專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)探究中的新數(shù)學(xué)對(duì)象（概念、理論、關(guān)系）能力；善于運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)展現(xiàn)專(zhuān)業(yè)發(fā)展中的數(shù)學(xué)規(guī)律的能力；辨明“好的專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)方法”和“不太好的專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)方法”的能力。

高等數(shù)學(xué)能力實(shí)質(zhì)上就是“經(jīng)典數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生于本專(zhuān)業(yè)以及應(yīng)用經(jīng)典數(shù)學(xué)知識(shí)、方法解決本專(zhuān)業(yè)問(wèn)題”的能力。兩種不同的數(shù)學(xué)能力是與學(xué)習(xí)活動(dòng)和任務(wù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)的。只有明確兩種水平能力的內(nèi)涵和關(guān)系才能把握高等數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的科學(xué)方法。

理工科學(xué)生的高等數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)

1. 知識(shí)學(xué)習(xí)。一是知識(shí)目標(biāo)。理工科的高等數(shù)學(xué)知識(shí)除了“有效知識(shí)，先進(jìn)知識(shí)，在今后學(xué)習(xí)和工作中探究和開(kāi)拓創(chuàng)新以及培養(yǎng)學(xué)生專(zhuān)業(yè)能力中長(zhǎng)期發(fā)揮作用的知識(shí)”外，一些基礎(chǔ)性、經(jīng)典性的知識(shí)和方法仍是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ)。例如，分析與代數(shù)、幾何的相互結(jié)合知識(shí)，向量的表達(dá)，重要的數(shù)學(xué)思想方法等知識(shí)的學(xué)習(xí)，以及數(shù)學(xué)知識(shí)方法與專(zhuān)業(yè)知識(shí)相互交融的知識(shí)和賦予專(zhuān)業(yè)背景的數(shù)學(xué)知識(shí)等等，這些應(yīng)是學(xué)生創(chuàng)造性應(yīng)用數(shù)學(xué)能力發(fā)展的不可逾越的基礎(chǔ)。二是 知識(shí)呈現(xiàn)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)多以靜態(tài)形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)。為了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，應(yīng)采取動(dòng)態(tài)形式呈現(xiàn)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，不僅要使學(xué)生學(xué)到許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，而且學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)，使學(xué)生感覺(jué)到他們所學(xué)知識(shí)是有其現(xiàn)實(shí)的來(lái)源和背景，有其物理原型和表現(xiàn)。為此，教學(xué)方法應(yīng)由注入式向啟發(fā)式討論和研究式發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)變，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的自主數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

2.數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中的數(shù)量關(guān)系概括，而哲學(xué)是自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的思想概括。學(xué)生要真正從宏觀到微觀理解把握高等數(shù)學(xué)思想方法，需要先對(duì)高等數(shù)學(xué)，乃至一般的科學(xué)數(shù)學(xué)方法，直至數(shù)學(xué)的解題方法有一定的哲學(xué)范疇認(rèn)識(shí)。

第一，數(shù)學(xué)的哲學(xué)范疇理解。包括數(shù)學(xué)形式和內(nèi)容的理解；數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)與靜止的理解； 數(shù)學(xué)偶然與必然的理解； 數(shù)學(xué)觀念與本質(zhì)理解；數(shù)學(xué)原因與結(jié)果的理解。其他如精確與近似（計(jì)算數(shù)學(xué)），整體與部分（函數(shù)的整體性質(zhì)與局部性質(zhì)，如最值與極值等），同一與差異（模糊數(shù)學(xué)）等，都是理解重大數(shù)學(xué)思想方法的視角。這些重大的數(shù)學(xué)思想方法是一個(gè)大學(xué)生的重要修養(yǎng)。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就是用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)深刻理解專(zhuān)業(yè)知識(shí)，教師要有意識(shí)地在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中加以闡述、點(diǎn)撥。

第二，一般的科學(xué)數(shù)學(xué)方法領(lǐng)會(huì)。培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性應(yīng)用數(shù)學(xué)能力，學(xué)生就得掌握一般科學(xué)方法。與一般科學(xué)方法相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法有：分析與綜合，對(duì)一個(gè)事物進(jìn)行分析，首先要加以分類(lèi)，數(shù)學(xué)分類(lèi)強(qiáng)調(diào)“不重不漏”，這是為了保證數(shù)學(xué)結(jié)論的完備性和獨(dú)立性，又如，高等數(shù)學(xué)中的微積分，是指無(wú)窮小的，為其他學(xué)科所沒(méi)有。數(shù)學(xué)的綜合，更多體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科之間的交融；歸納與演繹。數(shù)學(xué)是一門(mén)演繹科學(xué)，也使用一般的歸納法，并且是一種不完全歸納法，這種歸納法是跨越無(wú)限的思想實(shí)驗(yàn)，在描述具體事物時(shí)通常只能進(jìn)行有限的歸納，這是數(shù)學(xué)特有的方法；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法。數(shù)學(xué)中的實(shí)驗(yàn)，多半是思想實(shí)驗(yàn)，即假定某條件，那么會(huì)有某結(jié)果，因而可以達(dá)到目的或否定命題。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的使用，數(shù)學(xué)教學(xué)中常做一些計(jì)算性的檢驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算一些特例得到普遍的猜想，甚至用近似的方法逼近最后結(jié)果，這種過(guò)程類(lèi)似于專(zhuān)業(yè)的研究。

其他如觀察、類(lèi)比、聯(lián)想等一般科學(xué)方法，都可以在數(shù)學(xué)中加以應(yīng)用，作為手段，培養(yǎng)學(xué)生專(zhuān)業(yè)素質(zhì)。當(dāng)然以上介紹的一般科學(xué)數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，單靠講解是沒(méi)有用的，只能在學(xué)習(xí)中逐步體會(huì)。

第三，解題方法掌握。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是為了解題，而是通過(guò)學(xué)習(xí)解題掌握其方法，更好地服務(wù)于專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)研究。一要了解數(shù)學(xué)的特有方法，包括① 公理化方法；② 化歸方法；③ 函數(shù)極限思想方法；④ 方程思想方法；⑤ 概率統(tǒng)計(jì)方法。二要學(xué)會(huì)解題，掌握一些解題方法策略，即一些原理和步驟。第一步，判斷問(wèn)題的類(lèi)型，找出問(wèn)題的數(shù)學(xué)核心所在，如對(duì)一個(gè)問(wèn)題屬于哪一類(lèi)？是函數(shù)問(wèn)題、微積分方程問(wèn)題還是概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。實(shí)質(zhì)是什么？是證明化歸，優(yōu)化等等哪一類(lèi)，大的方向判斷正確了，解題才能運(yùn)用自如。第二步，掌握一些基本原則，包括模型化的原則； 簡(jiǎn)單化原則； 等價(jià)變換原則； 映射反演法則（RMI）；逐次逼近原則。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題的解答不能滿(mǎn)足問(wèn)題的所有要求的時(shí)候，可以先滿(mǎn)足第一個(gè)要求，再滿(mǎn)足第二個(gè)要求，一一逐步接近最后解答，當(dāng)然也包括求近似解，逼近到一定程度，就算符合要求。第三步，選擇適當(dāng)?shù)募记伞Ｈ鐚?duì)數(shù)求導(dǎo)法、換元積分法等方法，都必須通過(guò)實(shí)際演算逐步地領(lǐng)悟，并能靈活運(yùn)用。

編輯：常忠武