從高考閱卷談高考數學的答題

摘 要：高考數學學科網上閱卷有效地保證了閱卷質量，但也對考生答題提出了更高要求。從考生的試卷來看，有些考生不能規范書寫、準確表達，數學思維出現間斷，造成了諸多不必要的失分。要達到有效得分，考生答題時卷面書寫要清晰、規范，解題步驟要繁簡適當并且完整。這就要求考生在復習中要重視基礎知識的理解、掌握與應用。

關鍵詞：高考數學；閱卷；答題

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2007）05-0041-04

一、2006年高考數學試卷總體情況

2006年全國高考數學試卷(Ⅰ)延續2005年試題的風格，總體呈現平穩態勢，與2005年試題相比難度略有降低，但比2004年難度大。它體現了以基礎知識和基本能力的考查和通性通法的考查為主，知識與能力并重的特點。全卷共22小題，其中選擇題12道，每題5分；填空題4道，每題4分；解答題6道，21題14分，其余每題12分，仍以三角函數、概率、立體幾何、解析幾何、函數（導數）、數列為主要載體。在考查基礎知識的同時，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查。試題涉及知識點的覆蓋面廣、起點低、坡度緩，難度適中，能區分出不同考生對基本概念掌握的層次或效果不同，強化應用意識，倡導理性思維，體現創新意識的考查。試題有利于引導教師的教和學生的學，較好地考查了考生的學習水準，符合高等院校對人才選拔的需求。

如何在高考有限的時間內充分發揮自己的水平，對每個考生來說是很重要的一件事，它對學生數學成績的影響也許是幾分、十幾分、甚至更多。下面是高考閱卷工作的幾點體會，供師生參考。

二、關于數學網上閱卷問題

1.網上閱卷的優點。

2006年河北省高考數學學科是第一年實行網上閱卷。網上閱卷是通過高速掃描儀快速掃描考生答題卡生成圖像文件，選擇題部分由計算機對比標準答案自動給分，非選擇題部分按照事先劃定的范圍切割成一個個圖片，通過網絡分發給不同的計算機終端，評卷人員在計算機終端前進行判分，和傳統評卷工作相比，具有以下優勢：

（１）試卷“一卷多評”，有效地保證了閱卷質量。

網上閱卷真正實現了科學的雙評、三評，甚至四評，有效地保證了閱卷質量。網上閱卷系統對每道試題都設置一個誤差域值(誤差值一般按每題分值的1／6來定)，評卷人員根據評分標準在計算機上對考生的答題給出分數，當評閱同一考生同一題目的兩位評卷人員所給的分數小于事先規定的誤差域值時，計算機自動取兩個人的平均分作為該考生該題的最終得分。如果出現評卷人員所給的分數大于事先規定的誤差域值的情況，計算機自動將該考生該題目的圖片發給第三名教師進行三評。三評結束后，計算機自動對三位評卷人員所給的分數進行兩兩對比，如果某兩位評卷人員所給的分數小于事先規定的誤差域值，計算機自動取平均分；如果都大于規定的誤差域值，計算機會將該考生該題目圖片發給學科評卷領導小組，由學科組長審閱裁定最終得分，或組織評卷專家對該題審閱裁定最終得分。

（2）杜絕“相互影響”，使評卷工作更加科學、公平。

傳統評卷工作中，主觀性較強的試題，通常第一次評閱的教師直接將分數寫在試卷上，后面的教師再評閱時，總難免受到初評教師所給分數的影響。而網上閱卷由于使用網絡，閱卷人員在評卷過程中看到的試卷永遠是新的，兩名以上互不見面的閱卷教師對同一道題評分，相互之間沒有地位、資歷等因素的干擾，閱卷教師的心態更加寬松。既不知道試卷是初評還是復評，也不知道別人的評卷結果，有利于評卷人員進行獨立的判斷和評分，使評卷的公平性得到根本保證。

（3）便于監測，使評卷工作更加客觀、公正。

網上閱卷便于監測。評卷管理層可對每個閱卷教師的閱卷進度、質量和評分寬嚴尺度隨機、隨時進行監督和考評，這樣就可對評卷過程中出現的問題及時加以解決，保證閱卷工作客觀公正進行。

2.網上評卷，對考生答題提出更高標準要求。

以立體幾何試題為例，它離不開作圖，許多量（如各種角與距離）都要通過作輔助線體現出來，正因如此，評卷人員第一眼要看的就是圖形，主要是看輔助線是否作對了，所需要的量（如線面角）在圖形中是否體現出來了。因此，如果答題卡上沒有圖形，考生一定要注意將圖形由試卷移到答題卡上來，繪圖時下筆不宜過輕、過細，否則會影響掃描效果。高考評卷時還發現許多考生的試卷字跡十分潦草，書寫不規范，卷面墨跡斑斑，這樣的試卷不僅會影響到電腦的掃描質量，也影響評卷人員的評閱，并最終影響考生的得分。因此，書寫時，應先看清題號，不要錯位，書寫整潔、清晰、規范，還要注意不要超越規定范圍。

三、關于閱卷中的分段給分問題

對于高考數學試題，不同的人有不同的理解，即使同一道題目，也是有的同學理解得深，有的同學理解得淺，有的同學解決得多，有的同學解決得少。為了區分這種情況，高考的閱卷評分標準是懂多少知識就給多少分，這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”—— 踩上知識點就得分，踩得多就多得分。對于考生會做的題目，評卷人員則更注意找其中的合理成分，分段給分?，F以2006年高考數學試卷中立體幾何試題為例說明在閱卷中如何“分段評分”。

（原題）如圖1，l₁、l₂是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN。

（Ⅰ）證明AC⊥BN ；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB與平面ABC所成角的余弦值。

本題的分段給分過程如下：

（Ⅰ）證明：AM = MB = MN，說明NM是△ANB的中線且為邊AB的一半，所以△ANB是直角三角形，其中∠ANB為直角。所以BN⊥NA。①………2分

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文

評卷時，評卷人員主要根據考生上述各給分點的寫出情況按標準給分。根據以上評卷“分段評分”的原則，考生答題時應注意以下幾點。

1.卷面書寫要清晰、規范。

考生在答題時要特別注意表達準確、考慮周密、書寫規范、語言科學，要把階段性成果（給分點）寫在明顯位置，使評卷人員一眼就能看到。要做到這一點，考生在答題時首先需明確哪些是給分點。一般情況下，證明題中所用定理的各個條件和結論即為給分點，如利用三垂線定理證明上題中的（Ⅰ）要說明AN為AC在平面ABN內的射影，這就要證明l2⊥面ABN（2分），還要證明BN⊥NA（2分），從而得到AC⊥BN（2分）。

2.在解題過程中，做到“一作、二證、三算”。

在立體幾何的計算題中，“一作（作輔助線）二證（必要證明過程）三算（必要的計算過程）”中的每步都是給分點，如上題的（Ⅱ）中如果直接作線面角，要找出N點在平面ABC內的射影的位置，這就要證明三角形ABC為正三角形（2分），然后做出線面角（2分），再計算出角的余弦值（2分）。在平時的模擬考試中，考生要多看試題的評分細則，從中發現給分點如何設置，要有一個回顧與反思的過程。

3.解題步驟要繁簡適當并且完整。

有許多考生在考完試后對自己的分值的估計往往高于實際的分數，究其原因，很重要的一點就是考生往往只去看題目的最終結果，認為自己結果算對了就是滿分。實際上，每個解答都需要寫出必要的證明過程或演算步驟，其中的每一個步驟都占有相應的分值。這就要求考生要注意解題過程的完整書寫，做到解題步驟繁簡適當。

4.考生的“分段得分”是高考“分段評分”的邏輯必然。

“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分。對絕大多數考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略。把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密。一個聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗。特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經程序化了的方法，每進行一步得分點的演算都可以得分，最后結論雖未得出，但分數卻已過半，這叫“不求全對，但求得分”。

四、關于空間向量問題

空間向量的重要性主要體現為它的工具性。利用空間向量解決立體幾何中一些問題所體現的快捷性、靈活性和實用性是其他數學方法無法相比的，如利用空間向量證明直線與平面垂直的判定定理就是很好的例證。利用空間向量解決空間圖形中的平行、垂直、角和距離等問題，一般要建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標，利用向量的代數運算進行推理。

和古典幾何需要嚴密的思維能力相比，利用空間向量解決立體幾何需要更多的是細心的態度和嚴謹的計算。

不注意這一點，就可能導致大量失分。

如上題用空間向量的解法如下：

如圖2，建立空間直角坐標系M—xyz，設MN=1，

則有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）

……………………（以下略）

上述三點的坐標，寫對兩個得2分，寫對一個得0分。但由于后面的向量運算都以這三個點的坐標為基礎，所以考生若只寫對兩個或一個，評卷人員一般不再往下看，只給2分或0分。真可謂是“一招出錯，滿盤皆輸”。在目前題量大、時間緊的情況下，“準”字則尤為重要。只有“準”才能得分，只有“準”你才可不必考慮再花時間檢查，而“快”是平時訓練的結果，不是考場上所能解決的問題，一味求快，只會落得錯誤百出。本題利用向量法解題并不難，但是相當多的考生在匆忙中把點的坐標找錯，盡管后繼部分解題思路正確又花時間去算，也幾乎不得分，這與考生的實際水平是不相符的。適當地慢一點、準一點，可多得一點分；相反，快一點，錯一片，花了時間還得不到分。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文

五、對2007年高考數學的啟示

1.定理不要“越軌”。

在評卷過程中我們發現有的考生在做解答題時，用到一些教材上沒有的定理和結論，這是不允許的。如此題（Ⅱ）中，有的考生利用公式cos∠NBC=cos∠CBH·cos∠NBH來求cos∠NBH。有些平時用的數學公式，在高考解答題中要慎重使用，如cosθ=s′/s這個計算二面角的平面角的公式，可能會丟掉一些分數。

2. 粗心大意歷來是數學解題的大敵。

評卷過程中發現，由于粗心大意而造成的失分，占有相當高的比例。有的考生對審題重視不夠，匆匆一看就急于下筆，以致題目的條件與要求都沒吃透，至于如何從題目中挖掘隱含條件、啟發解題思路就更無從談起，這樣解題出錯自然較多。只有耐心仔細地審題，準確地把握題目中的關鍵詞與數量關系，從中獲取盡可能多的信息，才能迅速找準解題方向。解數學題一般需經歷審題、分析、求解、評價這四個環節，如果解題不按這一程序進行，或某一環節不仔細，將給粗心大意以可乘之機，造成解題錯誤。如本題的（Ⅱ）中，有的考生求出的是線面角的正弦值而不是余弦值，還有的考生求的是線面角等等，這樣，不僅得不到相應分數，而且會耽誤寶貴的時間。

3.空間想象能力薄弱，轉化和遷移能力及計算能力欠佳。

有的考生在解題過程中突出表現出不能根據條件做出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；不能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；不能對圖形進行合理的分解、組合與變換，轉化和遷移能力欠佳。例如在上題中，有的考生不能由AM=MB=MN得出BN⊥NA。有的考生找不到點N在平面ABC上的射影的位置，從而做不出線面角。實際上，這個題的命題背景是N-ABC是正方體的一個“角”（如圖3）。意識到這一點，相信所有的考生都能解答此題。另外有的考生由于計算能力不強，不會根據法則、公式進行正確運算、變形和處理數據；不能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，造成丟分、失分，非常遺憾。

4.“會而不對，對而不全”。

有的考生拿到題目，明明會做，但最終答案卻是錯的——會而不對。有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關鍵步驟——對而不全。要將你的解題策略轉化為得分點，主要靠準確完整的數學語言表述，這一點往往被一些考生所忽視，因此卷面上大量出現“會而不對”“對而不全”的情況，如立體幾何論證中的“跳步”，使很多人丟失1／3以上得分，許多考生“心中有數”卻說不清楚，扣分者也不在少數。只有重視解題過程的語言表述，“會做”的題才能“得分”。

5.樹立信心，每分必爭。

有些考生在做題時，做到一半做不下去或發現做得不對，就把前面做的統統劃掉，這樣很可惜，其實就是“劃掉”了不少分數。因為前面所做的一些分析或演算步驟往往可以得不少分。在答題時，盡量不要空白，因為題目交白卷是肯定不能給分。當然這不是說答題時不會做就胡亂寫些東西，而是說要把自己掌握的有關知識盡量反映到你的試卷上以得到盡可能多的分。最好的處理方法就是想到哪一步，盡量寫到哪一步，只要考生在考試中的思路是正確的，得到一部分分數是可能的。若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作“已知”，“先做第二問”，如果解法正確，也可以得到相應分數。

6.重視課本基礎知識的復習。

以上問題的出現都反映出考生對課本上的基礎知識掌握不牢，不能靈活運用。扎實的基礎體現在對概念、定義、定理、法則、公式的透徹理解，對數學語言（文字語言、圖形語言、符號語言）的準確表達與運用，對性質和習題的靈活變通上。惟有扎實的基礎，才會有知識網絡的建立和融合，數學思想方法才會豐富多彩，各種能力的提高才能得以實現。這就要求我們在平時的教與學中，一定要重視知識形成過程和發展過程的學習，重視公式的正用、逆用和變形應用，重視定理的推導與應用，重視定義的理解和應用，重視課本例題、習題中數學思想方法的挖掘和應用。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文

【責任編輯：姜華】