中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動淺談

摘 要：本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)論述了中學(xué)數(shù)學(xué)建模的意義——培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力；運用典型實例講述了數(shù)學(xué)建模的全過程，提出五步建模法，并列舉一些適合中學(xué)生數(shù)學(xué)建模的實例。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)建模過程；實例

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-010X（2006）11-0049-03

一、背景

隨著21世紀(jì)的到來，科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，人類已跨入了信息與數(shù)字化時代，社會許多行業(yè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系日益密切，數(shù)學(xué)的應(yīng)用迅速進入了人們生產(chǎn)與生活的許多領(lǐng)域，“高科技本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)”這一觀念已被越來越多的人接受。例如，軍事上和商業(yè)活動中廣泛用到的密碼技術(shù)、醫(yī)學(xué)上廣泛用到的CT成像和核磁共振技術(shù)、天氣預(yù)報等領(lǐng)域中采用的大型數(shù)值計算技術(shù)等，所有這些技術(shù)都是建立在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上。世界各國現(xiàn)在越來越重視培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)應(yīng)用到實際的能力，更加強調(diào)解決數(shù)學(xué)問題和實際問題的過程。而數(shù)學(xué)建模正是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。近些年來，數(shù)學(xué)建模教學(xué)在一些西方國家，諸如美國、英國、荷蘭、丹麥、澳大利亞等國的數(shù)學(xué)教育界成為一個熱門話題，并在國際數(shù)學(xué)教育大會中占有重要地位，同時將“問題解決，建模的應(yīng)用”列入大會主要研究課題之一。認(rèn)為“問題解決、建模和應(yīng)用必須成為從中學(xué)到大學(xué)所有學(xué)生的數(shù)學(xué)課程的一部分。”可見，數(shù)學(xué)建模教學(xué)在國外數(shù)學(xué)教育界越來越受重視。而我國受國際上“問題解決”教學(xué)的影響，也注意強調(diào)對學(xué)生的分析問題和解決問題的能力培養(yǎng)，開始在教育中引進實際問題，教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)建模納入了標(biāo)準(zhǔn)中，這是我國中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模發(fā)展的里程碑，同時標(biāo)志著數(shù)學(xué)建模正式進入我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的意義

1.中學(xué)數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識。

數(shù)學(xué)建模的問題都是來源于生活，問題的背景都是學(xué)生所熟悉的，例如，銀行貸款問題、電視塔的高度與信號覆蓋面積問題、商場打折銷售與購物方案問題等。數(shù)學(xué)建模就是將這類實際問題適當(dāng)簡化找出變量與變量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，然后利用數(shù)學(xué)知識及計算機等工具處理模型。因此，數(shù)學(xué)建模的過程正是幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想、方法、語言來表達(dá)、描述和解決實際問題的過程。

2.中學(xué)數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、積極主動的學(xué)習(xí)方式。

在數(shù)學(xué)建模中學(xué)生是主體，老師充當(dāng)學(xué)生的參謀與仲裁。數(shù)學(xué)模型的建立是通過學(xué)生對知識點和概念的操作自己去發(fā)現(xiàn)、設(shè)問、設(shè)計、探索、歸納、創(chuàng)新的過程，能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲，鍛煉克服困難的意志。社會的發(fā)展需要終身教育，而學(xué)生在學(xué)校只能獲得其需要的部分知識和初步能力，更多的必須在其后來的人生歷程中依靠自主探索、主動學(xué)習(xí)而獲得，只有不斷地充實自我才能適應(yīng)不斷變化的社會需要。

3.中學(xué)數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生想象力、聯(lián)想力和創(chuàng)造力。

由于數(shù)學(xué)建模的問題都是開放性的，沒有統(tǒng)一答案，沒有現(xiàn)成模式，也不可能直接利用公式得出結(jié)果。因此，需要學(xué)生通過收集有價值的數(shù)據(jù)，查閱大量的文獻(xiàn)資料及利用網(wǎng)絡(luò)去獲取有用的知識，分析問題與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，確定一個數(shù)學(xué)模型，然后進行解決。數(shù)學(xué)建模過程是一種創(chuàng)造性過程，它需要一定水平的觀察力、想象力以及一些靈感和頓悟，往往要求學(xué)生充分發(fā)揮聯(lián)想，要求學(xué)生面對錯綜復(fù)雜的實際問題，能快速地抓問題的要點，剔除冗長的信息，把握其本質(zhì)，使問題趨于明確。學(xué)生要經(jīng)歷從生活語言、其他學(xué)科語言到數(shù)學(xué)語言的多層次轉(zhuǎn)化，這些將非常有利于鍛煉學(xué)生的想象力、聯(lián)想力和創(chuàng)造力。

4.中學(xué)數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力和查閱文獻(xiàn)的能力。

數(shù)學(xué)建模的對象常常是一些非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的實際問題，需要的很多知識也是學(xué)生原來沒有學(xué)過的，老師不可能用過多的時間為學(xué)生講授，只能通過學(xué)生自學(xué)和小組討論來進一步掌握，這將有助于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，同時在參加建模過程中，需要學(xué)生在有限的時間內(nèi)從大量資料中迅速找到和汲取自己所需信息，這可以鍛煉和提高學(xué)生使用資料的能力，這兩種能力都是學(xué)生將來從事工作和科研所必備的。

5.中學(xué)數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生的計算機應(yīng)用能力及論文寫作與表達(dá)的能力。

許多數(shù)學(xué)建模需要計算機才能完成，許多數(shù)學(xué)推理、計算、畫圖都需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件幫助完成，大量的數(shù)據(jù)也要靠計算機來處理。很多模型的檢驗也要利用計算機模擬完成。建模論文的編輯、排版、打印也都離不開計算機。因此，通過數(shù)學(xué)建模將有助于提高學(xué)生使用計算機的能力。中學(xué)建模的結(jié)果常常需要解題報告或論文的形式寫出來，這就要求學(xué)生必須能夠?qū)⒆约核龅墓ぷ饔脺?zhǔn)確嚴(yán)密的語言表述出來。這也是對學(xué)生的寫作和表達(dá)能力的鍛煉。

6.中學(xué)數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神。

數(shù)學(xué)建模往往需要幾個人相互合作，一起討論才能完成，這對培養(yǎng)學(xué)生相互合作的團隊精神極為有益。

三、數(shù)學(xué)建模的一般過程舉例

例 小明正在為他父母的投資選擇充當(dāng)顧問，小明的父母早就想改善住房條件，5年前在銀行開設(shè)5年期零存整取賬戶，堅持每月在工資發(fā)放當(dāng)天存入現(xiàn)金1000元，從沒間斷，今年剛好到期。最近，他父母看中一套價值20萬元的房子，決定從銀行取出這筆款子，不足部分再向銀行申請按揭貸款，我們一起研究他父母還需要向銀行貸多少款？他父母向銀行申請為期10年的貸款13萬元，結(jié)果只批準(zhǔn)貸款10萬元，請你解釋這是為什么？

問題分析：首先收集材料調(diào)查銀行住房存貸款類型（整存整取，零存整取等）年利率，利息計算形式（單息，復(fù)息）題中所要解決的問題:父母存款額，需貸款額，父母的償還能力。

模型假設(shè)：銀行存貸款利率不隨物價波動即為常數(shù)。

模型建立與求解：

（1） 父母現(xiàn)在共有存款多少？還需貸款多少？

在上述簡化假設(shè)下父母五年存入5×12×1000=60000（元），每筆款子由于存期不同所得本利和不同，按單利計算，當(dāng)年五年期零存整取的月利率為8/1000，每期為一個月，1000元每期的利息為1000×8/1000=8（元），設(shè)按本金存入順序本利和依次為a1，a2，…a60，則

a1=1000+60×8a2=1000+59×8 a3=1000+58×8a60=1000+8

故{ an}為公差d= -8的等差數(shù)列，實際問題就轉(zhuǎn)化為求等差數(shù)列前n 項和

S=n(a1+ an)/2=60(1000+60×8+1000+8)/2=74640(元)

200000-74640=125360（元）

父母現(xiàn)有存款74640元，還需向銀行貸款約13萬元。

（2）銀行減少貸款數(shù)額，考慮什么因素?(償還能力)（學(xué)生互相討論）

據(jù)統(tǒng)計全家四口人每人每月的生活費400元，每年全家穩(wěn)定收入3.7萬元。

月償還能力=年凈收入/12=（37000-400×4×12）/12=1483.33（元）

父母申請按揭貸款13萬元，每月應(yīng)歸還貸款為：（按揭貸款是每月等額歸還本息的一種貸款種類）10年期貸款的月利率為4.65/1000，按復(fù)利計，從貸款日起，每過一個月還貸款一次，每次歸還的金額相同，10年即120個月后本息全部還清。設(shè)每月還款額為x，每期還款后的金額為ai （i=1，2，……120），貸款額p=13萬，利率r=4.65/1000，則

a1=p(1+r)-x，

a2=a1 (1+r)-x =p (1+r)2-x(1+r)-x，

ai=ai-1 (1+r)-x = p (1+r)i-x(1+r)i-1 ……-x(1+r)-x，

a120=p(1+r)120-x(1+r)119-x(1+r)118- ……x(1+r)-x，

由于第120月貸款還清，所以a120=0 （這是極關(guān)鍵的一步）。

∴x[1+(1+r)+ ……+(1+r)119]=p(1+r)120（轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題）

把p=130000 ， r=4.65/1000 代入得x=1415.99

1483.33-1415.99=67.34（元）

銀行認(rèn)為貸給13萬元風(fēng)險較大，月償還1415.99/13×10=1089.22（元）較符合實際模型分析結(jié)論。

（1） 銀行存貸款利息計算方法是不一樣的，但復(fù)利計算則存款與貸款的本利和就相等，對換銀行與父母的角色還錢就變成零存整取了。

（2） 針對此問題我們可得到更一般的模式：零存整取本利和計算模型，若每期存入等額金p元，每期利率為r，n期滿后本利和為

按揭貸款月償還額計算模型，若貸款p元，第n次還清，每期利率為r則每期應(yīng)付款

把具體數(shù)據(jù)代入就可以解決一個個實際問題。

總結(jié)上述過程我們就得到建模的一般過程主要分五步：問題分析，模型假設(shè)，模型建立，模型求解，模型分析及推廣。

四、適合中學(xué)數(shù)學(xué)建模實例

（1）校車最佳路線設(shè)計。考慮一所學(xué)校，那里大部分學(xué)生的家離校都比較遠(yuǎn)，所以每天上學(xué)都必須搭乘校車。每個學(xué)校有各自的校車，即使這些校車走同樣的路線。你如何設(shè)計一個校車路線使得在權(quán)衡各個學(xué)校學(xué)生花在校車上的時間后，達(dá)到預(yù)算的最優(yōu)化呢？

（2）根據(jù)報刊信息，分析體育彩票的中獎率。

（3）關(guān)于節(jié)約家用天然氣問題。在日常生活中，我們經(jīng)常用天然氣灶燒水，做飯，一般認(rèn)為，燃?xì)忾_的越大水燒得越快。但是，怎樣燒才能讓用氣量最小，而燒水時間又不會太長，以達(dá)到節(jié)約能源的目的。

（4）彩虹的成因。雨過天晴，我們有時就會看到一道美麗的彩虹，那么彩虹是如何形成的呢？為什么彩虹是一段圓弧？是什么決定了它在天空中的高度？為什么有七種顏色又有著特殊的排列次序？為什么有時在第一道彩虹之上還會出現(xiàn)第二道彩虹？（提示：可用物理反射定律和折射定律）

（5）營養(yǎng)配餐。隨著生活水平的提高，人們開始更多的關(guān)注健康問題，就如何吃出健康問題，請你為你的家人設(shè)計一個合理的營養(yǎng)配餐方案。（提示：考慮食物營養(yǎng)成分，不同年齡段對營養(yǎng)需求的差異，營養(yǎng)素之間的互補與互制等）

五、總結(jié)

數(shù)學(xué)建模是一種新的學(xué)習(xí)方式，順應(yīng)社會發(fā)展及教育改革的需要。有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣及對知識的求知欲，鍛煉學(xué)生自學(xué)能力和運用計算機等工具的能力，同時也可以增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想是建模的關(guān)鍵，我國中學(xué)數(shù)學(xué)建模剛起步，還存在著許多的不足，有待我們不斷去總結(jié)與完善。

參考文獻(xiàn)：

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【責(zé)任編輯：姜 華】

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