“代償機能”對數學教學的啟示

摘要：本文將生物學中的“代償機能”理論運用于數學教學，提出了“和諧、主動、能力復合”的數學教學新理念，該理論的關鍵在于：以變應變，開拓創新。

關鍵詞：和諧；主動；能力復合

中圖分類號：G632.4文獻標識碼：A文章編號：1009-010X（2006）11-0052-02

生物學中的“代償機能”是指：身體的一部分因創傷或疾病而受到損壞或功能減退時，其它有關部分在一定范圍內能發生適應的變化以補償其缺陷，這種機能叫“代償機能”。執行代償機能的器官或組織功能將大大加強。為適應新的教育、教學理念，結合長期的教學實踐，筆者深深地感悟到，在數學教學過程中應充分利用“代償機能”的理論，用新思想、新方法，創新教學，適應時代發展的需要，發展學生的思維，提高學生的能力。

一、“代償”是和諧、主動、能力復合的數學教學理念

“代償”是生物體對外界變化的一種被動的、本能的反應，而數學教學中的“代償”應是積極的、主動的。這種主動的進取，對激發學生的求知欲，弘揚鍥而不舍的探索精神，挖掘學生潛藏的智能，打下從事科研的基本能力等方面是大有裨益的。

高中數學知識面廣，內容抽象，知識間的聯系緊密、和諧，這就為“代償”理論的應用提供了基礎。在學習、掌握了一個新概念、新公式、新定理、新法則后，總要進一步去思索，這個新內容還可做什么樣的延伸、拓展、類比，也就是在原有知識的“機體”上還能生成哪些新知識。

在研究過一般函數的知識后，再研究三角函數的性質就十分自然和諧。 在研究了橢圓的有關知識后，應順理成章地想到“平面內到兩定點F1、F2的距離之差（的絕對值）等于定值（小于|F1F2|）的軌跡”是什么，從而引出對雙曲線一系列問題的研究、討論。在研究過異面直線的定義、判定定理、性質定理后， 再研究線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直時，就成了自然順應之事?！@方面的內容很多，不再贅述。問題在于教者要轉變原來的教學觀念，充分調動學生主動學習的積極性，給學生提供、創造更多的“代償”機會和空間，讓他們去發展。

1.還時空于學生，讓學生充分施展自己的智能去獲取知識。

啟發學生獨立提出問題、分析問題、解決問題，給他們充分自由思維的空間和解答疑問的時間，讓他們去“鷹擊長空、魚翔淺底”！學生通過自主活動得到的知識才能真正被他們所領悟、理解和接受，才能形成自然而牢固的記憶，從而大大減輕機械記憶的負擔。實踐證明學生十分樂于這種學習方式，效果十分明顯。

2.代償的主動性還表現在學生通過理性思考方式由原有的知識生成新知識。

學生在學習過程中，逐漸感到知識的局限性——解決不了新問題。于是，在教師的引導下，從“數學現實”出發，用觀察、模仿、實驗等手段收集材料，再作歸納、類比、分析、猜想、論證，漸漸達到數學化、嚴格化和形式化，實現了知識的突破，形成新知識。這一代償機能大大弘揚了數學的理性精神，使學生領略到數學文化的光彩奪目之處，十分有利于學生數學觀念的形成。久而久之學生就會用數學眼光觀察世界和社會，用“數學的思維”去發現和解決問題。

3.讓學生潛藏的智能得以充分挖掘。

要他們既動腦又動手，既思考又實踐，能力在數學活動中復合。當他們發現自己探索的成果在解決問題的過程中發揮出很大的作用時，更鼓起了向未知世界挺進的勇氣和信心。

二、代償中的關鍵在于以變應變，開拓創新

數學問題異彩紛呈，千變萬化。在正確解答一道題目之后，應有效發揮代償機能，去拓展新的空間。多想一想，多問一問，此題能否作進一步的推廣，此題還可有哪些變式，由此題還能聯想到其它的什么內容，讓思維在更廣闊的范圍內自由馳騁，以培養和發展學生的開拓、創新精神。這就叫良好的思維慣性。

用實驗猜想法，也可用特殊化的方法，即當PF1⊥x軸時，都可求得-3。但在良好的思維慣性的作用下，決不能就此罷休，師生應繼續思考下列問題：

⑴如果Ｐ是雙曲線右支上的點怎么辦？

⑵如果是解答題怎么辦？

⑶對于一般的雙曲線（a>0，b>0）怎么辦？

⑷能不能求出圓心的軌跡？

⑸反過來，換個問法怎么樣？

特別是問題⑸，更具有挑戰性，必須多角度地去思考。思維開闊的學生真的提出了許多不同的問題，其中尤其值得一提的是：

如圖2，已知定點A（-c，0）、B（c，0），△MAB的內切圓與x軸切于定點D（a，0）(常數a、c均為正數，且a

引人入勝的變式題激起學生巨大的熱情，經探索，許多學生給出了如下精彩的解答。

解：設內切圓與邊MA、MB分別相切于點E、F，

則|AE|=|AD|=a+c，|BF|=|BD|=c-a。

又|ME|=|MF|，

所以|MA|-|MB|=|AE|-|BF|=2a(2a<2c)，

點M的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支（不含頂點），

記b2=c2-a2(b>0)，

學生的智慧在代償應變中得以充分地施展。

在教學實踐中，筆者欣喜地發現不少學生能主動應用這種代償理論去解決問題。例如，教材將三角函數中的許多公式放在習題中，且不要求學生去記憶，但這并不妨礙學生的應用。由于這些公式與他們非常熟悉的內容已形成緊密的邏輯鏈條和直達的快速通道，他們還是能熟練地用諸如“降冪公式、升冪公式、萬能公式、半角公式”等不要求記憶的內容來解決問題。對公式的理解和應用不僅沒有削弱，而且得到加強！

通過代償應變使學生在數學活動這幅絢麗多姿、色彩斑斕的“圖畫”面前出神入化地解決了問題，知識空間、能力空間、思維空間和情感空間得到大大的拓展。這不是代償機能釋放出巨大能量的有力例證嗎？

【責任編輯：姜 華】

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