導數應用例析

導數是近代數學的重要概念之一．正確熟練地運用導數，可以更好地解決函數的單調性、極值、作圖問題以及不等式等各類問題．因此與導數相關的題目已經逐漸成為高考的熱點之一．筆者總結了合理運用導數解題的策略和心得，供同學們復習時參考．

解析：令f(x)=xsinx，由導數定義可得

點評：因為導數由極限定義，所以就能利用導數來求極限．

例2 如圖1所示，單位圓中弧AB的長為x，f(x)表示陰影部分面積的2倍，則f(x)的圖像是

解析：若給出同樣的弧長增長量△x，由圖1不難發現面積增長量的變化規律：f(x)的增長速度在陰影部分面積達到半圓之前逐漸提升，之后又逐漸減退．所以正確的f(x)的圖像應當是兩端“平緩”，中間“陡峭”；當x=π時，f(x)的圖像的切線斜率最大．故正確答案為D．

例3 設f'(x)是函數f(x)的導數，y=f'(x)的圖像如圖2所示，則y=f(x)的圖像最有可能是

解析：我們可根據極值原理，利用y=f'(x)的零點x=0，x=2判斷y=f(x)的極值點．答案為C．

點評：原函數在其導數為正的區間上是增函數，在其導數為負的區間上是減函數．所以決定y=f(x)增減性的不是y=f'(x)的增減性，而是其正負性．

例4 求曲線y=-x²上到直線4x+3y-8=0距離最短的點的坐標．

解析：本題可轉化為求“曲線y=-x²上哪個點的切線與直線4x+3y-8=0平行”，這就將原問題轉化成了求曲線切線斜率即求曲線導數的問題．令y'=-2x=-4/3，可得符合題意的點的坐標為(2/3，4/9)．

點評：原函數圖像上某一點的切線斜率等于其導數在該點的值．

例5 請設計一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正……