數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用舉例

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，一直是高考的考查重點(diǎn)．利用數(shù)形結(jié)合思想不僅可以使抽象問(wèn)題直觀化，而且可以使形象問(wèn)題得到更進(jìn)一步的精確描繪，有利于解題．常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合方法有“以形助數(shù)”和“以數(shù)扶形”兩類(lèi)，本文就這兩類(lèi)方法的應(yīng)用略舉數(shù)例，以供參考．

一、以形助數(shù)妙解題

例1 已知e為單位向量且a≠e，若對(duì)任意的t∈R，恒有｜a-te｜≥｜a-e｜，則

(A)a⊥e

(B)a⊥(a-e)

(C)e⊥(a-e)

(D)(a+e)⊥(a-e)

分析與解：本題的常規(guī)思路是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題，但這樣會(huì)帶來(lái)較大的計(jì)算量，且不易找到正確的解題途徑．如果考慮向量運(yùn)算的幾何意義，則本題就不難解決．

如圖1所示，te與e共線，｜a-te｜即為向量a-te的模．由題意可知，當(dāng)t變化時(shí)，其最小值為｜a-e｜，故可知AB⊥OB，所以e⊥(a-e)．答案為C．

例2 已知點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是函數(shù)y=sinx(-π＜x＜0)圖像上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且有x₁＜x+₂，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是

(A)sinx₁/x₁＜sinx₂/x₂

(B)sinx＜sinx₂

(C)1/2(sinx₁+sinx₂)＞sin(x₁+x₂/2)

(D)sin(x₁/2)＞sin(x₂/2)

分析與解：借助函數(shù)y=sinx(-π＜x＜0)的圖像(圖2)可知由x₁＜x₂并不能得出sinx₁＜x₂，故B不正確，又因?yàn)閥=sinx在(-π/2，0)上單調(diào)遞增，且－π/2＜x₁2＜x₂/2＜0，則必有sin(x₁)＜sin(x₂/2，因此D不正確．由于sinx/x的幾何意義為連接原點(diǎn)O及點(diǎn)(x，sinx)的直線的斜率，結(jié)合圖2、圖3判斷可知A正確．由于y=sinx的圖像(圖3)在(-π，0)上呈凹形，故不難發(fā)現(xiàn)(x₁，0)及(x₂，0)兩點(diǎn)中點(diǎn)發(fā)函數(shù)值小于這兩點(diǎn)函數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)，所以C正確．答案為A、C．

例3 已知等差數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)之和為S_n，且S₁₀=100，S₁₀₀=10，求S₁₀100．

分析與解：本題的解法較多，比較簡(jiǎn)潔的方法是利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解．下面給出利用數(shù)形結(jié)合思想求解的過(guò)程，以拓展思路．

∵S_nna₁+(n(n-1)/2)d，∴S_n/n=a₁+(n-1/2)d=(d/2)n=(a₁-d/2)，∴S_n/n為關(guān)于n的一次函數(shù)，∴(10，S₁₀/10)，(100，S₁₀₀)與(110，S₁₁₀/110)三點(diǎn)共線．由斜率相等可得10/10-100/10/100-10=S₁₁₀/110-10/100/110-100，∴S₁₁₀=11O．

例4 在直線1:x=y-5=0上求一點(diǎn)P(x，y)，使得點(diǎn)P(x，y)對(duì)點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)的視角∠APB最大．

分析與……