利用“化歸轉化”思想解題

化歸轉化是最基本的數學思想方法之一，其基本原則是將不熟悉的、難解的問題轉化為熟知的、易解的或已經解決的問題，將抽象的問題轉化為具體直觀的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將一般性的問題轉化為特殊的問題，將日常實際問題轉化為數學問題，最終使得問題便于解決．常見的分析法、反證法、待定系數法、構造法等都是化歸轉化的基本手段．近幾年高考十分重視對化歸轉化思想的考查，要求同學們熟悉化歸轉化的各種方法，并有意識地運用該思想方法解決相關的數學問題．

一、借助函數進行轉化

例1 設a，6，c∈R，且它們的絕對值都不大于1，求證：ab+bc+ca+1≥0．

分析：直接證明本題結論比較困難，但通過觀察不等式的結構特點可知，可以構造函數f(a)=(b+c)a+bc+1，將該題轉化為證明當｜a｜≤1時，f(a)≥0恒成立．因此可以利用一次函數的基本性質來完成命題的證明．

證明：根據題意可設關于a的函數f(a)=(b+c)a+bc+1，且-1≤a≤1，-1≤6≤1．-1≤c≤1．

(1)若b+c≠0，則f(a)是關于a的一次函數．由于f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)≥0，f(-1)=(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)≥0，根據一次函數f(a)的單調性可知，當｜a｜≤1時f(a)≥0成立，即ab+bc+ca+1≥0；

(2)若b+c=0，則f(a)=-b²+1≥0．代入x²₀+y²₀/4=1得點M的軌跡方程為：1/x²+4/y²=1(x＞1，y＞2)．

二、借助方程進行轉化

例3 設a＞b＞c，且a+b+c=a²+b²+c²=1．求證：0＜a+b＜4/3．

證明：由a+b+c=a²+b²+c²=1可知a+b=1-c，ab=c²-c．構造方程x²+(c-1)x+C²-c=0，則a，b為該方程的兩個根．

∴△=(c-1)²-4(c²-c)=c²-2c+1-4c²+4c=-3c²+2c+1＞0，解得-1/3＜c＜1，從而0＜a+b＜4/3．

例4 在△ABC中，sinA≠sinB，且(sinC-sinA)²-4(sinA-sinB)(sinB-sinC)=0．求證：0

證明：由于sinA≠sinB，構造二次方程：(sinA-sinB)x²+(sinC-sinA)·x+(sinB-sinC)=0，顯然x=1為該方程的一個實數根．由(sinC-sinA)²-4(sinA-sinB)(sinB-sinC)=0可知該方程的A=0，所以方程有兩個相等的實根1．由韋達定理可得sinB-sinC/sinA-sinB=1．∴2sinB=sinA+sinC，2sin(B/2)cos(B/2)=