小學數學解題策略的應用舉隅

有些數學問題的解決，常常需要應用一些特殊的解題策略來突破難點，找到解題的關鍵，從而順利解題。

一、從頭想起

例1 在一個正六邊形的紙片內有60個點，以這60個點和六邊形的6個頂點為頂點的三角形，最多可以剪下多少個?

思路點撥：如果緊抓住正六邊形內的60個點及正六邊形的6個頂點思考，總覺得情形過于復雜，無從下手。若從頭想起，反而能逐步揭開題中的奧秘。

如果正六邊形內只有1個點，則可剪出6個三角形；出現的第2個點，必定落在其中的一個三角形內，則這個三角形又可分成3個三角形，那么三角形的個數比原先多2……以此類推，每增加一個點，三角形的個數就會增加2。所以正六邊形內有60個點時，最多能剪出6+59×2=124(個)三角形。

二、連估帶猜

例2 五位老人的年齡互不相同，其中年齡最大的比年齡最小的大6歲。已知他們的平均年齡為85歲，其中年齡最大的一位老人是多少歲?

思路點撥：根據題意，可先估計年齡最大的老人的歲數在87—90之間。若最大的為87歲，則最小的應為81歲，由“年齡互不相同”可知，其他三個老人的年齡最多分別為86歲、85歲、84歲。但如果這樣的話，五人的平均年齡不足85歲，所以年齡最大的老人一定比87歲大。若最大的老人為89歲，則最小的應為83歲，其余三人的歲數至少分別是84歲、85歲、86歲。但如果這樣的話，五人的平均年齡超過85歲，所以歲數最大的老人應比89歲小，即年齡最大的老人應該是88歲。

三、相似聯想

例3 理發店里的毛巾有的洗頭用，有的當披肩用。一條新的毛巾，如果洗頭用，30天后破舊報廢；如果把它當披肩用，80天后破舊報廢。為了能用盡可能多的天數，如果采用使用一定天數后，將毛巾調換使用的方法，那么一條毛巾最多可以用多少天?

思路點撥：利用“相似聯想”可以沖破原題的困惑。把題目聯想轉化成我們所熟悉的題目，便可輕松解題。大家來看這樣一道題：“一項工程，甲獨做30天完成，乙獨做80天完成。兩人合做，多少天可以完成兩項這樣的工程?”這是一道簡單的工程問題，甲、乙兩人合做需2÷(1/30+1/80)=480/11(天)才能完成兩項這樣的工程。把此題與原題一比較，發現兩題的數量關系類似。如果把一條毛巾最多可用的天數看作單位“1”，則兩種用法各用1天共使毛巾折舊(1/30+1/30)，一條毛巾最多可以用多少天，就在于兩個單位“1”中有多少個(1/30+1/80)。“相似聯想”使問題迎刃而解：用調換使用的方法，一條毛巾最多可以用2÷(1/30+1/80)=480/11(天)。

從圖中可以看出，陰影部分面積正好等于圓面積減去里面一個最大正方形的面積。正方形面積占圓面積的100/570(知道為什么嗎)，所以陰影部分的面積占圓面積的1-100/157=57/157，即3.14×(3/2)²×(1-100/157)≈2.565(平方厘米)。

五、巧妙設數

例5 水果店有甲、乙、丙三種水果，梅梅所帶的錢如果買甲種水果剛好可以買4千克，如果買乙種水果正好可以買6千克，如果買丙種水果則可買12千克。梅梅決定三種水果買一樣多，那么她帶的錢能買三種水果各多少千克?

思路點撥：題中梅梅所帶的錢及三種水果的單價都不知道，使得問題變得復雜化。如果設梅梅帶了12元錢，那么問題就簡單多了。12元錢能分別買4千克甲種水果、6千克乙種水果、12千克丙種水果，那么甲、乙、丙三種水果每千克分別為3元、2元、1元。顯然，梅梅買三種一樣多的水果，能各買12÷(3+2+1)=2(千克)。

六、等價交換

例6 如圖3所示，長方形ABCD是由上、中、下三個長方形拼成的，已知中間長方形的寬正好是上、下兩個長方形寬的和。那么，對角線下面兩個陰影部分的面積和與對角線上面那個陰影部分的面積比是多少?

思路點撥：四邊形ABCD顯然是由兩個直角三角形和一個直角梯形組成的。如果能知道EF的長，那么兩個三角形的面積和直角梯形的面積都能求出。這樣，不妨設EF的長為x厘米，則：

三角形ABE的面積=(12-x)×8÷2=48-4x(平方厘米)

三角形CDF的面積=(10-x)×6÷2=30-3x(平方厘米)

梯形BEFC的面積=(6+8)×x÷2=7x(平方厘米)

四邊形ABCD的面積=48-4x+30-3x+7x=78(平方厘米)

八、反面出擊

例8 甲、乙、丙、丁四人中只有一人在雅典奧運會上獲得了金牌，當有人問他們誰得了金牌時，甲說“是乙”，乙說“是丁”，丙說“不是我”，丁說“乙說錯了”。觀看了奧運會的觀眾一聽就發現這四句話中只有一句是對的，那么到底誰得了金牌呢?

思路點撥：題目中說只有一句話是對的，大家很容易想到去找出這句對的話，這樣就走進了題目為你設置的陷阱。我們不妨從反面出擊，找找哪些話是錯的。

題中乙和丁的話明顯是互相矛盾的，兩人中必有一人說的是真話，一人說錯了。既然有一人說對了，那么剩下的甲、丙兩人的話一定都是錯的。我們再來讀一讀丙的錯話“不是我”，顯然，得金牌的就是丙。

九、整體把握

例9 有9只油桶，分別裝油9、12、14、16、18、21、24、25、28千克，分給甲、乙兩人各若干桶，最后只剩下1桶。已知甲分到的油是乙分到的油的2倍，剩下的這桶油有多少千克?

思路點撥：如果具體地去尋求甲和乙各分到的是哪幾桶油，再求剩下的是哪一桶油，這樣的方法是雜亂的。我們可以從整體上把握，9桶油共重9+12+14+16+

18+21+24+25+28=167(千克)。已知甲分到的油是乙分到的油的2倍，則甲、乙共分到的油的千克數一定是3的倍數。而167÷3=55……2，那么剩下的那桶油的千克數一定是被3除余2，那就只能是14千克那桶油了。

十、借助特例

例10 如圖6所示，將四邊形ABCD的各邊都延長一倍，得到的新四邊形EFGH的面積是原四邊形ABCD面積的幾倍?

思路點撥：我們借助特例——四邊形ABCD為正方形進行分析，則上題所描述的情形就如圖7。圖7中的四邊形EFGH實際上是由四個直角三角形和正方形ABCD組成的一個新的正方形，而這每個直角三角形的面積正好都等于正方形ABCD的面積。那么，新四邊形EFGH的面積是原四邊形ABCD面積的5倍。

事實上，如果連接圖6中的AF、AC、HC可得圖8。那么，三角形ABC的面積=三角形ABF的面積=三角形AEF的面積，三角形ADC的面積=三角形DCH的面積=三角形HCG的面積，則三角形BEF與三角形DHG的面積和是四邊形ABCD面積的2倍。同樣，三角形AHE與三角形CFG的面積和也是四邊形ABCD面積的2倍。所以，新四邊形EFGH的面積是原四邊形ABCD面積的5倍。看來，特例所得的答案完全正確。

其實，解決數學問題的策略不勝枚舉，關鍵是能抓住題目的特點，就“題”而變，巧妙地應用策略，創造性地解決問題。