道理是這樣的

林向陽　賈傳武

人教版九年義務教育六年制小學數學第九冊第76頁第4題：我們經常見到圓木、鋼管等堆成像下圖的形狀，通常用下面的方法求總根數：(頂層根數+底層根數)×層數÷2。想一想是什么道理，并算出圖中圓木的總根數。

在說明“想一想是什么道理”時，很多教師認為這堆鋼管的橫截面像梯形，頂層根數相當于梯形的上底，底層根數相當于梯形的下底，層數相當于梯形的高，總根數相當于梯形的面積。因為梯形的面積=(上底+下底)×高÷2，所以圓木的總根數：(頂層根數+底層根數)×層數÷2。由此，可以看出，求圓木的總根數用的就是梯形的面積公式。只是寫法稍微有些不同罷了。再者教材的編排也說明了這一點，教材把這題放在了剛學完梯形的面積公式之后，這一題就是梯形的面積公式在實際生活中的應用。

筆者認為上面的說法是不正確的。首先，上面的推理值得我們質疑。他把這堆圓木的“頂層根數”、“底層根數”、“層數”、“總根數”，分別同梯形的“上底”、“下底”、“高”、“面積”建立聯系，如果僅僅用這樣的類比去尋求圓木總根數的解答方法是可以的。可是，有一點是怎么也說不通的：把這堆圓木的“頂層根數”和“底層根數”分別看作梯形的“上底”和“下底”時，為什么一定要把圓木堆碼的“層數”看作梯形的“高”，而不是把它看作梯形的“腰”呢?事實上。它不是和“腰”更相似嗎?我們數這樣堆碼的圓木層數時，一定要從橫截面去數嗎?難道不可以從腰部(側面)去數嗎?當我們把“層數”看作梯形的“腰”時，那么求總根數的公式與求梯形的面積公式就無法建立聯系了，因此不能說求圓木總根數用的公式就是梯形的面積公式。其次，這道題目的要求不是求那個近似于梯形的橫截面的面積，而是求圓木的總根數。我們拿這個“橫截面”來說．從整體上看。外表確實有點像梯形，但它的截面本身不是梯形，而是一些相切的圓，如果堆起來的是鋼管的話，它的截面就是一些“圓環”了。這就進一步說明：既不是標準梯形，又不是求面積，怎么能用梯形的面積公式去計算呢?第三，如果按照上面的理由，堆成的圓木截面是三角形的話，就應該用三角形的面積公式“底×高÷2”，即“底層根數×層數÷2”去求總根數了，這樣做對不對呢?請求右邊一堆圓木的總根數試一試。按照三角形的面積公式列式為4×4÷2=8(根)，這顯然不對，一眼就可以看出來這堆圓木是10根而不是8根。

那么，教材中這樣求圓木的總根數到底是什么道理呢?我們得從求圓木總根數的實質去分析：題目中圓木從上到下，第一層有2根，第二層有3根，第三層有4根，第四層有5根，第五層有6根，即圖中圓木的總根數為2+3+4+5+6。在這一列數中，從第二個數起，每一個數與它前一個數的差都是1，所以它是一個等差數列(如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一常數，這個數列就叫做等差數列。數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數列中數的個數稱為項數)，求圖中圓木的總根數就是求這一等差數列的和。因此，這個求圓木總根數的題目，實際上是求等差數列前幾項的和的應用題。已知等差數列的首項a₁，項數為n，第n項a_n，所以S_n=(a₁+a_n)×n÷2，寫成文字表述形式為：等差數列前n項的和=(首項+末項)×項數÷2。這一題就是求等差數列2、3、4、5、6……前5項的和，用公式求得：(2+6)×5÷2=20(根)。

如果用這樣的理解去求上面堆成橫截面是三角形的圓木總根數就是：(1+4)×4÷2=10(根)。這進一步說明：求圓木的總根數不是三角形面積公式、梯形面積公式的運用。而是求等差數列前n項和的公式的運用。

總之，把這里求圓木的總根數說成是梯形面積公式的應用是錯誤的。題目中求圓木總根數的理由可以從求等差數列前n項和的角度去說，也可以從組拼還原的角度去說。

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