不等式ａ^２＋ｂ^２≥２ａｂ的證明

在常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對不等式a2+b2≥2ab的證明，一般來說都是采用公式推導(dǎo)的方法。這種方法具有一定的抽象性，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏直觀感，對不等式的本質(zhì)意義理解不到位。如果我們在此不等式的證明教學(xué)過程當(dāng)中，采用Flash動(dòng)畫來輔助證明，教學(xué)效果將得到明顯提高。課件播放界面如上圖所示。（需要課件源程序者可聯(lián)系作者，郵箱是：siguix@163.com。）

課件功能

通過選擇播放、暫停按鈕可以動(dòng)態(tài)顯示三角形BEG、BCD及矩形EBCF的面積關(guān)系，從而證明不等式a2+b2≥2ab。

使用方法

課件使用非常簡單，初始狀態(tài)為暫停播放，用戶只需單擊播放按鈕即可觀看效果，并可以通過暫停按鈕在動(dòng)畫播放的任意位置暫停。

設(shè)計(jì)思路

1.我們想通過一種直觀的方式使學(xué)生掌握不等式a2+b2≥2ab。于是，我們試圖把該問題的證明轉(zhuǎn)化到圖形面積大小的問題上，因?yàn)椋瑘D形面積的大小是我們用眼睛能直接觀察到的。把不等式a²+b²≥2ab的左右兩邊都轉(zhuǎn)化成能表示一個(gè)圖形的面積形式，在不等式的兩邊同時(shí)除以2，得到的不等式為（a²/2）+（b²/2）≥ab。此時(shí)不等式a2+b2≥2ab的證明就等價(jià)于不等式（a²/2）+（b2/2）≥ab的證明，而不等式（a²/2）+（b²/2）≥ab的左邊正好是兩個(gè)等腰直角三角形的面積之和，兩個(gè)等腰直角三角形的直角邊長分別是a和b，不等式右邊是一個(gè)長和寬分別為a和b的矩形的面積。此時(shí)，我們已經(jīng)把該問題的證明轉(zhuǎn)化到了面積大小對比的觀察上。

2.有了上面一步的分析之后，我們現(xiàn)在的問題是怎樣把不等式（a²/2）+（b²/2）≥ab左右兩邊（左邊的兩個(gè)直角三角形、右邊的矩形）同時(shí)放到一個(gè)圖形中去，讓學(xué)生一眼就看出不等式是成立的（如圖所示）。

3.證明（a²/2）+（b²/2）≥ab：ABCD是一個(gè)邊長為a的正方形，EF交BD于G點(diǎn)，要證明（a²/2）+（b²/2）≥ab，我們只要證明圖中三角形BEG的面積（b²/2）+三角形BCD的面積(a²/2)≥矩形EBCF的面積（ab），而這是顯而易見的。從動(dòng)畫中我們可以看到b的值可以在從0到a的范圍內(nèi)變化，（a²/2）+（b²/2）的面積比ab大的部分剛好是三角形DFG，當(dāng)b=a時(shí)，即EF與AD重合時(shí)，三角形DFG的面積等于0，于是，不等式（a²/2）+（b²/2）≥ab就得到了證明。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)

1.我們采用Flash 8來實(shí)現(xiàn)該動(dòng)畫，主要用到關(guān)鍵幀動(dòng)畫、變形動(dòng)畫、Flash腳本語句、遮罩等技術(shù)，其中的關(guān)鍵技術(shù)是遮罩的運(yùn)用。

2.制作中用到兩個(gè)簡單的腳本語句：

播放按鈕：on(release){play();}

暫停按鈕：on(release){stop();}

3.在動(dòng)畫的運(yùn)行過程中，我們要注意體現(xiàn)出不等式（a²/2）+（b²/2）≥ab中b這一變量的變化，上圖中標(biāo)有b的這條線段的長度要能夠隨BE變化而變化。為了便于形象的觀察，我們讓b字母保持在這條線段的中部，EF是另外的一條單獨(dú)線段，要使它從AD運(yùn)動(dòng)到BC，并使之與遮罩運(yùn)動(dòng)的速度一致，它與BD的交點(diǎn)G也必須是動(dòng)態(tài)的。