談小學高段數學概念教學的開放

小學高段數學中的許多概念已經有比較明確的定義，有了一定的邏輯意義和嚴密性，反映了事物的本質屬性。為了保證概念的科學性和嚴密性，在教學中教師往往步步為營，概念的揭示追求嚴密的描述，為一詞一句費盡周折。在我們這些無名教師的公開課中，這種表現變本加厲，深怕落得個知識不嚴密、不科學，誤人子弟的罪名。學生們在教師的引導下亦步亦趨，有些學生一問到概念便如見到語文的詞語解釋一般開始回答，實質理解并不到位。概念揭示后，教師們還要借助判斷練習、變式訓練幫助學生筑起高墻，防止學生出軌。由于教師過分地追求結果的形式化，禁錮了學生的思維，學生處于十分被動的地位。在新課程標準中提出“降低一些概念過分‘形式化’要求”，并指出要“改進數學概念教學，強調通過實際情景使學生體驗、感受和理解”。它明確地告訴我們數學概念的教學最重要的是讓學生經歷概念的形成過程。在教學實踐中，我摒棄以往概念教學中重認識、輕發現的學習方法，開放概念的探究過程，引導用學生自己的方式去發現數學概念的本質，經歷概念形成的過程。結合教學《認識平行四邊形》的實踐，談談自己粗淺的體會。

《認識平行四邊形》案例

一、探究平行四邊形的特征，揭示平行四邊形的概念

１．引入略。

師：觀察平行四邊形，它們可能會有什么共同的特點？獨立思考后同桌交流。

生１：平行四邊形有四條邊，四個角。

生２：平行四邊形的兩個角是銳角，兩個角是鈍角。

生３：平行四邊形有兩組平行的邊。

生４：平行四邊形的對邊相等。

生５：平行四邊形的對角相等。

２．師：（教師一一板書學生的回答）這些平行四邊形確實具有這樣的特征嗎？你們是否能想辦法驗證一下？（四人一組一齊想辦法）

匯報展示驗證方法：

（１）驗證對邊平行

生６：可以用畫平行線的方法，一把尺與其中一條邊重合，另一把尺緊貼第一把尺移動……

生７：可以在對邊之間畫兩條垂直于邊的線段，量一量它們的長度，如果兩條線段長度相等，那么說明兩條邊互相平行。

生８：可以把平行四邊形對折，兩條對邊其中的一部分恰好可以重合。（學生操作時兩條對邊的大部分重合在一起，當時我著實有點轉不過彎來，一下子找不到確認的理由，更想不出反駁的理由，課后我認真思考，學生其實利用了平行線之間的距離處處相等，學生當時可能也是憑直覺。但對折后能重合的兩條邊不一定平行，比如像等腰梯形這樣的軸對稱圖形等腰對折，兩條腰重合，但它們并不平行）

師：（我只好把球踢過去）大家對折手中的平行四邊形，它們的對邊也是如此嗎？

（２）驗證對邊相等

生９：用直尺測量對邊的長度，它們的長度相等。

生１０：把平行四邊形剪成兩個完全一樣的三角形，這兩個三角形的三條邊完全重合。

（３）驗證對角相等

生１１：用量角器測量……

生１２：馬上補充：我們還發現相鄰的兩個角加起來是１８０度，四個角加起來是３６０度。（分組驗證的時候，多數學生都在用量角器測量角的大小，我當時心里想：“你們就不能采用更好的辦法嗎？多麻煩，還要產生誤差！”壓根兒沒想到笨辦法幫助他們有了“突破性”的發現）

生１３：把對角撕下來重疊……

生１４：這樣破壞了平行四邊形，可以折一折（如下圖），兩個對角就重合在一起。（聽課的老師、我和學生們都情不自禁地為他喝彩。）

３．師：平行四邊形有什么特征？一個怎樣的圖形我們可以確認為平行四邊形？為什么兩組對邊分別平行就可以確認為平行四邊形？

二、運用平行四邊形的概念，感悟平行四邊形和長方形、正方形的關系

師：判斷下面圖形中哪些是平行四邊形？

師：長方形和正方形也是平行四邊形嗎？為什么？平行四邊形和長方形、正方形之間的關系可以怎樣表示？

（學生有用語言描述的，有用集合圖表示的。）

為什么稱長方形和正方形為特殊的平行四邊形？

三、感悟平行四邊形的不穩定性，進一步體驗平行四邊形的特征

師：選擇材料——小棒、幾何釘板、尺等，創造一個平行四邊形。

師：展示你的作品，說說你是怎樣創造平行四邊形的，利用了平行四邊形的什么特征？

學生的回答略。

師：誰能夠把自己的作品借給老師，教師借一個拉一個：你們的作品粗制濫造，一拉就變形，是次品。（拿出鋼條制成的大平行四邊形）拉拉我的，應該夠結實吧？

師：原來不是我們的緣故，是平行四邊形自己有問題，有什么問題？能治好嗎？

師：平行四邊形就那么不中用嗎？看錄像（電動拉門、伸縮尺）。大家看到平行四邊形了嗎？你有什么感想？有什么疑問？你還能舉出其他的例子嗎？

生１５：看我的拉門模型。（動作真夠利索，他在看錄像的過程中感悟了平行四邊形的不穩定性，收集了小組里所有的小棒搭成了一扇小門）

四、認識高、畫高，提升對平行四邊形概念的理解

１．師：了解了平行四邊形的脾氣，我們就可以用剛才的四根小棒搭出幾個平行四邊形？（電腦演示：拉動四根小棒，形成各種平行四邊形）

生１６：無數個平行四邊形。

師：觀察這些平行四邊形，它們有什么共同的特點？

生１７：對邊相等、對角相等。

生１８：不穩定。

生１９：周長相等。

……

師：有什么不同點？

生２０：越來越扁了。

生２１：上下兩條平行線的距離越來越近了。

師：有辦法知道上下兩條平行線之間的距離嗎？

師：垂直于平行四邊形邊的線段是平行四邊形的的高，跟高垂直的邊是平行四邊形的底。這樣的高能畫幾條。（把平行四邊形側過來）如果把這條邊當作底，對應的高應該怎樣畫呢？……（下課鈴響了）

感悟：

一、開放概念課內容，無需拘泥于課本

浙江義務教材小學數學第八冊課本中在揭示了“四邊形”的概念后，直接揭示了平行四邊形的概念：“兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。”非常簡單，對于平行四邊形豐富的特點，毫無涉及。在以往的教學中，我總是急功近利，教學目標定位狹隘。因為評價學生對于這個概念掌握與否，在試卷中出現最頻繁的就是判斷題，所以在教學中往往通過觀察，提問：“平行四邊形的兩組對邊有什么特點？”直奔中心，揭示概念，然后強調概念中關鍵的詞語，注重的是知識的掌握，采用的是“功利”教法，忽略了平行四邊形的特征這塊培養學生探究能力的好素材。學生對平行四邊形的認識只停留在“兩組對邊分別平行”這樣蒼白的層面上，“只見樹木不見森林”。設計這次教學預案時，我把通過觀察、猜想、動手操作，感悟、認識平行四邊形的特征作為教學重點，在此基礎上自然地概括出平行四邊形的定義，著眼于學生學習能力和思維的發展，高屋建瓴，為學生的未來發展奠基。考慮到平行四邊形特征的豐富性，學生探究可能難度較大，而教材把它安排在認識平行四邊形、三角形、梯形這組基本圖形的第一課時，圖形的認識和面積教學穿插在一起，不利于學生對圖形的探究。在實際教學中我把教材的順序進行了調整，把平行四邊形、梯形、三角形三種圖形的認識集中起來進行教學，并且把對平行四邊形的探究放在最后，學生有了必要的知識儲備，探究起來如魚得水。特別是學生的實踐操作能力與老師相比更勝一籌，令我深感以前教學中對學生“數學現實”的忽略。學生在后幾個環節中對平行四邊形概念的靈活運用證明，學生對平行四邊形豐富特征的了解，并沒有影響對其本質特征的掌握。

二、開放概念探究的過程，給學生發展的空間

概念的形成不是靠死記硬背，需要一個過程。皮亞杰認為一切知識在初級水平都是從經驗開始。教師試圖以形式化、嚴謹性來規范學生的思維，實際效果并不佳。在本節課中我引導學生通過觀察、猜想、分類、動手操作探究、討論等活動，感悟、體驗平行四邊形豐富的特征。學生的探究過程和結果精彩紛呈，學生對平行四邊形這個概念的建構主動而積極，課堂充滿了生命的活力。

探究平行四邊形的特征時，我只設計了“觀察平行四邊形，它們可能會有什么共同的特點？”“這些平行四邊形確實具有這樣的特征嗎？你們是否能想辦法驗證一下？”兩個活動。學生們通過畫平行線的方法、測量兩條線之間的距離、對折圖形的方法驗證了平行四邊形的兩組對邊分別平行；通過測量角的大小、折疊圖形等方法驗證了平行四邊形的對角相等，還順帶發現了平行四邊形的兩個鄰角之和是１８０度，內角總和是３６０度。富有個性的探究活動，實現了對數學知識的再創造。在后來感悟平行四邊形和長方形、正方形的關系，制作平行四邊形，認識平行四邊形的高等環節中，學生對平行四邊形的特征信手拈來，運用自如，似退實進，比教師一味的灌輸效果更佳。我在以往的教學中揠苗助長，急于求成，追求知識的一步到位，學生獨特的、生動活潑的思想就被淹沒在枯燥的形式中。

三、開放概念的應用過程，讓概念的提升水到渠成

在以往概念的鞏固中，運用的較多的辦法之一是對比，比如平行四邊形和梯形概念的對比：兩組對邊分別平行的四邊形——只有一組對邊平行的四邊形。運用得較多的形式是“判斷”，比如判斷“兩組對邊平行的圖形叫做平行四邊形”是否正確。這些辦法和形式糾纏于枯燥的字眼，對于有著生動思維的小學生來說，顯得那么蒼白無力。但是通過應用、實踐進一步理解、提升的概念卻扎根于學生的腦海中。在本案例中讓學生選擇材料——小棒、幾何釘板、尺等等做（圍、畫）一個平行四邊形；思考四根小棒可以搭成幾個平行四邊形，各種平行四邊形有哪些共同的特征和不同的特征？這些開放性的應用問題需要調動學生所有的探究結果，激發學生多角度地思考，學生對概念的理解不斷得到提升，思維越來越嚴謹。學生的思維從有限到無限、從有形到無形，呈螺旋上升的趨勢，學生的空間觀念也在想象中得以進一步發展。

四、開放探究的時間，滿足學生發展的需要

對概念的理解是一個漸進的過程，需要給學生探究的時間、爭辯的時間。學生和我一路磕磕碰碰地走來，最后“遲到”了，我沒有來得及展示精心設計的練習。但是聽課的老師和我自己都沒覺得有什么不對頭，因為學生的發展需要這些時間。數學概念是學生學習的基石，更要舍得花時間。欲速則不達！讓我們的預設給學生自由揮灑的時間、空間！

責任編輯：李海燕