溝通知識聯系 發展思維能力

一、溝通基本知識聯系，形成系統知識鏈條

1．揭示概念內在聯系。

概念是數學知識的基礎。在小學數學教材中，許多概念之間存在著千絲萬縷的聯系。溝通有關概念之間的內在聯系，使學生逐漸形成各種概念知識的系統。就可以為學習計算和解答應用題打下良好的基礎。

例如，教學“比”的意義時，可引導學生將比的概念和分數、除法的概念進行比較。通過比較，弄清三個概念之間的共同點和不同點，并且指出在應用時三者可以相互轉化、相互借鑒。這不僅加深了學生對三個概念內涵的理解，而且為靈活運用這些概念打下了堅實的基礎。

2．理解法則。由此及彼。

小學數學中的各種計算法則之間都有著密切的聯系，不僅不同運算法則之間存在著諸如逆運算等關系，而且不同數的同一運算法則之間也有其相似之處。

例如，教學“同分母分數加減法法則”時，教師就應及時地將其與整、小數的加減法計算法則相聯系，因為它們都有一個共同的性質，就是將相同單位的數進行合并和比較，使學生認識“小數點對齊”、“分母相同”等規定，其實質與整數加減法一樣：相同單位的數才能直接進行加減運算。這樣，學生就將三種不同數的加、減運算法則統一起來，運用時就不會犯錯誤了。

3．異中求同，巧記公式。

在小學數學“空間與圖形”學段中，有不少關于面積和體積的計算公式。從這些公式的推導過程可以看出，在幾種不同的公式之間既有明顯的區別，又存在著一定的內在聯系。教學時，教師可引導學生揭示這種內在聯系，在存異中求同，把其間的規律性知識挖掘出來，從而加深他們對這些公式的理解和識記。

例如，教學梯形面積公式時，引導學生回顧已學過平面圖形的面積公式，通過比較，認識所有的規則平面圖形的面積都可以用“(上底+下底)×高÷2”這個梯形面積公式來代替。在教學圓柱、圓錐體積公式時，引導學生通過比較，認識所有的柱形體積都可以用“底面積×高”這個長方體的體積公式來表示。

二、溝通數量關系聯系。積極開拓解題思路

1．透過現象，揭示本質。

有些應用題從題材看，似是罕見的難題，但是只要透過題目的現象去剖析其中數量關系的實質，它就現出了本來面目——原來是某種典型應用題的“變形”。一旦抓住了題目的本質。解題思路也就躍然紙上了。

例1 客車從甲地開往乙地要行4小時，貨車從乙地開往甲地要行6小時。如果兩車同時從兩地相向開出，幾小時后可以相遇?

例2一批衣料。可以裁剪20件上裝或30條褲子。問如果只裁8件上裝，余下的衣料還可以裁多少條褲子?

例3陳老師將一些餅干分給全班小朋友，每人可以分得6塊。如果只分給男生，每人可以分得10塊。如果只分給女生，每人可以分得多少塊?

以上三例，題材各有千秋，解答似乎難以入手。仔細分析，抓住它們所共有“工程問題”數量關系的實質。解題方案也就唾手可得了。

2．巧用直觀，盤活關系。

半直觀、半抽象的線段圖，是解答應用題常用的一種手段。借助線段圖的直觀，往往可以盤活題目中所蘊含的數量關系，將條件與問題之間的關系暴露無余，從而清晰地看到多種不同的解題途徑。

例4化肥廠有一堆存煤，用去70％以后，又運來510噸，這時存煤的重量是原來的13/15。問原來存煤多少噸?

先依題意畫一個線段示意圖：

容易看出：線段上面大括號右邊的部分是原來存煤的(1－70％)，線段下面大括號左邊的部分占原來存煤的(1-13/15)。

解法一從510噸與70％的關系看，510噸與這堆存煤的70％-(1—13/15)相對應。510÷[70％-(1一13/15)]=900(噸)

答：原來有存煤900噸。

解法二從510噸與13/15的關系看，510噸與這堆存煤的13/15-(1-70％)相對應。

510÷[13/15-(1-70％)]=900(噸)

答：略。(下同)

解法三從510噸與表示這堆存煤原來共有多少噸的單位“1”的關系看，510噸與這堆存煤的(70％4+13/15-1)相對應。

510÷(70％+13/15-1)=900(噸)

3．轉化變形，活用數據。有些較復雜的分數應用題，解答時可以憑借有關基礎知識對題目的已知條件進行轉化和變形，使題目的數量關系得到延伸與發展，從而覓出多種不同的解題思路。

例5甲乙兩人共有存款42萬元，甲存款的1/3與乙存款的3/5相等。問二人各有存款多少萬元?

解法一由“甲存款的丟與乙存款的3/5相等”可知乙的存款是甲的1/3÷3/5=5/9，42萬元與甲存款的(1+5/9)相對應。

42÷(1+1/3÷3/5)=27(萬元)……甲存款

42-27=15(萬元)……乙存款

答：甲有存款27萬元，乙有存款15萬元。

同理，因為甲的存款是乙的3/5÷1/3=9/5，所以42萬元與乙存款的(1+9/5)相對應。

42÷(1+3/5÷1/3)=15(萬元)……乙存款

42-15=27(萬元)……甲存款

答：略。(下同)

解法二因為1/3、3/9、3/8=3/5，所以可知甲的存款有9份，乙的存款有5份，每份存款有42÷(9+5)=3(萬元)。

42÷(9+5)×9=27(萬元)……甲存款

42÷(9+5)×5=15(萬元)……乙存款

解法三因為甲存款數×1/3=乙存款×3/5，所以可知甲存款數：乙的存款數=3/5：1/3=9：5，用“按比例分配”思路求解。

3/5：1/3=9：5

42×9/9+5=27(萬元)……甲存款

42×9/9+5=27(萬元)……甲存款

42×5/9+5=15(萬元)……乙存款

三、溝通局部整體聯系。發展空間想像能力

1．等積割補，形式整體。

有些組合圖形題，空白部分與陰影部分存在著等積關系，解答時，通過割補從整體去觀察，問題便可獲得順利解決。

例6求右圖中陰影部分的面積。(單位：厘米)

連接BD。將三角形外的弓形部分割下，正好可以補在三角形內的空白弓形部分，即陰影部分的面積等于三角形ABC面積的一半。 1/2×(10×10÷2)=25(平方厘米)

答：略。

2．加輔助線，延伸已知。

有些較復雜的組合圖形題，如果就事論事幾乎無從下手，若合理地添加一條或幾條輔助線，新的已知條件就會凸顯出來，解題思路隨之清晰可見。

例7如右下圖，AC是梯形ABCD的對角線，E是BC上的一點，BC=2．5AD，三角形COE和三角形DOC的面積分別是6平方厘米和3平方厘米。求四邊形A BEO的面積。

連接AE。利用三角形的“同高”關系，可知S_△AEC=S_△DEC，接著可知S_△AOE=S_△DOC=3cm²。由S_△COE，S△DOC3cm²，可知OE=20D，進一步可知SAAOD=3÷2=1 5cm。S_△ACD=3+1．5=4．5cm²。由BC=2．5AD，可知S_△ABC=4．5×2．5=11．25cm²。最后可知S_{四邊形ASEO}=11．25-6=5．25cm²。

3．由表及里，多角度審視。

對于一些較復雜的立體圖形，其表面不可能從一個視角看到全部，解答時需要經過由表及里、多角度審視的過程，才能利用相關知識，發現多種解答途徑。 例8右圖是一個棱長為3分米的正方體木塊，表面涂有綠色油漆。現在將這個正方體木塊切成27個同樣棱長為1分米的小正方體木塊，問在全部小正方體木塊中，沒有顏色的表面積共有多少平方分米?

解法一在切成的27個小正方體木塊中，有8塊3面無顏色(如A)，有12塊4面無顏色(如B)，有6塊5面無顏色(如C)，有1塊6面無顏色(在正中央)，且每個小正方體木塊的每個面的面積都是1平方分米。

3×8+4×12+5×6+6×1=108(平方分米)

答：略。(下同)

解法二 因為切成的小正方體木塊的表面積一共有6×27=162(平方分米)，有顏色的表面積為3×3×6=54(平方分米)，只要從162平方分米中減去54平方分米就可以了。

6×27-3×3×6=108(平方分米)

解法三因為將大正方體木塊按題意切開，要切6刀，一共可以切出12個大截面，每個大截面的面積都是3×3=9(平方分米)，所以只要將9平方分米擴大12倍即可。

3×3×12=108(平方分米)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。