世界杯足球賽趣題

第十八屆世界足球錦標賽將于2006年6月在德國舉行，關于世界杯的數學問題有很多，這里探討兩個在世界杯中經常碰到的數學問題。

【問題一]2006年德國世界杯共有32支球隊參加，分成8個小組，每組4支球隊。每個小組內進行循環賽(即每支球隊都要同另外3支球隊進行一場比賽)，小組積分前兩名進入16強。進入16強后，進行淘汰賽(即一場比賽決勝負，勝者進入下一輪比賽，負者被淘汰)，決出8強。進入8強后，再進行淘汰賽產生4強。4強仍進行淘汰賽，兩支負隊爭奪第三名，獲勝的兩支球隊進入決賽進行大決戰，最終獲勝的球隊將捧起錦標賽的金杯——大力神杯。本屆世界杯一共要舉行多少場比賽?

【分析與解】我們可以先求出循環賽的比賽場次，再求出淘汰賽的場次，最后求出一共比賽的場次。

計算淘汰賽的場次也有兩種方法： 方法一：小組賽后決出16強進行淘汰賽。16強決出8強要進行8場比賽，8強再決出4強要進行4場比賽，4強決出2支決賽隊伍要進行2場比賽，決出冠軍要進行1場比賽，再加上爭奪第三名的一場比賽，一共要進行8+4+2+1+1=16(場)比賽。

方法二：決出16強后進行淘汰賽。我們知道，每舉行一場比賽就淘汰一支隊伍，最后決出一個冠軍，就是淘汰了16-1=15(支)隊伍，即要進行15場比賽。再加上兩支被淘汰的隊伍要進行爭奪第三名的比賽，增加了一場比賽，這樣進入淘汰賽后一共要進行15+1=16(場)比賽。

最后，我們可以求出本屆世界杯共要舉行48+16=64(場)比賽。

在一個月的時間內可以觀看64場高水平的足球比賽，世界杯的確是足球迷們的節日。

【問題二】參加德國世界杯的32支隊伍共分8個小組，每組采用循環賽，即每支球隊與同組的另外3支球隊各比賽一場。一場比賽中，勝者得3分，負者得0分，平局雙方各得1分。最后按照總積分，小組前兩名出線，進入16強。同組球隊如果積分相同，按照雙方比賽成績排定名次，相互交鋒時勝者名次在前；如果雙方戰平，按照凈勝球多少排定名次(凈勝球數=總進球數一總失球數)，凈勝球多的球隊名次在前；如果凈勝球數相同，則比較雙方的總進球數，總進球數多的球隊名次在前。那么，一支球隊至少要獲得幾分才能保證出線呢?

[分析與解】我們假設同一小組的四支球隊分別為A、B、c、D。要保證出線的球隊為A。A積4分以下肯定不能保證出線。這里不再論述。

我們首先看看A積4分能不能保證出線。A積4分，說明成績為一勝一平一負，假設它勝了B，戰平c，負于D。如果C也勝了B，并且戰平D，那么C的成績為一勝兩平積5分，超過了A。我們再看D，DE經勝了A，戰平C，只要它戰平或戰勝B，積分都將超過A。因此，C、D將攜手出線，A積4分被淘汰。可見，積4分不能保證出線。

我們再來看看A積5分能不能保證出線。A積5分，說明它一勝兩平，假設它勝了B，戰平C和D。如果C和D之間也戰平，并且都勝了B，那么A、C、D三支隊伍都是一勝兩平，這就要考慮凈勝球。如果A以1：0戰勝B，而c以3：0勝B，D以4：0戰勝B．那么A將以凈勝球少而被淘汰。因此，積5分也不能保證出線。

我們再來看看A積6分能不能保證出線。A積6分，說明它兩勝一負，假設它勝了B、C，負于D。如果C勝了B、D．這樣C也是兩勝一負積6分；D如果勝了B，它已經勝了A。這樣D也是兩勝一負，積6分。這樣，A、c、D三隊互有勝負，假如它們都是1：C勝了對方，在這種勝負及比分交錯的情況下，決定他們命運的將是對B的戰績。如果A以1：0勝了B，而C、D都以3：0勝了B，那么A將以凈勝球少而被淘汰。因此，積6分也不能保證出線。

我們再來看看A積7分能不能保證出線。A積7分說明是兩勝一平，假設它勝了B、D，戰平C。這樣，B、D最多只能積6分，不可能超過A，A肯定能出線。所以，A至少要積7分才能保證出線。

當然，在足球場上，什么情況都有可能發生。一般情況下，一支球隊積5分便能夠出線，有時候積4分也能夠出線，但有的時候，積了6分還只能位居小組第三，這在1994年世界杯比賽中就曾發生過。所以，不到比賽結束，一切都是未知數，或許這正是足球比賽的魅力所在吧！

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。