語言與數量認知關系的新認識

摘 要 數量認知研究近年有長足發展。文章從新近提出的獨立于語言的兩個數量表征核心系統，語言與精確數量運算，語言與算術事實的儲存，語言對兒童早期數概念發展的影響，語言與數量認知關系的最新腦科學證據，以及語言在數量認知模型中的角色等方面，介紹和評述了人類存在依賴和不依賴語言的兩級數量能力的新認識。對于是否還存在其它不依賴語言的理解數量的系統，以及這些非語言數量表征系統的認知機制，文章認為有待進一步研究。

關鍵詞 語言，數量認知，數量表征，腦機制，兒童。

分類號B842

數量認知（Numerical cognition）是心理學研究人類數學能力的焦點與核心部分之一。人的數量能力（Numerical ability）的最初來源是什么？這里一度存在兩種相反的觀點，其一認為由語言決定，其二認為是獨立于語言的專門能力。喬姆斯基（Chomsky）認為，人類的數學思維本質上是從人類語言中抽象來的；沃夫（Whorf ）還提出了思維性質和內容由語言決定（Linguistic determinism）的強勢假設。與此相反，Gelman和Gallistal等人提出，人類對數的認識是與語言相互獨立的。近年來在傳統認知心理學研究的基礎上，從跨文化比較、神經心理學個案、動物心理學、腦成像等方面積累了大量的新發現，產生了新認識。目前為止的許多研究發現，人具有與其它動物共享的生物學意義的初始數量能力，在這個基礎上通過使用符號化語言，人類發展出獨特的高超于其它物種的數量能力。以下對近期這方面的研究進展作一個回顧和述評。

1 獨立于語言的數量能力

大量的嬰兒、腦損傷病人及動物的數量能力研究提供證據，認為人與其它動物共享一些基本的非詞語的（Nonverbal）數量能力，即不僅能區分物體的物理屬性，如大小、長度、時間、顏色、移動、聲音，還能按物體的某種屬性作個體分離，對個體的多少作出反應。這種最基本的數量能力具有進化來的生物學特征，是物種生存所需要的。比如，猴子觀看一片一片放進不透明盒子里的蘋果片后，能選擇較多蘋果片的盒子^[1]。獅子通過吼聲判斷來犯獅群的多寡，敵眾我寡，采取躲避行動；敵寡我眾，便采取反擊行動^[2]。Geary稱這種非詞語數量能力為生物學意義的初始數學能力（Biologically primary mathematical abilities）^[3]。它反映的是神經認知系統（Neurocognitive system）具有的內隱屬性。這一認識成為數量能力研究的新基點。Feigenson，Dehaene等人以最近幾年的一批研究發現為依據，提出生物初始數學能力包含兩個數量表征（Numerical representation）的核心系統——大數量的近似表征系統和小數量個數的精確表征系統^[4]，即雙系統假設。

1.1 大數量的近似表征

第一個數量表征核心系統是大數量的近似表征（Approximate representations），在無須語言參與的條件下，它對較大數量的集合加以區分和近似比較大小。根據研究結果，人類這個數量系統的發展顯示出一定的年齡差異。

遵循韋伯律（Weber’s Law）區分數量的現象曾在很多種類的動物身上發現，如鴿子，鼠，鸚鵡，猴子，海豚等。鴿子準確區分啄食次數35次與50次的比率可達90%，區分45次與50次達到70%準確^[5]。最近，Nieder等人專門測量數量辨認時的最小可覺差（Just noticeable difference），發現未經訓練的短尾猴對較大數量的辨認遵循韋伯律^[6]。

近來，一些嚴格控制實驗條件的研究證實，人類嬰兒能夠對物體的個數遵循韋伯律作近似區分。在6個月嬰兒的去習慣化實驗中，對視覺呈現的兩個黑點集合分別控制了總面積、輪廓線長等連續量的因素后，Fei Xu等人^[7]發現，嬰兒可以區分4和8，即能從總量上區別4個黑點和8個黑點的兩個集合（并非分別認出個數4和8），也能區別8和16^[8]，以及16和32^[9]。這些點集的點數比例都是1:2，而且單個點集的個數大于等于4。兩個點集若小于這個比例，如8和12，或者其中某個點集的個數太少，如2和4，6個月的嬰兒就不能區分^[7]。隨著年齡增大，可區分的個數的比例可以更接近，比如9個月大的嬰兒可以區分個數大于4的比例為2:3的兩個集合的差異^[4]。到成人，這種無須語言的對大數量作近似估計的能力主要用在不經過數數而想得知數量的時候^[4]。對呈現（或播放）的兩個點集（或聲音序列），成人可以不需數數而進行數量比較，可分辯的數量比例可以達到7:8，例如14比16^[10]。

缺乏數詞幫助，成人也能夠采用近似表征進行大數量的區分。Pica考察了巴西的亞馬遜河流域原始部落，發現Munduruku人只有表示1至5的數詞和“一些”，“很多”，“很少”的模糊量描述。當要求指出20和80兩個點集哪個較大時，他們的正確反應率達70%^[11]。這說明近似表征系統不依賴語言文化。

區分數量的能力不依賴于特定感覺通道（視覺或聽覺等）。Lipton等人發現6個月嬰兒能夠區分8響和16響兩個聲音序列，但不能區分8響和12響兩個差別較小的聲音序列；而9個月嬰兒兩者都能區分^[12]。Wood等人發現6個月的嬰兒能夠區分木偶跳躍次數4次和8次的區別，但不能區分2次和4次、4次和6次；到9個月才能區分4次和6次^[13]。

近似表征系統是如何工作的？Barth等人給成人快速呈現（或播放）兩個點集（或聲音序列），發現反應時與個數增長無關，而與相比較的兩個量的比例有關，數量越接近，反應時越長。例如，區分14個和16個（7:8）要比區分24個和32個（3:4）反應慢。Barth由此推測，這個數量加工的方式是并行的^[10]，即同時對所有外在個體進行加工，獲得一個總估計量，用一個內在表征符號對應這個總估計量（而不是對目標逐個先后加工，不是序列方式）。有的研究把該并行加工模式稱為類比模型（Analog model）^[14]。

1.2 小數量個數的精確表征

第二個核心系統是小數量個數的精確表征（Precise representations），它在小數量范圍內（3及3以內）逐個區分個體并對個數作出反應，也無須涉及語言。

Hauser以半自由生活狀態的猴子為被試，在未經訓練的條件下，讓猴子觀察實驗員把數目不等的蘋果片分別逐個放進兩個不透明的容器里。它們能選擇對比組1和2，2和3，3和4，3和5中的較多者；但對4和5，4和6，4和8以及3和8等對比組，其選擇是隨機的^[1]。猴子在這種條件下對數量的辨認是逐個進行的，因為它們看完一個實驗員逐片放入蘋果后再看另一個實驗員做同樣的動作，并沒有看到容器中蘋果片的總數。比較的兩個量超過4，猴子就沒有精確辨認的表現。關于動物精確數量能力的其它報告可見Dehaene的綜述^[5]。近期的一個重大進展是，Nieder等人在經過訓練的短尾猴作1至5個分離點的辨認時，從它們的前額葉邊側皮層直接探測到對數量1至5專門反應的神經元，這些神經元被稱為“數字神經元”（Number neuron）^[15]。這是首次揭示了數量精確表征的神經元基礎，類似的神經元也由Sawamura等人在猴子的頂葉找到^[16]。

未受語言影響的新生兒會如何對數量反應呢？Antell和她的同事早在1983年用去習慣法研究了40個新生兒（出生1~6天）對2至6個排列整齊的小黑點的數量反應。在建立習慣階段，他們突出了數量特征（即黑點個數），控制了其它變量（如黑點排列的疏密和范圍），使新生兒習慣的是黑點的數量。結果發現，對2習慣化的新生兒能對3產生顯著的去習慣反應（即注視時間增加），對3習慣化的新生兒能對2產生顯著的去習慣反應；對4和6或6和4的比較則沒有顯著的差異反應^[17]。

Wynn用背離期望法（Violation of expectation）讓5個月嬰兒看見一個玩具被遮擋后再添加一個玩具的過程，發現5個月嬰兒對最后拿開遮擋時只出現一個玩具的背離期望結果（1＋1＝“1”）會增加注視時間。類似地，對兩個玩具被拿開一個后仍出現兩個玩具的背離期望結果（2－1＝“2”）同樣會增加注視時間。Wynn由此判斷嬰兒有個數增加一和減少一的識別^[18]。Feigenson用選擇餅干實驗研究10~12個月大的嬰兒，在嬰兒注視下把大小相同的餅干分別逐個放進兩個不透明罐子里，讓嬰兒進行選擇。當數量分別是1和2，或者2和3時，嬰兒會選擇（爬向并取出）數量較多的罐子，選擇頻率達80%^[14]。當用搜尋實驗法向14個月大的嬰兒顯示1~3個物體，然后放進一個掩蓋的容器里時，嬰兒能根據顯示的個數取出同樣數量的物體^[19]。

這種區分小數量個體的能力并不限于對視覺空間刺激物。嬰兒對多感覺通道、對運動節奏的刺激也能作類似的反應^[20、21]。例如，6個月大的嬰兒可以區分木偶跳2次和3次。

嬰兒這種無詞語支持的精確數量能力在成人的一些特別的群體里也曾被發現。在非洲尼日利亞，從缺乏教育的Kpelle部落人身上觀察到對個數3的分辯能力，其準確率和反應時與美國受過教育的人沒有太大差異；但是對個數超過3的分辯能力則有顯著差異^[25]。最近，Gordon對巴西亞馬遜河流域的原始部落Piraha人作了較為嚴格的考察和實驗，發現在缺乏數字語言的部落環境中，他們能精確辨認的數量也是在3以內^[26]。

精確表征系統與近似表征系統的工作機理是不同的。在視覺加工的前注意階段，人能夠同時對4個以內的客體進行分離，形成標記，這些標記在后繼加工階段能夠被逐個跟蹤^[22]。有些研究報告將一個標記稱為一個“客體檔案”（Object file）。嬰兒在背離期望法實驗中能夠準確跟蹤幾個客體的數量，因此可以用客體檔案跟蹤模型來描述其加工機理^[14、19]。可見，精確表征系統的加工方式是基于并行（獲得分離標記）并兼有序列（跟蹤客體），與前面提到的近似表征系統以并行方式加工有所區別。

根據上述機理，被跟蹤的標記儲存在短時記憶中，而短時記憶的儲存限度是3至4個客體^[23、24]，所以能同時維持的標記只有3至4個，嬰兒的精確表征限度也就不會超過3個。一些研究結果，如嬰兒在背離期望實驗中的表現符合這一解釋。再如，前述Feigenson研究的10~14個月大的嬰兒能辨認3以內的數量，但當數量超過3，比如4時，嬰兒的辨認具有隨機性，正確選擇不超過50%；又如，14個月大的嬰兒目睹4個物件被放進掩蓋的容器里，卻只會取出一個就停止尋找其它物件^[14、4]。這是因為當嬰兒注意最后一個（例如第四個）物件時，前面的記憶就被覆蓋和遺忘了。

綜上所述，人類與許多動物共同享有的初始數學能力包含一個對大數量的近似表征系統和一個對小數量個數的精確表征系統。近似表征系統按韋伯律分辯數量大小，其加工過程按并行類比的方式在個數4以上工作。隨著成熟，人的最小可覺差的韋伯常數（增量與原量之比）趨于更小。精確表征系統能夠分離目標中4個以內的個體并對目標的個數作出反應，對增加一個、減少一個、累加幾個個體（4以內）進行序列加工并給出精確判斷。

2 語言對整合與發展人類數量能力的作用

非詞語的數量能力的上述新認識，給長期爭論的語言與數量認知關系提供了一個部分回答。然而，語言與大數量的精確表征的關系是怎樣的？

人類需要進行任何數量的精確計算，為此使用了數詞、字符（如阿拉伯數字）、運算符號（如加減號、分數線、根號）等組成的符號化系統，它們大都是可說明（有語義）、可讀寫（有語音有書寫有句法）、可回憶（外顯性）的，能對數量思維作明確判斷、表達和交流，其中的符號化系統也具備了語言的基本要素。對精確數概念、運算與語言的關系有沒有新的研究發現和新的認識呢？

2.1 精確的數概念和四則運算與語言密切相關

Geary認為，人類通過語言和文化可以整合多種生物初始數學能力，進一步發展出生物次級數學能力（Biologically secondary mathematical abilities）。生物次級數學能力是社會文化對內隱的初始數學能力的意識（Awareness），和對這種內隱能力的外顯形式化（Explicit formalization）。它通常表達為數學概念和計算方法等數學知識，需要傳授學習才能獲得，因而不是每個社會文化都發展出相同的數學思維。所以，生物次級數學能力與語言和文化有關^[3]。

較大數量的精確辨認和計算能力是否可以脫離語言而存在呢？Gordon對巴西亞馬遜河流域一個目前所知最原始的部落Piraha的觀察研究顯示^[26]，Piraha人只有有限幾個詞用來表示“一”、“二”和“許多”。在簡單的一一對應任務中，要求他們根據目標物體（如小棍子、核桃）的個數擺上相應個數的電池。在個數三以內，他們可以達到75%以上的準確率，大于三時準確率迅速下降，超過八九個物體時任務無法完成。在需要數量表征的比較任務中，向被試顯示一個罐子A，放進糖果，然后移開。拿出另兩個罐子，其中一個罐子糖果的數目與A相同，另一個數目比A多一或少一。要求被試選出與A有相同數目糖果的罐子。對于個數1與2，他們的選擇準確率達到75%以上；個數2與3則不到75%，個數3與4不到50%，說明Piraha人能準確分辯的數量范圍不超過三，與數量語言的缺乏密切相關。

前述Munduruku部落人雖然有數詞表示1至5，但這五個詞并不穩定對應個數1至5。他們并不常用這些詞來數數和表示精確量。要求數一個集合中的點，他們很少使用這些數詞，而是用手指和腳趾的個數去表示被數的點。用他們語言的“一”來表示數量1的使用率不到100%，“三”表示數量3不到80%，“五”表示5不到30%。對一個大于4的數量n，他們不能準確地分辯n與n+1。Pica認為，有限的五個詞還不足以使Munduruku部落人產生精確數量的心理表征^[11]。這兩個部落考察都說明，較大數量的精確辨認和計算能力不能脫離語言而存在。

Dehaene^[27]和Spelke等人^[28]發現母語與非母語對精確計算與近似估計的影響不同。他們讓母語為俄語且熟練掌握英語的雙語大學生做被試，以俄、英兩種語言分別進行精確計算或近似估計的訓練，然后以相同或不同于訓練的語言對同類問題進行測試。測試題包括兩位數加法、乘法、開方、非十進位制加法等，要求指出準確答案（精確計算）或指出較接近的答案（近似估計）。結果顯示，當進行精確計算，且測試使用的語言與訓練使用的語言一致時，其反應快于測試與訓練語言不一致的反應。而估計近似值時，測試的反應時與訓練語言無關。研究者由此推測，在學習期間獲得的算術事實（Arithmetic facts）是以學習所用的語言儲存的，當使用另一種語言進行精確計算時，需要語言轉換，因而反應時延長。做近似估計使用的是內在表象對總量的類比，可以是非詞語的，不需語言轉換，因此反應時與訓練語言無關。

2.2 算術事實記憶的使用與語言密切關聯

有許多熟悉的算術運算過程和結果是以語言形式表達的，比如乘法九九表，儲存在頭腦里，形成詞語的說明性記憶，即算術事實的詞語記憶。近年來的研究表明，由于要提取記憶中的算術事實，因此算術運算會不同程度地以語言形式進行操作。

數字對分任務（找出兩個數的中間數）曾被認為只涉及量的比較，由非詞語的數量表征系統進行。Nuerk的研究卻發現^[29]，詞語的算術事實如乘法表、奇偶數概念也影響數字對分任務的操作。所有實驗參加者（德國大學生）做可倍增的兩數的對分任務，比如指出6與18的中間數12（記為6_12_18），都比不可倍增的兩數的對分（如7_10_13）反應速度快。因此有理由認為，完成數字對分任務是由量的大小表征和詞語的表達雙向交互作用實現的，說明由語言形式儲存的算術事實參與到計算中去。

上一節介紹的Spelke等人對雙語大學生的研究^[28]還發現，進行精確計算，凡訓練過的題都比未訓練過的題反應時短，而做近似估計題，訓練題與未訓練題反應時無差異。研究認為這是因為精確計算經訓練后成為記憶，以語言形式儲存，可以直接提取，反應時因而縮短。近似題不論訓練過還是未訓練過都是進行量的估計比較，較少利用事實記憶，因而反應時無差異。

Lee和Kang報告了一項實驗，被試在進行算術運算的同時進行空間屬性判斷或者語言判斷。他們發現，空間屬性判斷只干擾減法運算而不影響乘法運算；語言判斷只干擾乘法運算而不影響減法運算^[30]。這種相分離的任務干擾現象說明，乘法事實的記憶提取過程更多與語言判斷過程相一致。

2.3 兒童算術能力發展過程中語言起顯著作用

Butterworth在算術能力發展的最新綜述報告中，概括了0至7歲兒童早期發展的若干個發展里程碑^[31]：兒童從2歲開始學習數詞序列；3歲能數小的數；3.5歲左右能用實物和數詞進行簡單的加減運算，并能用基數原則建立數集；5.5歲能理解加法交換律，還能由大到小數數；7歲能從記憶中提取已掌握的算術事實。從Butterworth的總結可見，兒童算術能力的發展在兩三歲就借助了語言來學習數字序列，形成最初的數概念，然后借助語言來記憶和提取四則運算事實、擴大數的概念。Butterworth還特別指出，他總結的兒童早期算術能力發展里程碑是建立在歐美國家研究的基礎上的，而各種不同語言的數詞結構可以加速或減慢算術概念的獲得。比如在中文語言環境下，兒童可以較早獲得一些算術概念^[31]。跨語言的數學認知發展研究確實是探討語言與數學能力關系的重要途徑，相當一批跨文化研究結果發現，數詞的結構及其語義、語音對兒童理解數的概念和進行計算有不可忽視的影響。

以中英文數詞的差異為例，對兩位阿拉伯數字的語言表達，中英文的數詞在結構上有不同。中文表示十位上的數同樣用數詞1至9，表示十位的發音放在前（書寫在左），表示個位的發音放在后（書寫在右），這與阿拉伯數字的進位制和位值制表示完全一致。英文的數詞殘留了12進位的構詞法，數詞11至19與十進位值制結構不匹配。eleven（11）和twelve（12）與前十個數詞在結構上相互獨立，與十（ten）和一（one），十和二（two）沒有構詞關系。從13到19，英文把表示個位的發音放在前（書寫在左），把表示十位的發音放在后（書寫在右）。如“thir-teen”先說出三后說出十，與阿拉伯數字先讀十位后讀個位的順序正好相反，因而其數詞在語義上缺乏對十進位值制的明確表達。中英文數詞結構這種差異對兒童數概念、數位和位值的理解和掌握能夠產生內隱性學習差異。

Miller在比較中美兒童數數能力時發現^[32]，掌握1至10的口頭數數和一一對應按物數數，中美學齡前兒童沒有差異。這是因為1至10的數詞無論中英文都是相互獨立的十個發音，都需要兒童一一記住。從兩位數開始，中國兒童對10至20的理解和掌握顯著好于和快于美國兒童。從美國兒童口頭數數常犯的錯誤是構詞錯誤這一現象，可以看出他們把11、12看作和一位數一樣相互獨立的數，不容易從英語的構詞上獲得對多位數的數位和位值的理解。如他們把28至32數作“28、29、20_10、20_11、20_12”（twenty-eight，twenty-nine，twenty-ten，twenty-eleven，twenty-twelve）。究其原因，英語11至19的數詞缺乏與阿拉伯數字匹配的十位_個位結構，不利于兒童對構數法的歸納和對數的理解。

Miura對美、法、瑞、日、韓的一年級兒童進行過語言與數概念關系的跨文化研究^[33]。瑞典語和英語同屬日耳曼語系，數詞構詞法基本相同。日、韓語的數詞從漢語引進，數詞的構詞法與中文完全相同^[34]。Miura的實驗用表示單位十的積木和表示單位一的積木表示數字“42”。能夠理解42是由四個單位十和兩個單位一組成的日、韓一年級兒童人數分別達到72.3%和96.7%，而美、瑞同齡兒童只有8.3%和11.3%，差異非常顯著。90.8%的美國被試和88.7%的瑞典被試把42理解為四十二個單位一。

Fuson研究韓國小學二三年級學生的算術水平^[35]，發現94%的二年級學生能正確進行兩位數和三位數加法中的進位，94%和78%能正確進行兩位數和三位數減法中的借位，雖然當時他們還未學三位數加減法；三年級學生正確解決三位數加、減法更分別達到98%和93%。韓國小學生加減法計算的正確率如此之高，得益于他們對數位的正確理解。所有二年級被試都能正確認出兩位數的第二位是十位，如“52”的“5”表示五個10；所有三年級被試都能正確認識第三位是百位。相比之下，在美國“教育進步全國測評”中，50%的美國三年級學生不能正確使用三位數減法中的借位，超過50%不能正確認識百位數上的“1”表示100。不少二、三年級美國學生在減法借位時把十位上的單位“1”錯當作1。

語言還有一個語音要素可以對數學加工過程產生重要影響。數詞的語音長短可以影響數字記憶廣度，從而可以影響兒童的算術運算能力。根據Baddeley的工作記憶模型，一個人的語音儲存大約自動維持2秒左右，詞的發音時間越短，被保持和回憶的詞越多^[36]。有研究測出^[37]，漢語發音平均每個數詞需時406ms，英語需時527ms，兩者發音時間差異顯著。中國成人數字記憶廣度平均為9.2，美國為7.2，兩者也有顯著差異。Geary和劉范的合作研究顯示^[38]：5~6歲中國兒童的記憶廣度是6.7，同齡美國兒童是4.1，中國兒童正確解答10以內加法的人數大約是同齡美國兒童的3倍。還有研究指出，兒童計算策略的使用和他們的數字記憶廣度有一定的關系，記憶廣度越短，越有可能利用數手指來幫助計算^[39]。

歐美兒童的數學成績在國際比較中長期落后于東亞兒童已是不爭的事實，許多研究將此歸結為學校教學時間和社會期望等因素，都忽略心理語言學因素。但是，上述發現指出的數學詞語表達對兒童數概念和算術學習的影響，由Fuson1997年進行的教學實驗研究結果得到進一步的肯定。在中文里，“五十”是五和十的復合詞，容易被理解和反應為五個10。但是在美國通常教學中，低年級兒童很容易把數詞“fifty-three”（“53”）與503等同，因為字面上fifty缺乏“五個十”的信息提示，容易被年幼兒童理解為整體50而不是分解為五個10。Fuson按東亞語言表達數位的方式在美國經濟落后區域的小學（通常教學質量較低）對一年級新生進行日常數學教學，包括使用“五個十和三個一（five tens and three ones）”的方式表達53（fifty-three）。一學年實驗結束時，88%參加實驗的學生能夠在前述Miura（1993）的積木實驗中使用正確方法回答，接近東亞兒童的平均水平，在其它項目上給出正確回答的人數也兩倍高出接受美國通常教學方法的同年級學生，并且與六年級的正確人數略同^[40]。這一結果不能用學校教學時間和社會期望等因素解釋，證實了數詞的語言表達確實影響兒童早期能否更快更好地掌握數概念。

2.4 數量能力具有文化和語言的獨特性

人類社群的數學語言和數學思維的發展是互為因果的。Geary認為不是每個文化都發展出相同的數學語言和相同的數學思維^[3]。中國商殷時代（公元前1400年）就獨立發展出十進制和位值制，用類似現今阿拉伯數字的記法來表示數，有記錄千、萬的數字。到春秋末期，創造了一種簡便的計算工具——算籌^[41]。最早發現的阿拉伯數字符號（不包括零，也沒有數位表示）出現在公元前250年印度的石刻上。最早使用現代阿拉伯數字記法出現在公元825年波斯大數學家Khowarizmi的著作里^[34]。然而世界一些與世隔絕的原始部落至今仍用身體的部位來表示數，停留在前語言的具體數量階段。雖然現代社會由于頻繁的交往使得數量的概念和知識能夠被全世界共享，但是，許多痕跡仍然可以說明數量能力具有文化和語言的獨特性。

習俗時間的語言表示和心理表征各國都不一樣。中文無論陰歷還是陽歷都以數字來排序，即使對外來的星期記法，也用數字排列（星期天除外）。這或許反應了中國文化對數字的敏銳和偏愛。英文與中文不同，用羅馬諸神和羅馬大帝的名字來命名十二個月，用星體的名字命名一周七日。這種文化和語言的不同帶來習俗時間表征的不同，中國人頭腦中的習俗時間表征是基數數列，而英美人是名稱排列。兩者計算習俗時間的方法就會不同。Kelly進行了一項實驗^[42]，要中美兒童和成人回答“星期一的三天之后是哪天？”，“七月之前的五個月是那個月？”這類問題。美國兒童和成人最通常采用的方法是列數周日或月份的名稱來求得答案，即使是美國大學生也有90%以上采用此法。中國被試最通常采用計算法，即使二年級學生也有81%用計算法解決月份問題，63%用計算法解決周日問題。中國被試解決此類問題的速度大大超過同齡美國被試，中國四年級學生解決月份問題的速度甚至已略快于美國成年人。

數量能力的語言文化獨特性說明了人類的數量能力是在文明的創造與發明中積累起來的，因此個體的生物次級數學能力與語言的運用和發展息息相關。

3 語言與數量認知密切關聯的腦神經證據

Dehaene等人在功能磁共振腦成像（fMRI）和事件相關電位（ERP）的實驗發現，簡單算術會激活兩個不同的腦神經網絡：近似量的判斷更多地激活負責空間表象的大腦雙側頂內溝（Intraparietal Sulcus）及其周邊腦區，精確量的判斷則更多激活負責言語的左側額下回（Left inferior frontal gyrus）等詞語加工區^[27]。這些發現為精確數量加工與語言使用的密切關聯提供了腦神經證據。

對于精確數量與近似數量加工的大腦基礎，Lemer等人考察了計算不能（Acalculia）病人BRI和LEC^[43]。LEC的非詞語數量能力因左內側頂葉萎縮而受損，但大腦的語言區相對完好。她不能快速認出兩個或三個分離物體的個數，也不能區別數量比例為1:2的兩個較大的點集（如36和72）。BRI的左側額葉和顳葉萎縮，左側海馬回萎縮，造成了失語和工作記憶受損，但頂葉完好。她與LEC相反，能較快認出兩三個分離物體的個數，也能區別大數量的點集，說明她具有基本正常的非詞語數量能力。但是，BRI和LEC都只能緩慢地數較大的數量（5至8）并且錯誤較多^[43]。這說明了精確數量能力會同時受語言和非詞語數量能力影響。

對于四則運算，Lemer等人發現，BRI的乘法和除法的錯誤率高達77.8%和94.4%，但是她的加法和減法的錯誤率卻相對低得多，只有9.3%和16.7%。LEC進行四則運算的錯誤率顯著低于失語癥病人BRI，乘法和除法的錯誤率為5.6%和33.3%，加法和減法約1%和18.5%。分析認為，乘法運算更多地依靠對記憶中的乘法表的提取，除法是乘法的逆運算，也依靠乘法表進行運算。這些算術事實的提取以言語進行。BRI的語言區受損，乘除法知識難以提取，運算便嚴重受阻。但加減法對記憶的提取相對較少，更多的是對數量進行操作性運算，它主要由大腦的頂內溝區域負責，因此BRI能夠相對順利地進行。LEC的非詞語數量能力受損，語言區相對完好，算術事實基本能保留和使用，所以乘除運算顯著優于失語的BRI。LEC的減法和除法表現差于自己的加法和乘法表現，這是由于逆運算需要對數量進行更多操作性運算，恰好與她頂葉受損有關。

Dehaene概括了有關的研究^[44]，認為頂葉有3個神經回路與數量加工有關：頂內溝水平節（Horizontal segment of the intraparietal sulcus，簡寫HIPS），左側角回（Left angular gyrus，AG）和后頂上小葉（Posterior superior parietal lobule，PSPL）。

首先，大腦雙側頂內溝是數量加工主要激活的區域。當任務涉及數量比較（如對分數字、比較數字大小），估計（如估計兩位數加減法的結果），數量歸類（如區別數量與方位），甚至在心算中提取一個數字的數量表征等等，這個區域是主要激活的大腦部位。Dehaene等人推測，數量的非語言表征可以類比成一個空間圖（Spatial map）或者心理數軸（Mental number line），呈現在雙側頂內溝，這是人類數量直覺的基礎^[44]。

其次，腦成像顯示，精確計算比近似計算更多激活左側角回。Dehaene^[27]和Spelke^[28]根據雙語大學生實驗的結果認為，進行兩到三位數計算和用不熟悉的進位制計算時要依賴語言。基數和分數的表征是語言特定的（language-specific）。時間和空間信息編碼以第一語言為優。多位數乘法任務比數字匹配任務，10以內加法比10以上加法，都更多激活左側角回。由于乘法表和10以內加法已成為熟練計算的人頭腦中的算術事實，由此推測，左側角回是算術事實以語言形式儲存的地方，是語言參與數量加工的區域。

再次，數字加工也會激活后頂上小葉。進行數字比較、求近似值、兩位數運算、數數等任務都會激活這個區域。這個區域并不是數字加工的特定區域，它在涉及視覺－空間的任務中起中心作用。上述計算任務都含有注意指向的成分，可以推測，在“心理數軸”上作空間移動與在大小數量之間作注意轉移是相對應的。

來自不同國家、具有不同教育背景、使用不同語言、取得不同數學成績的被試都會在數字加工時系統地激活頂葉的這三個部位。Dehaene認為這個顯著的解剖學事實在一定程度上與算術是文化的產物這一明顯的事實相一致。算術普遍地由數詞或數學符號表示，空間刺激的輸入也常常以文字信息的形式，計算常常不能脫離語言進行。在數量加工過程中，數量的比較、分類、數量表征的提取以及近似類比主要涉及頂內溝；精確數量加工主要涉及左側角回；注意的指向、控制、空間轉移主要涉及后頂上小葉；它們連成一個數字加工的網絡^[44]。

4 語言在數量認知模型中的角色

數量認知模型力圖把實驗和觀察中得到的局部認識加以匯總，形成對數量認知機理的整體認識并使之具有預測能力。其中，數字加工模型的對象是已經符號化的數字系統，常與阿拉伯數字的編碼有關。數量化模型反映我們對客體的數量特征所作的感知、辨認和數量的符號化過程。語言在這些數量認知模型中擔當什么角色？

4.1 數字加工模型

數字加工反映我們運用符號化的數概念進行量的運算。數字符號化系統就是一種語言。問題是如何將非詞語的數量能力與語言使用聯系起來，將各個方面協調為一個整體的模型。近年來出現的較受關注的數字加工模型有以下3個。

McCloskey等人于1992年從認知心理學的視角提出了“抽象編碼模型”（Abstract-code model）。它由3個數量認知系統構成：數字編碼輸入的理解系統，計算過程系統和反應發生系統。模型的中心關鍵是通過一個單一形式的語義編碼來加工數量，實現3個系統的聯系。數量理解系統把數量的不同表面形式轉換成一個共同的抽象代碼，輸入到計算過程；計算系統包括基本數字事實和規則的記憶，數字事實假定以抽象形式儲存；反應發生系統再把抽象數量編碼還原成具體的阿拉伯數字或口語和書面的詞語形式^[45]。

Dehaene和Cohen于1995年以神經心理學的研究為基礎，提出了“三聯編碼模型”（Triple-code model）^[44]。他們強調數量的表征而不是表面功能，提出數字加工有3個不同的表征系統：一個是類比量表征（Analog magnitude representation），支持非詞語的數量分析，提供近似、大小和距離等類比判斷；一個是視覺－阿拉伯數字表示（Visual-Arabic number form），支持阿拉伯數字的視覺輸入和輸出；還有一個是聽覺－詞語編碼系統（Auditory-verbal code system），支持對聽、說信息的輸入和輸出，以詞語形式提供簡單加法和乘法事實。這3種形式的編碼可以互相轉換，但各自都能將表面形式（Surface form）轉換為數量表征，因此運算和判斷不依賴表面形式。模型假定算術事實是通過語言來表征和儲存的，詞語在精確計算中起關鍵作用，而量的近似表征在簡單計算中起關鍵作用^[44]。

最近，Campbell從行為實驗的大量觀察出發，吸取三聯編碼模型的一些要素，提出“復合編碼模型”（Encoding-complex model）^[45]。她認為實際的數字加工過程會激起一個聯系豐富的網絡，各種編碼相互作用，包括相互干擾（比如9×6＝36）。該模型根據算術和詞語表示之間的密切關系，采納以語言形式存儲算術事實的觀點。該模型包含視覺編碼－數量編碼－詞語編碼轉換，其中心是數量編碼（Magnitude code）^[45]。復合編碼模型比三聯編碼模型更強調各種算術知識和技能的相互影響，強調詞語的記憶編碼和語言對算術事實的提取作用。

4.2 數量化模型

對于非詞語數量能力，例如在嬰幼兒、在缺乏數詞的社會群體里，精確數量表征與近似類比表征似乎是在小數量（3、4以內）與大數量（4以上）之間被區分開來的^[4]。對于一般受過教育的成人，這兩個數量表征的關系還是這樣嗎？關于數量化（Quantification，也稱為Enumeration）的研究一直在探討這個問題。

人類如何對具體物體作數量化反應，即如何辨認分離客體的個數，在實驗方法進入心理學初期就有人研究了（見Mandler等人的回顧^[46]）。早期的數量化研究與識別廣度（Span of Apprehension）的研究結合在一起。Kaufman等人在1949年的實驗中給被試呈現含有1至210個點的圖，要求迅速準確地說出點的個數。根據反應時和準確率的特征，他們首次把數量化區分為兩類不同的機制：在1至6的范圍里，人們可以不經過數數（Counting）而迅速準確地辨認出分離客體的個數，并把這個過程命名為Subitizing，意為“頓然識別”（頓識）。在大于6的范圍里，人們也可以不經過數數而迅速地近似估計（Estimating）客體的個數。對于數數，其操作性定義是“從1開始，為每個客體配給數字序列中的一個數”^[47]。頓識和估計不同于數數，它們只提供一個數字作為數量化的快速反應結果，而數數是一個較慢的序列過程，它對每個客體作出一次反應，最后累計得到總數，結果精確。只要時間允許和目標穩定，數數就可以進行。可以說，Kaufman等人給出了第一個數量化模型。如果我們把頓識和估計概括為“感數”（相對于數數），本文稱Kaufman等人的模型為（感數－數數）雙機制數量化模型。

自從Kaufman等人的研究，頓識、估計和數數就成為數量化研究的明確對象，其中一個焦點就是三者的關系。目前較多研究趨向于認為，在刺激呈現短暫或者要求快速判斷的實驗條件下，數量化在以下三個數量段上各呈現一種機制：頓識在數量1至3、4內進行，高度準確；數數在數量5至8、9內進行，精確度隨數量增多而下降；估計在數量9以上進行，誤差服從韋伯律。本文稱此為三機制數量化模型。也有少數研究持不同觀點，認為數量化從小數量到大數量用的是同一個機制，例如，頓識只是快速數數。本文稱此為單機制數量化模型。頓識、估計和數數的詳盡關系，可參見Trick^[22]，Mandler^[46]和Pirzza^[48]等人的回顧。

數量化模型中與語言關系最密切的部分是數數。數數的基礎是什么？Dehaene等人考察了頂葉受損導致不能在數數中進行序列加工的病人^[49]。這些病人能夠迅速準確說出圖中2、3個點的個數，但是，當圖中的點多于2、3個時，他們的錯誤率超過90%，例如會重復數那些已經數過的點。這說明頓識是并行加工，數數是序列加工的。Sathian等人的腦成像研究支持這一看法，并進一步發現，頓識在視覺的前注意（Pre-attentive）階段發生，數數則與視覺注意的轉移相關聯^[50]。前面提及的因失語癥導致計算不能的病人BRI，因頂葉保留完好，能作頓識，也能估計，說明她具有基本正常的非詞語數量能力。但是，她只能緩慢地數較大的數量（5至8）并且錯誤較多^[43]，說明是她的失語影響了數數。而病人LEC的非詞語數量能力因頂葉萎縮而受損，語言區相對完好，她也不能正常數數。這說明數數不能缺少非詞語數量能力和語言能力兩者中的任何一個。Pirzza等人的腦成像研究證實了這點：非詞語數量表征關聯的腦區和語言加工關聯的腦區在數數時是協同激活的^[51]。他們的研究還發現，頓識與數數可以有共同激活的枕葉－頂葉網絡，包括左側頂內溝。數數比起頓識在枕葉－頂葉網絡有更廣的激活并會隨著客體數量增加而擴展，但是頓識并沒有比數數激活更多的腦區。由于頂內溝是非詞語數量加工的關聯區，枕葉－頂葉網絡則跟視覺模式辨認關聯，頓識和數數共同激活這個網絡說明了快速數數中采用了分組策略，對各組作頓識并累計總數^[48]。

概括上述：感數（頓識和估計）是在前注意并行加工的基礎上進行的非詞語數量認知；數數則要在注意下進行，離不開語言（數字或任何其它符號化系統）。數數是語言化的數量表征的序列加工。

5 爭論和待研究的問題

即使有新的發現和認識，對于人類數量認知是否與語言相互獨立，仍有未解的爭論。數量認知與語言相互獨立的主要堅持者是Gelman、Gallistal等人^[52~54]。

數量的知覺若沒有符號化系統（乃至語言）表示，是否就只能停留在近似估計或者有限幾個量的辨認上？如果這的確反映了目前為止的主要研究結果，是否就能說數量認知發展依賴語言，甚至，數概念形成是由語言決定的？Gelman對這些都持否定觀點^[52]，她對新發現的事實有不同的解讀，并指出一些她掌握的但沒有被廣泛注意的研究結果。她的主要觀點是：數學能力獨立于語言。她不同意以Carey為代表的“自然數概念源于數詞”的觀點，該觀點認為，3以內的自然數是在“客體檔案”（見1.2）與數詞“一”、“二”、“三”對應的意義上獲得，但對4以上的自然數，則靠順序讀數詞獲得。Gelman指出，兒童在學會較大的自然數之前已能理解一一對應，能理解當一個集合的量被改變（增加或減少客體）后會產生的結果，并理解有另一個數對應這種改變。Gelman還指出，缺乏數詞的一些非洲部落人一旦需要并接觸數字（如數錢），其獲得自然數概念的速度比兒童學數要快得多，認為他們在接觸數詞之前應當已經在一定程度上理解數量的關系。Gelman也舉出例子，說明大腦損傷的失語癥病人其數學能力未必受嚴重影響^[52]。

可以看到，一個隱含的爭論點是：生物的初始數學能力除了包含兩個已知的數量系統——近似表征系統和精確表征系統，是否還存在其它不依賴語言的理解數量的系統？這些未知系統如何幫助獲得大于3的精確自然數概念？在前語言條件下，還有哪些認知機制支持數量的理解？這些的確有待進一步研究。

此外，前面介紹過，6個月的嬰兒能精確辯認2和3，也能近似區分4和8的不同，但是就不能區分2和4的不同。目前還沒有研究報告說明這個現象。我們提供一個可能的解釋：對嬰兒來說，2和4跨越了精確和近似兩個系統，他們還無法同時采用和協調兩種加工方式，他們的工作記憶、注意協調能力都可能沒有達到應有的成熟。是否如此，仍待研究。

最后應當說明：本文涉及的數量認知只是數學認知的一個部分。國際上許多文獻雖然使用數字、數量、甚至數學等一般說法，但他們目前更多還是反映對自然數、小學算術等最初等的數量認知。數學思維有更廣闊的領域，如幾何、函數、概率，也反映更抽象的概念和運算，如代數、集合、數理邏輯。那些方面的研究相對較少，原因是初等領域還有許多不清楚和值得研究的問題，如本文概括的語言與數量認知的關系。復雜的問題就自然被留到今后了。

參考文獻

[1] Hauser M D， Carey S. Hauser L. Spontaneous number representation in semi-free-ranging rhesus monkeys. The Royal society， Proc. R. Soc. Lond. B， 2000， 267: 829~833

[2] Piazza M， Dehaene S. From number neurons to mental arithmetic: The cognitive neural science of number sense， In: Gazzaniga M S， Ledoux J E， Bizzi E， et al. The Cognitive Neruoscience. 3rd Ed. MA Cambridge: MIT Press， 2004. 865~875

[3] Geary D C. Biology， culture， and cross-national differences in mathematical ability. In: Robert J. Sternberg， Talia Ben-Zeev ed. The nature of mathematical thinking. Mahwah， NJ: Lawrence Erlbaum Associates， Inc， 1996. 145~171

[4] Feigenson L， Dehaene S， Spelke E. Core systems of number. Trends in Cognitive Science， 2004， 8(7): 307~314

[5] Dehaene S， Dehaene-Lambertz G， Cohen L. Abstract representations of numbers in animal and human brain. Trends in Neuroscience， 1998， 21(8): 355~361

[6] Nieder A， Miller E. Coding of cognitive magnitude: Compressed scaling of numerical information in the primate prefrontal cortex. Neuron， 2003， 37(9): 149~157

[7] Xu F. Numerosity discrimination in infants: Evidence for two systems of representations. Cognition， 2003， 89: B15~B25

[8] Xu F， Spelke E S. Large number discrimination in 6-month-old infants. Cognition， 2000， 74: B1~B11

[9] Xu F， Spelke E S， Goddard S. Number sense in human infants. Developmental Science， 2005， 8(1): 88~101

[10] Barth H， Kanwisher N， Spelke E. The construction of large number representations in adults. Cognition， 2003， 86: 201~221

[11] Pica P， Lemer C， Izard V， Dehaene S. Exact and approximate arithmetic in an Amazonian indigene group. Science， 2004， 306(15): 499~503

[12] Lipton J S， Spelke E S. Origins of number sense: large-number discrimination in human infants. Psychological Science， 2003， 14(5): 396~401

[13] Wood J N， Spelke E S. Infants’ enumeration of actions: Numerical discrimination and its signature limits. Developmental Science， 2005， 8(2): 173~181

[14] Feigenson L， Carey S， Hauser M. The representations underlying infants’ choice of more: Object files versus analog magnitudes. Psychological Science， 2002， 13(2): 150~156

[15] Neider A， Freedman D J， Miller E K. Representation of the quantity of visual items in the primate prefrontal cortex. Science， 2002， 297(6): 1708~1711

[16] Sawamura H， Shima K， Tanji J. Numerical representation for action in the parietal cortex of the monkey. Nature， 2002， 415(21): 918~922

[17] Antell S E， Keating D P. Perception of numerical invariance in neonates. Child Development， 1983， 54: 695~701

[18] Wynn K. Addition and subtraction by human infants. Nature， 1992， 358(27): 749~750

[19] Feiganson L， Carey S. Tracking individuals via object-files: Evidence from infants’ manual search. Developmental Science， 2003， 6(5): 568~584

[20] Starkey P， Spelke E S， Gelman R. Numerical abstraction by human infants. Cognition， 1990， 36: 97~128

[21] Wynn K. Infants’ Individuation and enumeration of actions. Psychological Science， 1996， 7(3): 164~169

[22] Trick L M， Pylyshyn Z W. Why are small and large numbers enumerated differently? A limited-capacity preattentive stage in vision. Psychological Review， 1994， 101(1): 80~102

[23] Cowan N. The magical number 4 in short-term memory: A reconsideration of mental storage capacity. Behavioral and Brain Sciences， 2000， 24: 87~185

[24] Vogel E K， Woodman G F， Luck S J. Storage of features， conjunctions， and objects in visual working memory. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance， 2001， 27(1): 92~114

[25] Cole M， Gay J， Glick J. A cross-cultural investigation of information processing. International Journal of Psychology， 1968， 3(2): 93~102

[26] Gordon P. Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia. Science， 2004， 306(15): 496~499

[27] Dehaene S， Spelke E， Pinel P， Stanescu R， Tsivkin S. Sources of mathematical thinking: Behavioral and brain-imaging evidence. Science， 1999， 284(7): 970~974

[28] Spelke E S， Tsivkin S. Language and number: A bilingual training study. Cognition， 2001， 78: 45~88

[29] Nuerk H-C， Geppert B E， Herten M， Willmes K. On the impact of different number representations in the number bisection task. Cortex， 2002， 38: 691~715

[30] Lee K M， Kang S Y. Arithmetic operation and working memory: Differential suppression in dual tasks. Cognition， 2002， 83(3): B63~B68

[31] Butterworth B. The development of arithmetical abilities. Journal of Child Psychology， 2005， 46(1): 3~18

[32] Miller K F， Smith C M， Zhu J， Zhang H. Preschool origins of cross-national differences in mathematical competence: The role of number-naming systems. Psychological Science， 1995， 6(1): 56~60

[33] Miura I T， Okamoto Y， Kim C C， Steere M， Fayol M. First graders’ cognitive representation of number and understanding of place value: Cross-national comparisons-France， Japan， Korea， Sweden， and the United States. Journal of Educational Psychology， 1993， 85(1): 24~30

[34] Gullberg J. Mathematics: From the birth of numbers. New York: W. W. Norton Company， Inc， 1997. 31~68

[35] Fuson K C， Kwon Y. Korean children’s understandings of multidigit addition and subtraction. Child Development， 1992， 63: 491~506

[36] Baddeley A D. Working memory: Looking back and looking forward. Nature Reviews Neuroscience， 2003， 4(10): 829~839

[37] Stigler J W， Lee S-Y， Stevenson H W. Digit memory in Chinese and English: Evidences for a temporally limited store. Cognition， 1986， 23: 1~20

[38] Geary D C， Bow-Thomas C C， Liu F， Siegler R S. Even before formal instruction， Chinese children outperform American children in mental addition. Cognitive Development， 1993， 8: 517~529

[39] Geary D C， Hoard M K， Byrd-Craven J， DeSoto M C. Strategy choices in simple and complex addition: contributions of working memory and counting knowledge for children with mathematical disability. Journal of Experimental Child Psychology， 2004， 88: 121~151

[40] Fuson K C， Smith S T， Lo Cicero A M. Supporting Latino first graders' ten-structured thinking in urban classrooms. Journal for Research in Mathematics Education， 1997， 28(6): 738~767

[41] 蔣述亮. 中國在數學上的貢獻. 太原: 山西人民出版社， 1984. 1~54

[42] Kelly M K， Miller K F， Fang G， Feng G. When days are numbered: calendar structure and the development of calendar processing in English and Chinese. Journal of Experimental Child Psychology， 1999， 73: 289~314

[43] Lemer C， Dehaene S， Spelke E， Cohen L. Approximate quantities and exact number words: Dissociable systems. Neuropsychologia， 2003， 41: 1942~1958

[44] Dehaene S， Piazza M， Pinel P， Cohen L. Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology， 2003， 20: 487~506

[45] Campbell J I D， Epp L. An encoding-complex approach to numerical cognition in Chinese-English bilinguals. Canadian Journal of Experimental Psychology， 2004， 58(4): 229~244

[46] Mandler， G.， Shebo， B. J. Subitizing: An analysis of its component processes. Journal of Experimental Psychology: General， 1982， 111(1): 1~22

[47] Kaufman E L， Lord M W， Reese T， Volkmann J. The discrimination of visual number. American Journal of Psychology， 1949， 62: 498~525

[48] Pirzza M， Mechelli A， Butterworth B， Price C J. Are Subitizing and Counting Implemented as Separate or Functionally Overlapping Processes? NeuroImage， 2002， 15: 435~446

[49] Dehaene S， Cohen L. Dissociable mechanisms of subitizing and counting: Neuropsychological evidence from simultagnosic patients. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance， 1994， 29(5): 958~975

[50] Sathian K， Simon T J， Peterson S， Patel G A， Hoffman J M， Grafton S T. Neural evidence linking visual object enumeration and attention. Journal of Cognitive Neuroscience， 1999， 11(1): 36~51

[51] Piazza M， Giacomini E， Le Bihan D， Dehaene S. Single-trial classification of parallel preattentive and serial attentive processes using functional magnetic resonance imaging. The Royal Society， Proc. R. Soc. Lond. B， 2003， 270: 1237~1245

[52] Gelman R， Butterworth B. Number and language: how are they related? Trends in Cognitive Sciences， 2005， 9(1): 6~10

[53] Gallistal C R， Gelman R. Mathematical cognition， In: Holyoak K， Morrison R. The Cambridge handbook of thinking and reasoning. British: Cambridge University Press， 2005. 559~588

[54] Gallistal C R， Gelman R. Non-verbal numerical cognition: from reals to integers. Trends in Cognitive Sciences， 2000， 4(2): 59~65

New Understanding on the Relationship between Language and Numerical Cognition

Liu Dongtai 1Li Xiaojian2

( 1 Counseling Research Center， South China Normal University， Guangzhou， 510631， China)

( 2 Research Center of Psychological Application， South China Normal University， Guangzhou， 510631， China)

Abstract: Studies of numerical cognition have made significant advance in recent years. This review comments on the two numerical representation systems of different underlying language dependency. The review includes the newly proposed dual core-systems of non-verbal numerical representations， evidence of language dependence of the exact numerical operations and the storage of arithmetic facts， the study series of language influence on the development of numerical ability in early childhood， the new evidence from brain science on the relationship between language and numerical cognition. Proposed issues for further studies include the cognitive mechanism of non-verbal numerical representations， as well as the existence of other numerical representations of language independence.

Key words: Language， Numerical cognition， Numerical representation， Brain mechanism， Children.