設值法與判別式法聯袂巧證兩類不等式

方志平

在證明一些不等式的問題時，我們根據不等式的結構特征，通過設值，可轉化或構造成一元二次方程，再利用判別式△>0，往往能出奇制勝，屢建奇功！而且解法新穎，賦有創意，獨辟蹊徑，本文列舉幾例闡述設值法與判別式法聯袂在不等式證明中的奇思與妙用，旨在拋磚引玉，以饗讀者.

1 巧證代數不等式

評注本題關鍵是將條件變為（x- a）（y -b）= ab形式后，將x-a與v-b視為一元二次方程的兩根，其積為ab，于是我們再試圖尋找兩根和，構造出一個一元二次方程，由判別式△>0，問題則迎刃而解，評注本題也可利用基本不等式或三角換元等多種方法證明，但借用設值（a+2）2+（b+2）2=y，條件代換構造出一元二次方程，再巧用判別式法證明，思維獨特，賦有創意，別有風味，評注由本題證明的結論tanAtanBtanC≥8，不難聯想到在非直角三角形中一個常用恒等式：tanA+tanB+tanC=tan AtanB tanC，條件sinA= 2sinB.sinC中的三角式，盡可能化為正切形式，通過設值t=tanA tanBtanC，巧妙構造出一個一元二次方程，給本題的解決帶來了轉機，此題的解法充分彰顯了設值法與判別式法聯袂的神奇魅力！

綜上，設值法與判別式法聯袂巧證代數不等式、三角不等式問題，關鍵在于根據不等式的結構特征，通過設值，構造出一元二次方程，再巧用根的判別式進行求證，