合理設線 優化計算

鄭國贊

直線與圓錐曲線的綜合問題在各類考試中多以高難題、壓軸題形式出現，主要考查位置關系、弦長、定值與定點、最值與范圍等問題，對數學運算、邏輯推理的數學核心素養及分析與解決問題的能力要求較高，縱觀近幾年的浙江高考數學卷中的此類問題，均涉及到了直線與拋物線的問題，可謂文風不變，一脈相承，本文將從2020年高考浙江卷第21題入手，談談此類問題的解決方法及其拓展.

1 問題呈現

（2020年高考浙江卷.21）如圖1，己知橢圓C1：X +y2 =1，拋物線C2：y2=2px（p>0），點A是橢圓C1與拋物線C的交點，過點A的直線交橢圓C于點B，交拋物線于M（M，B不同于A）.

（1）略.

（2）若存在不過原點的直線，使M為線段AB的中點，求p的最大值，

分析本題涉及到直線與橢圓、直線與拋物線的關系，顯然要引入直線，方程，考慮到拋物線的方程形式，直線，選擇x=my+n的方程形式，解題思路即根據己知條件列出參變量m，n，p的關系，消元后再構造目標函數，最終求出參數p的最值.

2 探究分析

實際上，對于拋物線y2= 2px（p>0）與直線的問題，直線方程通常設為y= kx +b，或者x=my+n，這兩種形式均引入了兩個參變量k，b或m，n，相對而言，第二種設法優于第一種設法，它避免了代入時平方的運算.除了上述兩種形式的直線設法之外，其實還有如下的方程形式，

評注這種直線方程的形式也是引入了兩個參變量y1，y2，且這兩個參變量有著顯著的幾何特征即兩個交點的縱坐標，我們也可以把y1+y2與y1，y2視為兩個整體，亦相當于引入兩個參變量，

由上述性質1，2020年高考浙江卷第21題還可作如下分析解答：

評注解法3充分利用幾何性質，無需設直線方程代入圓錐曲線，解法顯得簡潔明了，

除了上述的幾種解法之外，本題還可利用直線與橢圓相交時的一個性質進行分析，即KOM KAB=e2一l（e為橢圓的離心率），具體解法與解法3中的KOM KAM=一1相同，本文不展開敘述.

由上述可知，直線與拋物線的問題思維要求高，計算量大，當問題中含一個或多個參數時，對數學運算的素養就要求更高，教師在此類問題的教學過程中應對每一個數學運算的算理（為什么能這樣算，計算的依據）、算法（如何算，計算的步驟或程序）、算力（計算的功力，最終算出正確的結果）[2]進行分析，要引導學生認識運算的目的性，設計合理的計算程序，訓練代數式及多參數計算與轉化的能力，培養學生選擇簡捷運算途徑的意識和習慣，只有這樣才能提高教學的有效性與針對性，

參考文獻

[1]姚良玲.一個優美結論的再推廣[J].中學數學教學參考，2018（7）：54-55

[2]陸建根.數學運算，算法從哪里來[J].中學數學教學參考，2018（7）：23