滲透美育,以美感人,引領教學

江蘇省清浦中學 戴建峰

從近年高考數學試題可以看出,命題切實落實“五育并舉”的教育方針,引領數學教學與改革,一些涉及并充分體現德智體美勞等“五育”的考題均有出現,已經成為近年數學高考中的一道亮麗“風景線”.良好的審美素養影響著每個人對社會、他人及事物積極的人生態度,同時,良好的審美素養對人的全面發展及創造能力的培養等也十分重要.高考數學試題將對數學中的美育進行合理設置,喚起學生對宇宙、世界、自然的熱愛,激發學生的創新靈感與學習數學的熱情,引領并促進良好的審美素養的養成.

1 數學的簡潔美

數學中的很多定義、定理、公式等都給人以簡潔之美,精煉、清晰、和諧、統一,而在數學解題中,合理尋找、探索、欣賞、應用以及品味簡潔優美的解法也給人以一種美的感受.

例1〔2023年教育部新課標四省(云南、吉林、黑龍江、安徽)高考適應性考試數學試卷(2月)〕已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( ).

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

分析：直接利用題目條件,選取參數b的特殊值,結合代數式的關系與運算來確定對應的值,進而通過特殊值的比較與分析來加以合理判斷,思路簡潔,解題快捷.

解析：依題意,令b=2,則有a=log5(2b+3b)=log513,c=log3(5b-2b)=log321.

此時有ac-b>0,亦即|a-c|>|b-c|,可以排除選項C,D.

故選擇答案:B.

點評：解決此類問題常用的方法就是嚴謹的推理與分析,而巧妙借助特殊值進行分析與判斷,破解起來更為簡潔快捷,判斷起來效果更佳,方便易操作.特別在特殊值的選取上,有時還需要多次取特殊值來分析,突顯特殊問題的簡潔美,但無法完整解答所有滿足條件的常數的取值情況.

2 數學的對稱美

數學中的一些定義、公式、圖形、關系式等都蘊含著極為豐富的對稱美,如點(或中心)對稱、直線(或軸)對稱、對仗、對偶等,而在數學解題中,合理借助對稱、對偶等極具對稱美的數學知識,常常能發現一些具有事半功倍效果的優美解法.

分析：根據題意,結合條件中對應的恒成立的不等式的結構特征,合理數學抽象,進行必要的類比與聯想,化陌生為熟悉,轉化為對應向量數量積的坐標關系式,利用雙曲線的對稱性質,構建圖形,利用圖形的直觀性,通過平面向量的數量積以及雙曲線的漸近線等相關知識來分析與處理.

解析：如圖1,根據雙曲線的對稱性質,設點P2(x2,y2)關于x軸的對稱點為P3(x2,-y2),則知點P3仍在雙曲線的右支上.

圖1

所以實數a的取值范圍為[1,+∞).

故填答案:[1,+∞).

點評：利用平面解析幾何的相關知識與其他相關知識的交匯與融合,加以巧妙聯想與合理類比等,通過題設條件及其對應的結構特征、幾何意義等,綜合數學中一些基本的概念或定義、基礎知識、定理與公式等,利用對稱點或對稱思維,探尋對稱的幾何特征,展示數學的對稱美.抓住關鍵,巧妙對稱,合理轉化,數形結合.

3 數學的奇異美

數學中的一些知識、結論或方法極具奇異性,出乎意料之外,又在情理之中,而在數學解題中,借助“之外”與“之中”之間的矛盾與統一,合理轉化,跌宕起伏,情趣盎然,平凡之中,凸呈奇異.

分析：根據題目條件,利用極端思維,以特殊代替一般,結合動點P在橢圓C上(第一象限)運動時所帶動的點Q,A,B等相關點的變化,取極端特殊情況——點A與B重合,利用特殊情況加以合理推理與分析,有效展示數學的奇異美,達到快捷分析與求解問題的目的.

解析：根據極端思維,取特殊情況,點A與B重合,此時B(a,0).

故選擇答案:D.

點評：借助極端思維中的極端位置法處理,以特殊位置代替一般位置,合理交匯“動”與“靜”的聯系與變換,化一般情況為特殊情況,從而借助數學中的奇異思維來解決一般性問題,奇異完美,合理巧妙,簡單快捷.

4 數學的古典美

數學具有悠久的歷史,而數學文化類試題又是近年高考的熱點之一,經常結合數學文化或現實生活中的問題背景進行創新情境設置.在數學解題中,充分利用數學知識、思想或方法來詮釋其古典美,挖掘內涵,體會美感.

例4(2023屆江蘇省蘇北七市一模數學試卷)2022年神舟接力騰飛,中國空間站全面建成,我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對接,需要經過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓,其遠地點(長軸端點中離地面最遠的點)距地面S1,近地點(長軸端點中離地面最近的點)距地面S2,地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長為( ).

分析：根據題設條件,結合數學文化與空間知識的創新設置,通過對遠地點與近地點對應概念的理解,結合橢圓中相關參數之間的關系,合理轉化與應用,進而得以確定橢圓的短軸長問題,在此過程中借助數學建模充分展示數學的古典美.

解析：依題可知a+c=S1+R,a-c=S2+R.

故選擇答案:D.

點評：此類以圓錐曲線中的橢圓等為基本場景創設的數學文化問題,巧妙融入神舟飛船的應用場景,借助數學知識與美育教育加以交匯融合,科學數學建模,利用橢圓中相關要素之間的關系,合理構建關系式是解決問題的重要之處,倡導數學應用與數學美感.

“世界不缺乏美,而是缺乏對美的發現”,數學也一樣不缺乏美,數學美數不勝數.

高考作為我國教育體系的一個重要環節,必須切實服務于我國教育堅持“一核引領”(立德樹人),倡導“五育并舉”(德智體美勞)的根本目標.借助美育滲透,以美感人,命制與核心考點相關聯的數學題目,體現數學的應用性和創新性,強調理性思維,突出數學應用,引領數學教學與數學學習,意在全面考查學生數學能力,培養學生數學核心素養.