第一屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題

(1983年)

《科學(xué)畫報》編者按:第一屆美國數(shù)學(xué)邀請賽于今年3月22日，在上海市科學(xué)會堂舉行。本市八所中學(xué)的76名學(xué)生參加了這次邀請賽。

第一屆美國數(shù)學(xué)邀請賽的試題由美國數(shù)學(xué)協(xié)會命題，共15道題，要求應(yīng)試者在2.5小時內(nèi)答完。試題的形式新穎，內(nèi)容廣泛，并有一定難度。現(xiàn)征得上海市數(shù)學(xué)學(xué)會的同意，將試題全文發(fā)表。

本刊編者按:試題的答案刊登在本期。解題思路與技巧的輔導(dǎo)本刊將分別在第10期、11期陸續(xù)發(fā)表，請讀者注意。

1.設(shè)x，y和z都大于1，ω是正數(shù)，且有l(wèi)ogxω=24，logyω=40，logxyzω=12，求logzωw。

2.設(shè)f(x)=|x-p|十x一15

+|x-p-15|，其中0

3.方程x2+18x+30=

少?

4.一金工車間的切割工具呈有缺口的圓形，如圖①所示，圓的半徑

2cm，

5.設(shè)兩復(fù)數(shù)x和y的平方和為7，它們的立方和為10，x+y能取到的最大實值是多少?

6.設(shè)an=6n+8n，決定a83除以49的余數(shù)。

7.某個國王的二十五位騎士圍坐在他們的圓桌旁，他們中間的三位被選派去殺一條惡龍(設(shè)三次挑選都是等可能的)，令P是被挑到的三位騎士中至少有兩位是鄰座的概率。若把P寫成一個既約分?jǐn)?shù)，其分子與分母之和是多少?

的二位數(shù)質(zhì)因子的最大值是多少?

9.對0

10.數(shù)1447，1005和1231有某些共同點，即每一個都是以1開頭的四位數(shù)，且每個數(shù)恰好有兩個數(shù)字相等。這樣的數(shù)共有多少個?

11.一個以邊長S的正方形為底的物體，如圖②所示。其最上方的一條邊平行于底面，且長度為2S，

此物體的體積是多少?

12.一圓(圖③)的直徑AB是一個二位整數(shù)(十進(jìn)制)，把它的十進(jìn)制表示的兩個數(shù)字交換次序恰巧是垂直弦CD的長度。交點H到圓心O的距離為一正有理數(shù)。試決定AB的長度。

13.對{1，2，……，n}及其每一非空子集，定義一個唯一確定的“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大的數(shù)開始交替地減或加后繼的數(shù)。(例如，{1，2，4，6，9}的“交替和”是9-6+4-2+1=6，{5}的“交替和”就是5)。對n=7，求所有這種“交替和”的總和。

14.在附圖④中有半徑分別為6和8的圓，其圓心距為12。過二圓的一個交點P引一直線，使弦QP和PR長度相等。求QP的長度的平方。

15.如附圖⑤所示，一個圓內(nèi)有兩條相交的弦，其中B點落在小弧AD上(注:小弧指所對的圓心角小于180℃的那段弧，下同)。設(shè)圓的半徑為5，BC=6，且弦AD被BC等分。又設(shè)AD是從A點引出的被BC等分的唯一弦。這樣，小弧AB所對的圓心角的正弦必是一個有理數(shù)。若此數(shù)表示成既約分?jǐn)?shù)m/n，積mn是多少?

注:每題答數(shù)均為小于999的正整數(shù)。