立足解決問題的策略，發展數學學科關鍵能力

梁永年

縱觀近幾年的高考及各大市調研試題，我們發現證明不等式成立是常考題型之一，甚至出現在壓軸題上，不僅綜合性強，而且有些題型，思維量還很大，想通過不等式知識直接證明難度較大，但是我們可以換一種思考角度，根據不等式的結構特點，構建相對應的函數，充分利用函數的單調性和最值等性質去分析、推理、證明，會起到意想不到的效果，但構建的函數有多種多樣，是不是構造的新函數都能應用在解題上呢？顯然不是的，那么構建什么樣的函數才是正確的呢？本文擬通過舉例來談談如何去構造新函數，立足解決問題的策略的實踐，發

展數學學科鍵能力。

例1.（2014年高考江蘇卷數學試題）已知函數，其中是自然對數的底數.

（1）略;（2）略;

（3）已知正數滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結論。

思路分析：學生直接面對的是一個不等關系，就會思考如何運用不等式知識去解決，進而解決不了，但如果用函數觀點來分析，本題實質就是，當時，證明：。下面也就思考如何構建相應的函數來證明，直接構造函數如能求出單調性，就能解決問題，但求導后發現研究難度大，超出我們知識范圍，那么只有換一種思路，嘗試將結構進行變形調整和轉化，重新構建新函數，指數式可用于轉化的手段并不多，將指數式可轉化為對數式是一種常見思路，如將上式可變形為

當時? 證明：成立即可，

不妨構建新函數來試一試

求導后得

很容易發現上是單調增函數。

所以有結論原題得證，

本題看似復雜、沒有思路，變形后能迅速解決問題。

例2.若，證明

思路分析：由已有經驗要證，即可構造，不加變形直接構建函數，求導后得出無法化成最簡形式，不能進一步研究其性質，這樣的構造沒有效果。分式的變形處理較為靈活，但移項通分要注意不等號的方向，我們可利用例1的經驗，可對結構式實施以下變形和調整。

（1）如果兩邊同乘，構造（函數值和1比較）

求導得

容易證得上是減函數

從而得證

（2）如果兩邊同乘，構造（函數值和0比較）

求導后得單調性并不明顯，但分子的結構式并不復雜，經二次求導后證得上是單調增函數，

所以得證

（3）如果兩邊同乘，可構造（函數值和0比較）

同樣可證明如下：

設，

則，且，，

令，則，

因， 所以，

所以導數在上單調遞增，于是，

從而函數在上單調遞增，即.

以上都是根據題目構造出的新函數但對解題有幫助嗎？我們發現這三類函數求導后過于復雜無法化簡，也就無法去研究新函數的單調性，更別談最值了。

從以上案例我們發現，構建的新函數能否進一步展開研究，關鍵是構造的函數能否通過求導后研究其單調性和最值，如果不能做到這一點，那么這樣的構造是無效的，我們就需要通過對結構式進行變形、調整、分解、組合，使其符合解題要求，這也是解題的核心所在。

基金項目：本文系2017年江蘇省教育科學研究院現代教育技術研究所立項課題《讓數學學習直觀有效——高中數學課堂活動中融合信息技術路徑的研究》（課題編號：2017—R—57745），及鹽城市教育科學“十三五”規劃2017年度課題《基于發展學科關鍵能力的高中數學教學實踐與研究》（課題編號：2017—L—009）成果之一。

（作者單位：1江蘇省濱海中等專業學校2鹽城市陸建名師工作室）