運算一致性下分數乘分數教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“數與運算\"主題中明確提出：通過整數、小數、分數的運算教學，讓學生初步體會數與運算的一致性。但在現實教學中，分數乘法的算理探究常常陷入邏輯斷層、認知割裂等困境。

一、問題診斷：分數乘法教學的現實困境

運算一致性教學落地需要認知邏輯、教學方法、知識結構協同共振。但當前分數乘法教學中，機械化算法操練與割裂化的算理闡釋，使這一理念陷入實施困境。

（一）認知模糊：算理本質的理解性懸浮

當前分數乘法教學中，學生對算理的認知普遍停留于“算法正確性驗證\"的表層階段，未能觸及“計數單位重組\"的本質內核。課堂觀察發現，即便學生能正確計算 114×213=2112 ，但當追問為什么“分母要相乘”時，超半數學生僅能復述操作步驟（如“老師說要分母乘分母\"），卻無法從計數單位視角解釋其數學意義。

（二）方法失調：算法操練的路徑依賴

傳統分數乘法教學陷人“講解算法一強化訓練—糾錯鞏固\"的慣性循環，過度依賴機械重復窄化算理探究空間。雖然教師也通過面積模型演示算理，但將算理簡化為在“分的份數更多了”的直觀描述，未能觸及“分數單位的乘積生成新單位\"的本質邏輯。更值得警惕的是，部分教師采用“分母是父母要相乘，分子是孩子也要相乘\"等擬人化口訣，雖短期提升計算正確率，但固化“分數乘法是獨立運算規則\"的錯誤認知。

（三）結構斷裂：數系關聯的邏輯缺位

現行分數乘法教學孤立于數系整體結構之外，割裂了整數、小數、分數運算間的本質關聯。教材分析發現，蘇教版小學數學六年級上冊\"分數乘法\"單元雖通過面積模型解釋分數乘分數的算理，卻未明確揭示其與整數乘法的內在一致性，這種結構斷裂直接導致學生遷移失敗。

二、理論奠基：運算一致性的教學轉化邏輯

破解分數乘法教學困境需回歸運算一致性的本質內核。以計數單位為錨點，將零散的算法規則升維為結構化認知模型，通過解構數的組成、重構運算的意義，系統實現從機械操作向本質理解的范式轉型，為落實課標“整體把握教學內容\"的要求提供理論轉化路徑。

（一）運算一致性的理論內核

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“數與運算\"主題中明確提出：通過整數、小數、分數的運算教學，讓學生初步感悟數與運算的一致性。這一理念揭示了乘法的本質內核一所有數域的運算均可歸結為“計數單位的生成\"與“單位個數的運算\"的雙重過程。分數乘法的學理建構包含雙重維度：其一，作為整數乘法的延伸，其保留“求相同加數和\"的原始意義（如 114×3=114+114+114 ；其二，拓展出“求部分的部分”的新內涵（如 1/4×1/5 表示求1/4的五分之一），這與小數乘法中\"求一個數的十分之幾\"具有邏輯同構性。基于鞏子坤等學者提出的運算一致性框架，分數乘法的算理本質可解構為：分母相乘生成新的計數單位，分子相乘運算單位的個數。這種“單位生成一個數運算”的雙層邏輯貫通整數（ 12×30=360 個百）小數 0.2× 0.3=6 個0.01）分數（ 215×317=6 個1/35）的乘法運算，使學生在數域拓展中形成結構化認知，真正實現“知其然更知其所以然\"的深度學習。

（二）運算一致性的教學轉化模型

基于運算一致性的學理本質，構建“意義關聯 $$ 算理推演 $$ 體系整合\"的三階轉化框架，系統實現從數學本質到教學實踐的層級轉化。首先，以“計數單位的生成與重組\"為統攝性大概念，重構分數乘法的認知起點。通過解構數的組成（如 3/4=3×1/4 ），剝離“分數單位\"的運算屬性，消解整數、分數、小數在形式表征上的差異，為算理推演提供統一的意義基座。其次，縱向解構揭示“分母運算生成新計數單位\"的規則形成過程（如 ?×d=1/（b×d） ），橫向解構闡明“分子運算確定單位個數\"的量值計算邏輯（如 αc? 分數單位個數）。促進符號運算向概念性理解的轉化。最后，依托數系擴充的結構同構性，編織縱向貫通（整數、小數、分數的單位生成鏈）與橫向聯結（乘法意義與運算規則）的雙維認知網絡。通過近遷移（分數內部算理類比）與遠遷移（跨數域邏輯對話），實現布魯姆認知目標從“理解\"到“創造\"的進階。

三、實踐創生：三階教學路徑的課堂實施

基于運算一致性的學理邏輯，本課例建構“單位生成 $$ 算理關聯 $$ 體系整合\"三階轉化路徑：通過計數單位的生成機制實現知識本質的內化，借助算理要素的關聯分析促進認知結構的重組，依托數系運算的邏輯統整達成概念網絡的建構。

（一）單位生成——從具象操作到本質抽象

在深入探討分數乘法的過程中，我們發現其核心的突破點在于掌握“分母相乘產生新的計數單位\"這一基本原理。這一原理對于學生來說，不僅只是一個簡單的數學技巧，而是一種對數學概念深層次理解的體現。根據具身認知理論，學生在學習抽象概念時，其理解的構建需依賴身體經驗與感知覺的相互作用。學生在學習分數乘法時，通過實際操作、視覺化工具或身體動作等具身活動，能感知和理解分數乘法背后的邏輯。

在教學中，教師創設真實情境：“一臺拖拉機每小時耕地1/2公頃， ^1/3 小時耕地多少公頃？\"學生基于生活經驗列出算式 1/2×1/3=1/6 。教師把握關鍵認知節點，拋出核心追問：“為什么結果恰好是16？”由此引發深度探究。在小組合作中，學生生成三類典型學材：（1）幾何直觀表征，用面積模型圖示 1/2 公頃的三等分；（2）符號運算表征，算式推導 （1×1）/（2×3）=116 （3）算理推演表征，分數除法轉化推理，對第一類學材，教師及時追問：“為何將12公頃再次分割？這與分母3有何關聯？\"對第二類學材，教師要求學生對照圖示解釋 2× 3\"的雙重含義，體會不僅可以表示分割次數還可以表示一個新的分數單位。而對于第三類學材，則引導發現“ （1÷2）×（1÷3） ”與分數乘法規則的同構性。教師將三類學材并置，引導學生發現“所有方法最終都指向分母乘積生成新單位。

通過這樣的學習方式，學生能將抽象的數學概念與自身經驗相結合，從而在大腦中形成穩固和直觀的知識結構。最終，學生在多模態學材的交互印證中，自主建構分數乘法的本質性理解一分母相乘并非機械規則，而是計數單位系統性生成的數學必然。

（二）算理關聯——從算法驗證到關系建構

算理關聯的深層價值在于揭示不同數學表征間的內在統一性。根據建構主義學習理論，知識的獲得不是被動接受規則，而是通過主動聯結不同經驗構建意義網絡。這種關聯不僅限于算法的正確性驗證，更擴展到數學概念、原理之間的關系建構，從而促進學生對數學知識的深刻理解和靈活運用。

在本環節中，教師引導學生深人探索“一臺收割機每小時收割2/3公頃，4/5小時收割多少公頃”。當學生掌握算法后，教師并未止步于答案的正確性，而是以“為什么分母乘分母的積做分母，分子乘分子的積做分子\"為支點，引導學生從“會算\"走向“懂理”。面對學生生成的三種學材一運算律推理（利用分數與除法的關系推導）單位分解法（拆解為分數單位與個數的乘積）幾何直觀圖（圖示面積占比），教師通過結構化策略搭建認知橋梁：首先，橫向對比運算律推理與單位分解法。當一組學生用 213=2÷3，415=4÷5? 推導出 （2÷3）×（4÷5）=8÷15=8115 時，教師追問：“算式中兩個 ÷ 符號的運算意義是什么？\"學生恍然大悟：“分母3和5其實在定義新的測量單位—將1公頃平均分成15份！\"而另一組學生將算式拆解為“ （2×1/3）× （2號 （4×1/5）=8×1/15^′ ，教師順勢引導：“這里的 2×4^， 和'1/3×1/5 各司何職？\"學生在對比中發現：分母的乘積（ 3× 5）如同設計一把更精細的\"數學尺子\"（單位1/15），分子的乘積（ 2×4） 則是用這把新尺子丈量出的結果數量（8個單位）。接著，教師將幾何直觀圖與算式關聯。面對圖示中2/3公頃被4/5小時分割出的 8/15 區塊，學生起初困惑：“圖中只有橫豎線條，哪里看得出15份？\"教師以動態課件演示：橫向三等分、縱向五等分的線條交織，將1公頃土地切割為15個相同方格，其中8格被陰影覆蓋?！霸瓉?3×5=15 就藏在交叉線里！”學生驚嘆于圖形與算式的默契呼應——線條的交點即新單位的刻度，陰影塊數即單位的累計數量。

此過程將零散的算法驗證升維為關系網絡建構一分母相乘定義數學世界的“新尺度”，分子相乘記錄現實問題的“真數量”，兩種操作如同坐標軸的橫縱延伸，共同錨定分數乘法的意義空間。

（三）體系整合 一從局部認知到全局建構

體系整合的核心在于揭示數學知識的內在統一性，通過構建結構化的認知網絡，實現數系運算邏輯的連貫性。這一過程不僅要求我們深入理解數學概念、原理和方法，還要求能夠將這些分散的知識點整合成一個有機整體，構建一個全面而系統的認識框架。

在學生掌握分數乘法算理后，教師提出關鍵問題：“分數乘整數（如 217×2 能否用？單位 單位，個數 ?× 個數'的規則解釋？\"學生通過拆解運算過程發現分數乘整數的本質仍是“計數單位（ 1×1/7 與個數 （2×2） \"的雙重運算，通過這樣的探討和實踐，學生能更加深刻地體驗到分數乘法運算的一致性，即不同形式的乘法運算在本質上是相通的。接著，教師繼續引導學生們回憶和梳理整數乘法、小數乘法與分數乘法之間的內在聯系。通過小組討論或是全班討論的方式，學生積極思考、互相交流，最終發現一個共同規律：無論是進行整數乘法、小數乘法還是分數乘法，其核心原理都是相同的，即都是通過將一個計數單位與另一個計數單位相乘，從而得到一個新的計數單位；同時，也是將一個計數單位的個數與另一個計數單位的個數相乘，從而得到一個新的計數單位的個數。

體系整合的終極目標是從局部認知躍升至全局建構，即在全面掌握數學知識的基礎上，形成對數學體系的深刻洞察。這不僅有助于我們更深入地理解和應用數學知識，而且能激發我們對數學學習的興趣和熱情，培養我們的創新思維和解決問題的能力。

本研究以運算一致性為統領，系統破解了分數乘法教學中的認知割裂困境。理論轉化模型的構建與課堂實證表明：當數學規則回歸“計數單位\"這一本源邏輯時，學生不僅能深度理解算理，更能建構貫通數域的認知圖譜。這一探索為落實課標\"整體性教學\"理念提供了可遷移的范式，也為核心素養導向的運算教學改革開辟了新的實踐進路。

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