數(shù)學(xué)與分?jǐn)?shù)無(wú)關(guān)

無(wú)論從哪種角度觀察，這都是和我們印象中截然不同的數(shù)學(xué)課。

上課鈴還未響起，教室里彌漫著手沖咖啡的香氣，復(fù)古黑膠唱片機(jī)播放著巴赫的《哥德堡變奏曲》，這首樂(lè)曲的變奏結(jié)構(gòu)常讓人聯(lián)想起“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的千變?nèi)f化”。

開課了。有好幾節(jié)課，黑板上沒出現(xiàn)任何數(shù)學(xué)符號(hào)和計(jì)算，老師講的是哲學(xué)與科學(xué)史，甚至有3小時(shí)全部留給了星空。漸漸地，學(xué)生們忘記了數(shù)學(xué)的枯燥，像探索家一樣拿著放大鏡尋找生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。比如，如何有效洗掉細(xì)菌、夫妻誰(shuí)洗碗、醫(yī)院取藥柜的設(shè)計(jì)，都能用數(shù)學(xué)解答。

這是北京市十一學(xué)校高中數(shù)學(xué)教師朱浩楠的數(shù)學(xué)建模課。數(shù)學(xué)建模，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是將現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題。這個(gè)聽起來(lái)高深的概念，早在2017年便出現(xiàn)在了國(guó)家頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中。

近年來(lái)，部分省份高考數(shù)學(xué)的命題開始有了數(shù)學(xué)建模的味道，不再問(wèn)“如何利潤(rùn)更高”， 而是問(wèn)“ 如何才能更好”。至于什么才是“好”，是“利潤(rùn)更高”，還是“資源浪費(fèi)更少”，則需要學(xué)生自行定義。2024年， 新定義題型的出現(xiàn)，更讓諸多教育者意識(shí)到， 高考數(shù)學(xué)的內(nèi)涵變了，刷題無(wú)效， 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維才是關(guān)鍵。

朱浩楠的數(shù)學(xué)課，正是對(duì)這一趨勢(shì)的積極探索。在他看來(lái)，學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于讓數(shù)學(xué)“回歸人的成長(zhǎng)和生命體驗(yàn)”。他想讓更多人看到，數(shù)學(xué)不止關(guān)于分?jǐn)?shù)與計(jì)算，數(shù)學(xué)中還有“美”，以及“真正面向自由的部分”。

他也曾是個(gè)“笨”小孩

從事數(shù)學(xué)教學(xué)11年以來(lái)，朱浩楠發(fā)現(xiàn)學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的痛點(diǎn)始終是“知道得很多，懂得很少”。不管成績(jī)好壞，“絕大多數(shù)學(xué)生并不清楚學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值”。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)的全部用處就是應(yīng)試，沒什么動(dòng)力進(jìn)一步了解。

“是不是有天賦的人才能學(xué)好數(shù)學(xué)？” 工作十幾年來(lái)， 朱浩楠沒少聽到過(guò)類似的問(wèn)題， 每到這個(gè)時(shí)候， 他都會(huì)講起自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的故事。

朱浩楠以前也是個(gè)“笨”小孩，數(shù)學(xué)成績(jī)一度很差。簡(jiǎn)單的小學(xué)數(shù)學(xué)，同學(xué)們接近滿分，他考70多分。

上了初中，因?yàn)閿?shù)學(xué)幾乎沒及格過(guò)，他沒少被老師批評(píng)。

轉(zhuǎn)機(jī)發(fā)生在高中。一次課間，他無(wú)聊地按著老式計(jì)算器上三角函數(shù)的按鍵。計(jì)算出sin1的數(shù)值后，他用計(jì)算器進(jìn)行sin的不斷迭代計(jì)算， 卻意外地發(fā)現(xiàn)迭代的次數(shù)越多，結(jié)果越趨近于0。也許是輸入的數(shù)字太小了？

他又嘗試對(duì)50000不斷取sin值， 結(jié)果還是快速地趨于0。無(wú)論輸入什么數(shù)字，都是如此。為什么會(huì)有如此神奇的事情？鉆研了幾天之后，他發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象原來(lái)用高中學(xué)過(guò)的數(shù)列遞推就可以解釋。這是一件很小的事，卻徹底改變了朱浩楠對(duì)數(shù)學(xué)的心態(tài)。這之后，他意識(shí)到借由數(shù)學(xué)可以做很多有趣的探索，并由此對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。一個(gè)學(xué)期之后，他的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)步到140分，再也沒有下滑過(guò)。

曾經(jīng)的生命觸動(dòng)與改變的數(shù)學(xué)理念，一直延續(xù)到朱浩楠如今的教學(xué)中。他反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)體系發(fā)展到今天，從來(lái)不是膚淺地為了給學(xué)生出題、考試。因此哪怕是日常教學(xué)中，他也會(huì)花時(shí)間給學(xué)生講解每個(gè)知識(shí)在歷史上的由來(lái)、不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“數(shù)學(xué)是活的，不是死的”，并鼓勵(lì)同學(xué)們把基礎(chǔ)打牢。

獲諾獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)模型，基于初高中知識(shí)

“生命體驗(yàn)”，這是朱浩楠提及數(shù)學(xué)時(shí)最常伴隨出現(xiàn)的詞匯。他舉了一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，在公園玩耍時(shí)，你可能偶然間發(fā)現(xiàn)松枝平視類似于軸對(duì)稱，但如果俯視就成了中心對(duì)稱。這讓數(shù)學(xué)從二維變成三維，并且與自己的生活經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了共鳴。

而數(shù)學(xué)建模，因其關(guān)注的就是如何創(chuàng)造新的方法、結(jié)構(gòu)來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，也自然成了數(shù)學(xué)最容易感受到生命體驗(yàn)的方式。數(shù)學(xué)建模會(huì)涉及高中數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸，并有一套嚴(yán)密的邏輯體系，每個(gè)上過(guò)課的同學(xué)都有聽不懂的地方，痛苦是必不可少的。

學(xué)生戴亦蕭也不例外，前兩周的學(xué)習(xí)讓她非常煎熬，因?yàn)樵?jīng)的她一度以為“只有具備極高數(shù)學(xué)天賦的人才能學(xué)數(shù)學(xué)建模”。直到第三周，朱浩楠讓大家自由發(fā)揮畫愛心。她聯(lián)想到折紙中的對(duì)稱藝術(shù)，將剛學(xué)的圓錐曲線對(duì)折，畫出了一顆會(huì)動(dòng)的愛心。這個(gè)靈光乍現(xiàn)的想法讓戴亦蕭意識(shí)到“藝術(shù)和數(shù)學(xué)是可以融會(huì)貫通的”。

數(shù)學(xué)模型可以處理照片中的霧霾；可以用來(lái)設(shè)計(jì)醫(yī)院儲(chǔ)藥柜不同層的高度，可以讓藥品擺放、拿取的效率更高；可以計(jì)算體育賽事明星的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)誰(shuí)更可能在未來(lái)拔得頭籌；甚至玩《王者榮耀》時(shí)團(tuán)隊(duì)如何配合可以高效地取得勝利，也能結(jié)合向量的知識(shí)搭建模型……

前幾年，朱浩楠還帶著學(xué)生一起做了一個(gè)石刻文物保護(hù)項(xiàng)目，幫助安徽齊云山摩崖石刻的保護(hù)人員建立預(yù)警模型，讓工作人員通過(guò)文物的幾項(xiàng)指標(biāo)就能預(yù)判哪個(gè)石刻可能出問(wèn)題，提前做好維護(hù)。

用數(shù)學(xué)跨界

作為一名高中老師，“應(yīng)試”“分?jǐn)?shù)”“排名”從不出現(xiàn)在朱浩楠的話語(yǔ)體系里。他理解通過(guò)高考訓(xùn)練學(xué)生基本學(xué)習(xí)能力的必要性，但十分反感用這些標(biāo)簽定義學(xué)生。

在他眼中，數(shù)學(xué)從來(lái)不是那么局限的東西。而數(shù)學(xué)的觸角一旦延展出去，便可能與諸多內(nèi)容跨界結(jié)合。他的很多學(xué)生都提到，數(shù)學(xué)建模的思維對(duì)他們后來(lái)的學(xué)科學(xué)習(xí)，甚至生活決策都提供了很大幫助。學(xué)生劉奕池說(shuō)，因?yàn)橐鉀Q真實(shí)世界的問(wèn)題，數(shù)據(jù)受到各種意外因素的影響，模型會(huì)反反復(fù)復(fù)被推翻，這也讓她在做決策時(shí)學(xué)會(huì)考慮各方的觀點(diǎn)。高中畢業(yè)后，她選擇了數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)，這是她之前從未想過(guò)的選項(xiàng)。

受到數(shù)學(xué)建模思維的影響，朱浩楠幾個(gè)讀到博士的學(xué)生，也開始將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科結(jié)合，比如，將數(shù)學(xué)與醫(yī)學(xué)、人工智能結(jié)合進(jìn)行創(chuàng)業(yè)等。

高中畢業(yè)后，戴亦蕭選擇gap一年，在一家自然保護(hù)組織實(shí)習(xí)，并嘗試把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到自然保護(hù)中。在戴亦蕭眼中，數(shù)學(xué)是美的，這也是朱浩楠反復(fù)說(shuō)的，數(shù)學(xué)之美不僅在于模型、曲線的美觀，也在于“非數(shù)學(xué)不可察”。

在朱浩楠看來(lái)，數(shù)學(xué)建模因搭建模型的各種可能性，以及面對(duì)真實(shí)世界的變化，是“數(shù)學(xué)中真正面向自由的部分”。他癡迷于在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并將這份喜悅傳遞給學(xué)生。這是一門無(wú)關(guān)成績(jī)的數(shù)學(xué)課，這樣的數(shù)學(xué)也許不能直接提高分?jǐn)?shù)，卻足以給學(xué)生帶來(lái)應(yīng)對(duì)不確定未來(lái)的競(jìng)爭(zhēng)力。

（摘自《視野》2025年第13期，郭德鑫圖）