開展高中數學 “5E”概念課教學，培養學生邏輯推理素養

美籍匈牙利數學家波利亞在《數學與猜想》中提到，數學研究中最令人著迷的是如何發現定理、如何證明定理。在數學研究中，數學家利用推理和論證，演繹出無數個定理和結論，依托邏輯推理建構出數學體系。邏輯推理是數學研究不可缺少的一部分，也是數學學習中不可或缺的一環。《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）基于邏輯推理的重要性，將邏輯推理作為數學核心素養的重要組成部分，倡導實施探究式教學，引導學生在探究過程中進行邏輯推理，促進學生有邏輯地思考問題，形成理性思維，養成嚴謹思維習慣，發展邏輯推理素養[1]。5E教學模式是美國生物學課程研究團隊在1989年提出的一種探究式教學模式，由參與（Engagement）、探究（Exploration）、解釋（Explanation）、遷移（Elaboration）、評價（Evaluation）五個環節構成[2]。此模式被廣泛運用于美國的課堂教學中，在改進傳統教學模式的同時，增強了學生的探究興趣，促進學生發展了推理能力、探究能力、問題解決能力，幫助學生提升了學習效果。鑒于此模式的價值，我國教育工作者紛紛展開本土化研究。筆者在邏輯推理素養培養要求的指引下，開展基于5E教學模式的高中數學概念課教學研究，聚焦該模式的五個環節，以學生的邏輯推理發展過程為著眼點，探索出了相應的教學策略。下文，將以人教A版選擇性必修二第四章的第一節《數列的概念》為例，詳談數學“5E”教學策略。

一、參與環節：創設問題情境，激發邏輯推理萌芽

邏輯推理素養的形成與發展建立在對問題的發現、提出、分析、假設、驗證的基礎之上。問題情境可以將原本抽象復雜的邏輯規則轉化為具體、可感的具體場景，促使學生遷移已有認知，發現問題、提出問題、分析問題，提出假設、驗證假設，主動建立起邏輯推理鏈條，形成邏輯推理意識[3]。所以，問題情境被作為激發學生邏輯推理萌芽的“催化劑”。數學“5E”教學的參與環節以激發學生邏輯思維萌芽為目標。教師可以在此環節通過創設問題情境實現目標。

例如，在《數列的概念》課堂教學參與環節，教師可以借助實際問題創設問題情境。問題一：一種細胞每分鐘分裂2個，每過一分鐘，細胞個數依次是多少？問題二：一家便利店第一天賣出20桶飲用水，之后的每一天都比前一天多賣出2桶，自第二天起依次賣出多少桶飲用水？問題三：《莊子》有言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。假設一尺為1，每日取半后剩下的部分是多少？問題情境通過“生物規則”“生活場景”“哲學矛盾”可以激活歸納、演繹、辯證等邏輯推理的基本形式，讓學生獲得邏輯推理機會，自主經歷從“細胞數統計”的簡單歸納走向“分睡”的極限思辨，獲得良好的邏輯推理體驗，滋生出邏輯推理萌芽，產生邏輯推理興趣與持久動力，筑牢體驗探究活動的基礎。基于學生的良好表現，教師可以引導他們思考“這些問題有什么共同特點？”“能不能調換數的順序？為什么？”這兩個問題可以驅動學生比較、分析，從具體數據中提取出共性（“倍數關系”“差值固定”等），建構“按照一定的順序組成的數”認知，形成對數列概念的初步認知，同時使學生邁入演繹推理中，激發邏輯推理萌芽。

二、探究環節：善于運用問題串，經歷推理探索過程

探究環節正是學生經歷推理探索的過程。此過程離不開演繹推理、歸納推理、類比推理、反證法、圖表法、排序法等邏輯推理方法的支撐。對于大部分高中生而言，自主選用邏輯推理方法進行探究是一項難事。邏輯推理過程是學生解決問題的過程。啟發性的問題是學生解決問題的助力[4]。教師作為“5E”教學的引導者，應當依據教學內容，運用問題串，借助層層遞進的問題激活學生思維，助力學生運用恰當的邏輯推理方法，親歷推理探索過程，促使學生建構數學認知，同時鞏固邏輯推理方法，豐富邏輯推理經驗，發展邏輯推理素養。

例如，在《數列的概念》這節課的探究環節，教師可以以數列概念的探究為重點，運用問題串，助力學生經歷推理探索過程。1.將數列1、2、3、4、5、6、7、8、9、10調整為10、9、8、7、6、5、4、3、2、1，兩個數列有區別嗎？2.我們所學過的知識中，與次序相關的知識是什么？3.我們將集合中的數稱作什么？4.集合可以分為哪幾類？分類依據是什么？5.參照集合，數列如何分類？6.在數列中，每一項與項數之間有確定的關系，這與所學過的哪部分知識類似？7.函數與數列之間有何種關系？8.在數列中，自變量和因變量是什么？9.根據函數的單調性，如何為數列分類？10.數列的定義域是什么？通項公式指的是函數的什么？在運用時，教師既可以在學生解答一個問題后，提出下一個問題，也可以將所有問題拋給學生，在他們自主解答后進行講評。無論采用何種方式，這些層層遞進的問題都可以成為學生經歷推理探索的助力。具體而言，學生會在問題的助力下，從具體數列中歸納分類標準（歸納推理），對比數列與集合、函數的異同，把握知識點間的關聯（類比推理），運用分類標準判斷新數列的屬性、推導通項公式（演繹推理），聚焦不同維度為數列分類（分類討論）。這樣，學生可以運用多樣的邏輯推理方法解決問題，逐層揭示概念間的邏輯關系，歸納出新概念，理解數列概念，還可以學會用邏輯推理思維分析數學概念，實現“概念記憶”到“邏輯推理”的跨越，發展邏輯推理素養。

三、解釋環節：關注思維表達，滲透邏輯規范語言

解釋環節是展示邏輯推理成果的環節，可以使教師精準把握學情，發現學生存在的認知問題、思維問題、表達問題等，有針對性地進行指導，讓學生查漏補缺，建構正確的認知，發展邏輯思維，學會用數學語言表達，提高核心素養發展水平。在此環節，教師要提出解釋任務，讓學生知道“做什么”、主動地“做”，同時進行評價反饋。

例如，在《數列的概念》這節課的探究環節，學生通過體驗推理探索過程，可以歸納出數列的概念。教師可以趁機建構解釋環節，提出“請大家毛遂自薦地解釋數列的概念”這一任務，驅動學生展示探究成果，發現學生存在的認知問題，并進行指導。以概念理解表面化，混淆數列與集合這一問題為例，學生代表忽略數列的有序性和可重復性，混淆了數列和集合。教師可以建議學生繪制表格，從定義本質、元素特性、次序要求、與函數的關系、分類依據這些方面對比數列與集合，把握數列的特征。學生會調動知識儲備庫，聯想相關的內容，借助可視化的方式（表格），分門別類地進行對比，發現數列和集合的差異，鎖定數列的特征，由此加深對數列的理解，同時鞏固圖表法，學會從相似概念中識別關鍵差異，提高數學概念認知水平。為了使學生增強認知，教師還可以借助生活中常見的“一箱子乒乓球（球的順序不影響箱子中的內容）”“排隊的人（順序決定每個人的位置）”引導學生類比集合、數列，使他們在類比推理中感悟集合的“無序性”、數列的“有序性”，同時使他們學會類比推理。在幫助學生解決種種問題后，教師可以按照低水平一中等水平一高水平的順序，從相應的學生群體中選擇學生代表，鼓勵他們解釋數列的概念，發現他們存在的思維邏輯、語言運用問題，利用適宜的方式指導他們解決。

四、遷移環節：重視知識技能，筑牢邏輯推理基石

知識技能與邏輯推理相互依存、相互促進，二者在認知發展過程中可以形成動態循環關系，共同促進核心素養發展[5]。其中，知識技能是邏輯推理的基石。學生必須要扎實掌握知識技能，否則邏輯推理素養發展將成為“空中樓閣”。數學“5E”教學中的遷移環節重在借助新的問題情境引導學生遷移應用，助力學生鞏固知識技能，筑牢邏輯推理基石。在此環節，教師需要結合教學內容和現實生活，依據學情實際，設計出難度不同的題目，讓學生運用所學解決新問題。教師還需要組織講評活動，幫助學生查漏補缺，筑牢發展邏輯推理的基石。

例如，在《數列的概念》這節課的遷移環節，教師提出問題：1. 、 、 、 ……，則 是它的_項。2.若數列 {a_n} 的通項公式為a_n=n²（n-2） ，其中 n∈N^* ，則 a_s —。3.大衍數列源于《乾坤譜》對“大衍之數五十”的推論，用來解釋中國傳統文化中的太極衍生原理。數列中的每一項都代表太極衍生過程中的兩極數量總和。其前10項為0、2、4、8、12、18、24、32、40、50。該數列的奇數項通項公式 ，第19項和第20項的和是。學生在解決題目1時，需要進行簡單的歸納與演繹推理，識別數列類型、應用通項公式。在解決題目2時，學生需要立足于函數對應關系，代入通項公式計算。在解決題目3時，學生需要經歷“觀察現象→提出猜想 $$ 邏輯驗證→推廣應用”的推理過程，靈活地進行數列分類、規律歸納、代數變形。可見，由易到難的題目可以考查學生的基礎知識掌握情況和邏輯推理素養發展情況。學生會在解決題目的過程中暴露出自己的不足。譬如，在解決題目3時，忽略相鄰項差值（4-0=4，12-4=8，24-12=12，40-24=16）的等差特性（差值為4，8，12，16，即公差為4的等差數列）無法通過前10項（奇數項為0，4，12，24，40）歸納出規律。教師可以在講評活動中引導學生建立“項數（奇數項序號k，原數列項數n）——數值 （a_n ）”的對應關系，標注變量，同時思考“ k 代表什么？與原數列的項數n有什么關系？”“如果要找的是奇數項的通項公式 a_2n-1 ，這里的n對應表格中的哪個變量？”學生會意識到要以 k 為自變量，建立數值的函數關系。接著，可以引導學生計算奇數項數值的相鄰差值，并標注差值與 Δk 的關系，使學生發現：差值構成公差為4的等差數列，第k個差值為4（k-1）（ k?2 ）。最后指導學生利用累加法推導通項公式。這樣的講評可以使學生經歷“觀察分析一歸納一驗證”的邏輯推理鏈條，逐步解決問題，加深對所學的理解，同時發展邏輯推理素養。

五、評價環節：集體交流反思，建立邏輯推理脈絡

評價環節重在引導學生交流反思探究成果，建立清晰的邏輯推理脈絡，促進學生深化已有認知，豐富邏輯推理經驗，發展邏輯推理素養。在教學實踐中，教師需要搭建支架，引導學生有目的地進行頭腦風暴，回憶數學探究過程與相關內容，建立出邏輯推理的核心線索。

例如，在《數列的概念》課堂教學的評價環節，教師可以提示學生列舉生活實例，發現其中的“數”的共同特征，提煉關鍵信息，概述數列的定義，同時借助表格形式分類梳理數列的項數、單調性、有界性。基于此，引導學生借助案例分析數列的通項公式、遞推關系。之后，指導學生觀察特殊項、猜想規律、驗證猜想，幫助學生探究歸納推理法，建立從特殊到一般的邏輯路徑；指導學生判斷數列中的項、分析數列的單調性與有界性、邏輯分析遞推公式，讓學生學會用數列的定義、通項公式進行邏輯推理，掌握演繹推理法，建立從一般到特殊的邏輯路徑。最后，要求學生將數列的概念作為中心主題，將定義與特征、表示方法、推理方法、相關概念作為分支，建立思維導圖。在學生體驗每一項反思活動時，教師都可以鼓勵他們在小組中分享反思成果，發現彼此存在的認知問題，互幫互助地解決問題。還可以鼓勵他們主動提出自己的疑問，采用課堂提問、情境創設、習題解析等方式幫助他們解決。縱觀整個評價環節，教師的引導可以使學生經歷“生活實例→數列定義→表示方法→推理方法 $$ 問題解決→歸納總結”的過程，讓學生清楚地建立起數列概念的邏輯推理脈絡，提高認知的有序性、系統性，學會進行邏輯推理，發展邏輯推理素養。

結束語

數學概念是數學課程中的基礎內容，概念課教學承載著促進學生發展核心素養的任務。綜上所述，運用5E教學模式實施高中數學概念課教學，可以在增強概念課教學“探究味”的基礎上，為學生搭建發展邏輯推理素養的平臺，讓學生體驗多樣的邏輯推理活動，由淺入深地理解數學概念，學會邏輯推理，發展邏輯推理素養。鑒于此，一線教育工作者可以運用5E教學模式培養學生邏輯推理素養。在核心素養培養背景下，培養學生邏輯推理素養是一個熱門話題，具有過程性、發展性。教師將在運用現有經驗的同時，圍繞5E教學模式的五個環節，探索出更多的策略，讓學生通過體驗探究活動發展邏輯推理素養。今后還將拓寬研究范疇，以培養學生邏輯推理素養為目的，探索更多的教學模式與策略，讓邏輯推理素養在數學概念課上落地生根。

參考文獻

[1]江艦飛.新高考背景下高中數學教學中培養學生邏輯推理素養的研究川].試題與研究，2025（6）：133-135.

[2]徐勝男，房元霞.基于邏輯推理素養的高中數學教材分析：以人教A版“直線與平面垂直”為例[J].理科考試研究，2024，31（23）：5-10.

[3]楊紅利.培養高中生邏輯推理核心素養的研究：以函數與導數教學為例[].數理天地（高中版），2024（13）：117-119.

[4]陳美蘭.新高考背景下高中數學教學中培養學生邏輯推理素養的研究[].數理化解題研究，2023（21）：8-10.

[5]劉躍鑫.高中數學函數與導數教學中培養學生邏輯推理素養的實踐研究[Ⅲ].數學學習與研究，2023（18）：120-122.