基于數學教材 “平均分”一課內容編寫的比較分析

APOS理論是由美國數學教育家杜賓斯基提出的基于數學概念教學的理論。它指明了對已有數學概念重新建構的方式，即數學概念的學習需要經過活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Schema）四個階段。

筆者對現行人教版、北師大版、蘇教版、浙教版和滬教版這五套數學教材中“平均分”的相關內容進行了比較分析，為后續的教學設計提供指導。從教材編排角度看，除人教版的“平均分”編排在二年級下冊外，其他教材都將其編排在二年級上冊。從教材課時角度看，人教版的“平均分”安排了2節新授課（第1課時教學“平均分”；第2課時教學“等分除”“包含除”兩種分物）和1節練習課；北師大版的“平均分”安排了3節新授課（第1課時分物游戲，教學小數目物品平均分；第2課時分蘋果，教學平均分的兩種情況；第3課時分糖果，教學大數目物品平均分）；蘇教版的“平均分”安排了3節新授課（第1課時教學平均分和“包含除”分物；第2課時教學“等分除”分物；第3課時教學平均分的兩種情況）；浙教版的“平均分”安排了1節新授課（教學平均分、“等分除”和“包含除”兩種分物）和1節練習課；滬教版的“平均分”安排了2節新授課（第1課時裝袋，教學“包含除”分物；第2課時平均分，教學“等分除”分物）。

因為每節課教學的數學知識點不同，教材編排的先后順序也略有不同，所以，本文基于APOS理論，主要針對“等分除”和“包含除”這兩種平均分情況的教學內容進行分析。

一、現行教材“活動階段”的編寫

“活動階段”是指學習者學習知識的起點，他們在教師明確指令的引導下，通過各種感覺器官的操作活動，與外界進行信息交流，形成對數學概念的感性認知。這里的操作活動包括觀察、操作和思維（回憶、猜想、推理、計算）等。

通過比較發現，蘇教版和滬教版數學教材中的“活動”種類比較豐富，為學生的操作活動提供了更加充足的空間和時間。

對于操作類的活動，各版本數學教材中都讓學生經歷了“分”的動作表征，幫助學生感受分的方法、過程和結果。關于“連”“圈”“畫”等動作表征，各版本數學教材都有涉及，但不完整且指向不明確：“連”的動作表征指向“等分除”分物，“圈”的動作表征指向“包含除”分物。關于“說”的語言文字表征，各個版本數學教材都用文字填空的方式呈現，蘇教版數學教材還讓學生“在小組里說說還可以怎么分”。關于“比較”的活動，北師大版數學教材在讓學生思考了“12個蘋果，分成3堆，每堆一樣多，可以怎樣分”和“12個蘋果，每袋裝4個，需要幾個袋子”后，進一步引導學生“說一說，兩次分蘋果有什么相同的地方”。關于“算”的活動，滬教版數學教材在出示情境后，讓學生結合分的過程用連減表示，幫助學生體會到除法可以看作連續減去相同的數的減法；再出示“等分除”和“包含除”的問題，引導學生利用乘法去思考，得到除法算式，從而體會到乘法和除法是互逆的。

美國學者萊許認為，在問題情境中，為提取概念所提供的線索越多，就越容易使概念得到檢索和應用，有利于對抽象的概念建立起具體的模型，從而促進概念的掌握。因此，在幫助學生建立“等分除”和“包含除”的認識時，要讓學生經歷豐富的探究活動，幫助他們更容易檢索和應用平均分的概念。

二、現行教材的“過程階段”的編寫

“過程階段”是學習者對前一階段活動的反思，外部動作內化為操作的建構過程。這時，學生可以脫離具體活動，能用數學語言概括、抽象出數學概念的本質。對于“平均分的兩種情況”的探究過程，這五套教材的編寫結構大致相同：創設情境出示“等分除”（或“包含除”） - 利用圓片讓學生分一分 - 用連一連（或圈一圈）記錄分的過程 - 用語言文字記錄分的結果 -比較兩種分法的異同。

但是在具體的教學部分，各版本數學教材的編寫略有不同。

（1）平均分的兩種情況呈現順序不同。除法的兩種含義表示兩種不同的分法，第一種是“等分除”，即把一個整體平均分成幾份，每份是多少；第二種是“包含除”，即一個整體里有幾個幾。人教版和北師大版是先教學“等分除”，再教學“包含除”；蘇教版和滬教版是先教學“包含除”，再教學“等分除”；浙教版從同一個情境中提取出“等分除”和“包含除”。

（2）有無呈現平均分的方法、過程和結果。筆者分析現行五套教材，發現，人教版和蘇教版完整地呈現了平均分的方法、過程和結果；北師大版只呈現了平均分的方法；浙教版靜態呈現了平均分的過程；滬教版動態呈現了平均分的過程，還用文字和算式表示平均分的結果。

三、現行教材的“對象階段”的編寫

“對象階段”是指學習者對前一階段抽象出來的數學概念本質賦予形式化的定義和符號。在用語言文字表征平均分兩種情況的過程和結果時，滬教版數學教材完整出示了“12顆草莓被4人平均分，每人分到3顆”；北師大版數學教材是完全開放的，沒有出示任何表達形式；人教版、蘇教版、浙教版數學教材則采用了填空式，如“8個果凍，每2個一份，能分成份”。

除此之外，滬教版數學教材還用除法算式表示平均分的結果，介紹了除法的讀寫及各部分的名稱。

四、現行教材“圖式階段”的編寫

在“圖式階段”，學習者通過整合、同化和順應，不斷調整已有的認知結構，使有關“對象”的認知與其他相關的知識點形成知識網絡，構建出綜合圖式框架。我們選擇教材中的練習題作為驗證圖式階段是否完成的依據：如果能獨立完成練習，說明已經完成圖式建構；如果不能獨立完成練習，就會啟動APOS循環模式，直至完成圖式建構。

本文結合單元作業目標，對現行數學教材中的練習題進行了整理，具體見表1。

通過對比發現，蘇教版新授課的練習題數量最多，人教版新授課的練習題對應單元作業目標最完整。蘇教版新授課的練習題偏愛“包含除”，而浙教版和滬教版教材新授課的練習題偏愛“等分除”。同時，各個版本的數學教材中都有基礎題，北師大版、蘇教版、浙教版中還有開放題。

表1現行教材“平均分的兩種情況”新授課的練習題數量及占比

學生在學習過程中只通過完成練習題實現從“對象”到“圖式”的轉化，這是遠遠不夠的。新課標指出，要落實“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”的核心素養，要關注基礎知識、基本技能、基本思想和方法、基本活動經驗。如何更好地建立從“對象”到“圖式”的轉化的評價，是教師在教學中需要思考和實踐研究的。

我們通過APOS理論對現行數學教材進行分析，發現各個版本數學教材都實現了知識的內在邏輯與教法要求的統一，都努力用豐富的活動、具體的過程、多樣的習題，幫助學生建立“等分除”和“包含除”。

這兩種平均分的概念。因此，數學教師在備課時要學會比較不同版本的教材，精讀教學用書，領悟教材編寫意圖，從而基于學習路徑進行單元整體教學，重組單元學習目標，打造出一節節精品數學課。

【參考文獻】

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