從感性到理性逐步促進學生感悟數(shù)學運算的一致性

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2025）19/22-0040-04

一、問題分析：分數(shù)除法教學的現(xiàn)實困境

在當前分數(shù)除法教學中，教師多采用直接呈現(xiàn)規(guī)則或孤立講解算理的方式，導致學生對運算本質缺乏深層理解，認知結構零散，難以遷移至新情境。例如，學生雖能通過訓練掌握“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)\"運算規(guī)則，卻鮮少理解其數(shù)學邏輯與思想根源。這種教學方式下，學生的核心素養(yǎng)難以真正落實。

二、理性路徑的局限與啟示

筆者前段時間在網(wǎng)絡上學習了浙江嘉興教育學院朱國榮老師的講座“除法運算的意義和算法，怎么理解？怎么教？”，朱老師談到了如何理解分數(shù)除法的算理，感悟數(shù)學運算的一致性。

先是列舉了浙教版小學數(shù)學教材借助商不

接下來朱老師談了自己的思考：要想弄清楚分數(shù)除法的算理，需要先回顧分數(shù)乘法的算理，例如： （2×4） 分母相乘其實表示的是兩個分數(shù)單位相乘，分子相乘其實表示的是分數(shù)單位的個數(shù)相乘。教學分數(shù)除法的時候可以先出示一道分數(shù)乘法的題目：一個長方形長-9 分米，寬 1分米。這個長方形的面積是多少平方分米？

乘倒數(shù)就是擴分過程簡寫之后的一個規(guī)律。

仔細品味朱老師的分數(shù)除法的教學思路是從理性認識到理性認識一一基于分數(shù)除法的概念進行推理，從概念中產(chǎn)生方法，從方法中形成模式。

此方法邏輯嚴謹，但需學生具備較強抽象思維能力，對普通小學生而言存在認知跨度。朱智賢教授在《兒童心理學》一書中指出：小學生思維發(fā)展的基本特點是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。皮亞杰的認知發(fā)展階段論認為7～12歲的兒童處于具體運算階段，此階段的思維活動仍需要具體事物的支持。由此啟示：教學需兼顧感性支撐與理性推導，以適應不同思維發(fā)展水平的學生。

三、感性到理性的教學實踐路徑

接下來，根據(jù)這道題改編成一道分數(shù)除法題。一個長方形，面積-63平 平方分米，長 分米。這個長方形的寬是多少分米？可以列出算式9 。朱老師認為分數(shù)除法就應該是分母除以分母，分子除以分子，（分孟÷岔孟）。分母除以分母其實就是兩個計數(shù)單位在相除，分子除以分子就是計數(shù)單位的個數(shù)在相除，這樣就和整數(shù)除法一致起來了。如果除不盡怎么辦？例如：8 這個分數(shù)除法算式的意義是： ，為什么會除不盡呢？因為做乘法運算時約分了， 是約分后得到的最簡分數(shù)，分子和分母都變小了。可以將 擴分，使得被除數(shù)的分子和分母變成除數(shù)分子和分母的倍數(shù)。 ，用字母表示具有一般性： （乘倒數(shù)）

分數(shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以分數(shù)都能比較容易的借助幾何直觀，通過畫圖的方法幫助學生理解算理。困難的是分數(shù)除以分數(shù)，筆者設計了一條從感性認識到理性認識的學習路徑，經(jīng)過教學實踐檢驗，大部分學生能夠較好地理解分數(shù)除法的算理、掌握算法、感悟數(shù)學運算的一致性。

（一）激活已有經(jīng)驗，建立直觀感知

出示除法算式： ，根據(jù)你的經(jīng)驗猜一猜，這個除法算式表示什么意思？學生關于除法已有的經(jīng)驗是“平均分”“包含著幾個幾\"或“誰是誰的幾倍”。有的學生猜把平 平均分成 份，大家認為不太對，有同學猜把 看成1份，3里包含著這樣的幾份，還有同學猜 是 的幾倍。

教師繼續(xù)啟發(fā)，聯(lián)系前面學習分數(shù)運算的經(jīng)驗，你能畫圖分別表示：3 嗎？

學生們能畫圖表示和 但表示 都卡殼了。

不好算，也不好表示。如果允許你把其中的一個分數(shù)變一變，變成好算的數(shù)字，你能試一試嗎？

（204號 和 都是同分母分數(shù)的除法，分母相同計數(shù)單位相同能直接運算， 異分母分數(shù)的除法，分母不同計數(shù)單位不同不好算。

不能直接運算，怎么辦才好？

學生積極思考：如果變成-1京 就好辦了，如果變成 就好辦了。

學生想到需要通分。

追問：你是怎么想到通分的？

學生提出，我們在異分母分數(shù)加減法遇到不能直接算就會先通分，當分數(shù)單位相同就能計算了。師生集體交流，類比異分母分數(shù)加減法的研究方法，猜想的 的研究方法。

這兩個問題，既可以畫圖從直觀的層面感知，又可以聯(lián)系分數(shù)的意義理解。

3（3個1 是1個 的3倍）

（3個 是2個 的幾倍？可以想成3是2的幾倍。）

（二）類比異分母分數(shù)加減法，獲得思路啟發(fā)

請同學們仔細觀察這2個分數(shù)除以分數(shù)的算式，為什么它們都挺好算？ 和它們比較，主要的區(qū)別在哪里？

可以理解為 是 的多少倍，畫圖表示通分可以把表示 和 的這兩個長方形都平均分成20份，也就是左圖中深色部分是右圖深色部分的多少倍。能直觀的看出來新的計數(shù)單位是 ，15個 是8個 的多少倍，可以想成15是8的多少倍。數(shù)學的本質在于度量，確定一個統(tǒng)一的標準，然后在此標準下討論問題，單位相同才能運算。在此感悟，分數(shù)除法與分數(shù)加減法運算思想方法的一致性。

實際上分數(shù)除法的運算法則可以有多種推導方法，其中之一的思路如下： 如果直接給小學生講解這樣的推導方法，大部分學生也將難以理解，如果從感性認識逐步深入到理性認識則比較容易。

（三）歸納與演繹相結合，抽象一般運算規(guī)則

有了基本的思路之后，面對通分求公分母計算繁瑣的情況，還可以進一步優(yōu)化。例如：

繼續(xù)研究了幾個具體的例子之后，可以用字母表示進行演繹推理，幫助學生理解數(shù)學的一般性和顛倒相乘的簡潔之美，看似矛盾對立的分數(shù)乘法和除法運算在這里得到統(tǒng)一。接下來，認真觀察、比較上面的同分母分數(shù)和異分母分數(shù)除法，可以得到分數(shù)除法的一般法則，即分數(shù)除以分數(shù)等于乘上這個分數(shù)的倒數(shù)。進一步啟發(fā)學生思考（在有理數(shù)范圍內）整數(shù)、小數(shù)都可以看做分數(shù)，最后上升為除法運算的一般法則：一個數(shù)除以另一個數(shù)（不等于0），等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。在此感悟分數(shù)乘除法和整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)除法運算法則的一致性。

（四）回溯整合，深化感悟運算一致性經(jīng)過前面的教學鋪墊，待學生把分數(shù)乘法、分數(shù)除法的各個運算法則都學懂了“回頭看”的時候，再運用朱國榮老師的方法系統(tǒng)總結，幫助學生理解無論乘、除運算都是個數(shù)與個數(shù)運算得到新的個數(shù)，計數(shù)單位與計數(shù)單位運算得到新的計數(shù)單位，真正從本質上統(tǒng)一起來，可以幫助學生更深刻地感悟數(shù)學運算的一致性。

四、教學反思

筆者依據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展階段理論和建構主義學習理論，設計了從感性認識上升到理性認識的學習路徑，充分激活學生的已有經(jīng)驗，從具體、直觀的操作到抽象的思維活動，綜合運用類比、歸納、演繹等數(shù)學思想方法，調用知識體系在原來的知識基礎上再創(chuàng)造新知識。通過課堂觀察發(fā)現(xiàn)學生有較多的思維參與度，凸顯了分數(shù)單位的作用，促進學生逐步感悟數(shù)學運算的一致性，從而達到核心素養(yǎng)的真正落實。

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