把握作圖活動(dòng)本質(zhì)發(fā)展學(xué)生幾何直觀和推理意識

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2025）19/22-0051-03

本文系河北省教育科學(xué)“十四五\"規(guī)劃2021年度重點(diǎn)資助課題“基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材建設(shè)研究\"（課題編號：2101055）研究成果。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中的幾何作圖內(nèi)容在小學(xué)第二學(xué)段、第三學(xué)段共安排11次。與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》相比，增加了3個(gè)尺規(guī)作圖的內(nèi)容。分別為1.作一條線段等于已知線段；2.將三角形的三條邊畫到一條直線上；3.給定線段畫三角形三個(gè)內(nèi)容（見表1）。

特別需要說明的是，表中“使用工具”中的直尺為無刻度直尺。在前6個(gè)作圖內(nèi)容中，畫角無需直尺刻度。由于圓規(guī)的兩腳可以確定線段的長短，所以作圖過程不需要讀直尺刻度。而在后5個(gè)作圖內(nèi)容中，因?yàn)榻柚礁窦埧梢源_定線段的長短，所以作圖過程也無需用有刻度的直尺。

表1

一、幾何作圖內(nèi)容教學(xué)的目標(biāo)走向

幾何圖形作為數(shù)學(xué)語言，是幫助人們表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的重要信息載體。幾何作圖是以知識、技能為基礎(chǔ)的表征數(shù)學(xué)思想的過程，從這個(gè)意義上說，幾何作圖的本質(zhì)是想象、推理活動(dòng)。因此，作為課程內(nèi)容，幾何作圖的學(xué)業(yè)要求不僅僅是技能的習(xí)得，更重要的是探索、展示作圖的思維過程，交流每一步的作圖依據(jù)，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)指向發(fā)展想象力、幾何直觀和推理意識。早在古希臘歐幾里得的《幾何原本》中，尺規(guī)作圖的內(nèi)容就彰顯了它獨(dú)特的育人價(jià)值。

小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的內(nèi)容絕大部分是直觀幾何，描述性是本學(xué)段課程內(nèi)容表達(dá)的特點(diǎn)。到了初中階段學(xué)習(xí)幾何則是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C體系。學(xué)段之間思維形式的跳躍性較大。事實(shí)上，從算數(shù)思維到代數(shù)思維，從直觀幾何到演繹幾何，讓許多學(xué)生倍感吃力?；趯W(xué)段銜接的考量，結(jié)合幾何課程內(nèi)容，采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式引導(dǎo)學(xué)生逐步從直觀說理走向論證說理，更好地適應(yīng)未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式，是課程內(nèi)容和課程實(shí)施需要解決的重要問題，而《課標(biāo)》中作圖內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)就是對這一方向十分有益的探索。義務(wù)教育階段小學(xué)與初中的幾何作圖，在利于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)背景下，教學(xué)要求既要有相同點(diǎn)，又要有學(xué)段要求的差異性。相同點(diǎn)在于作圖說理，說明為什么這樣畫；不同點(diǎn)在于說理的層次要求，即不同學(xué)段學(xué)生在說理時(shí)應(yīng)有不同的數(shù)學(xué)表達(dá)方式。小學(xué)階段的幾何作圖（特別是尺規(guī)作圖），在探索、交流畫法與依據(jù)的過程中應(yīng)進(jìn)行直觀說理。中學(xué)階段則要結(jié)合作圖過程與方法展開嚴(yán)謹(jǐn)證明?？傊W(xué)階段幾何作圖的內(nèi)容，從數(shù)學(xué)活動(dòng)過程本質(zhì)看是想象與推理；從目標(biāo)指向看是發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)推理意識。

二、幾何作圖內(nèi)容教學(xué)的實(shí)施路徑

幾何作圖，對于小學(xué)生而言，既有操作性、趣味性，又極具挑戰(zhàn)性。由于缺乏豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)支撐，需要給學(xué)生足夠的探索時(shí)間和空間，只有充分經(jīng)歷幾何作圖的過程，交流作圖的想法和感受，才利于學(xué)生收獲感悟與思維形成。幾何作圖的教學(xué)活動(dòng)實(shí)施可遵循以下基本路徑（圖1），通過不斷積累作圖經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生幾何直觀和推理意識，提高作圖能力。

1.明確作圖問題。以理解作圖要求為核心任務(wù)，弄清使用的工具以及所要求畫出的圖形特征。如作圖問題“用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”，使用的工具是無刻度的直尺（或不看直尺的刻度）和圓規(guī)；所畫的圖形是一條線段，并且同已知線段的長度相等。

2.認(rèn)識作圖工具。小學(xué)階段尺規(guī)作圖的工具，一般都要求使用無刻度的直尺和圓規(guī)。觀察、了解沒有刻度的直尺以及圓規(guī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，認(rèn)識它們在作圖中的功能，并熟練使用這些工具，是按要求作圖的基礎(chǔ)。如作圖問題“用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”，學(xué)生第一次使用尺規(guī)作圖，需要先認(rèn)識無刻度的直尺和圓規(guī)。教師可以設(shè)計(jì)一項(xiàng)讓學(xué)生觀察工具、自主畫線的活動(dòng)，認(rèn)識到用無刻度的直尺可以畫出一條直線，也可以利用作記號的方式，畫出一條給定長度的線段；認(rèn)識到用圓規(guī)可以畫圓弧或圓，用圓規(guī)兩腳可以比出線段的長度，知道圓弧上任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離都相等，也就是說用圓規(guī)可以畫出無數(shù)條長度相等的線段。隨著尺規(guī)作圖內(nèi)容的深入，如通過學(xué)習(xí)后續(xù)的“將三角形的三條邊畫到一條直線上\"“給定線段畫三角形\"等作圖問題，學(xué)生將進(jìn)一步感悟直尺和圓規(guī)在確定點(diǎn)、線等幾何基本元素的位置關(guān)系、長度關(guān)系時(shí)的作用。

3.設(shè)計(jì)實(shí)施作圖計(jì)劃。在學(xué)生知道了作什么圖、用什么工具作圖的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考如何作圖，即設(shè)計(jì)并實(shí)施作圖計(jì)劃。從活動(dòng)本質(zhì)上看，是學(xué)生初步探索作圖步驟和作圖方法的過程，體現(xiàn)“做中學(xué)”，而不是簡單灌輸作圖方法，更不是教師教一步，學(xué)生學(xué)一步。在這一階段，作圖步驟可能沒有層次，缺乏邏輯性，作圖方法也可能表現(xiàn)出不規(guī)范、不嚴(yán)密、低效率的特點(diǎn)，但也常常不乏創(chuàng)新性。在教學(xué)時(shí)，教師的主要任務(wù)是喚醒、調(diào)用學(xué)生已有的知識和作圖經(jīng)驗(yàn)，用自己的方式思考怎樣才能按照要求作出圖來，初步擬定一個(gè)作圖計(jì)劃。在實(shí)施作圖計(jì)劃時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生不斷進(jìn)行嘗試、反思、調(diào)整。

4.交流作圖方法。由于尺規(guī)作圖內(nèi)容的挑戰(zhàn)性，需要同伴之間交流分享個(gè)性化作圖方法，相互啟發(fā)。通過交流，比較異同，辨析優(yōu)劣，或找出關(guān)鍵問題，或生成新的方法。如作圖問題\"給定線段畫三角形”，在已知三邊作三角形時(shí)，學(xué)生基于自己的“經(jīng)驗(yàn)”常常會(huì)出現(xiàn)下面的方法：

第一種，通過作等長線段先作出三角形的兩條邊（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)已經(jīng)確定），再連接得到第三條邊。但是第三條邊的長度常常不與已知線段等長，需要調(diào)整一個(gè)頂點(diǎn)（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的位置，“湊”出第三條邊的長度。

第二種，通過作等長線段先作出三角形的一條邊（三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)已經(jīng)確定），再用直尺刻度量出另外兩條邊的長度，最后分別畫出滿足長度的多條線段去“湊”出第三個(gè)頂點(diǎn)的位置。

教師要引導(dǎo)學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)兩種方法的關(guān)鍵在于確定第三個(gè)頂點(diǎn)的位置，并讓學(xué)生使用圓規(guī)嘗試、操作尋找第三個(gè)頂點(diǎn)，通過及時(shí)反思、調(diào)整，發(fā)現(xiàn)第三個(gè)頂點(diǎn)應(yīng)該在兩條弧的交點(diǎn)處（如圖2中的頂點(diǎn) c ）。

圖2

（圖片來源：人教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊）

5.說明作圖依據(jù)。這一活動(dòng)的重點(diǎn)是反思作圖方法，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體圖形說明畫法的合理性，即為什么這樣畫出的圖形符合要求，從數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)看是直觀說理的過程。對于小學(xué)階段的作圖問題，能夠說出解決關(guān)鍵問題的依據(jù)即可。

再如作圖問題：畫出簡單圖形旋轉(zhuǎn) 90^° 后的圖形。

教材圖文結(jié)合，呈現(xiàn)了學(xué)生自主探索出的畫法，交流了畫圖的具體過程。但教學(xué)不能停留在具體畫法上，要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的作圖過程，說明為什么要“先畫點(diǎn) A^′′′？ 畫旋轉(zhuǎn)一定角度的圖形，是不是需要從角的概念出發(fā)，首先確定角的兩條邊的位置？具體地說是不是先確定OA邊繞 o 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 的位置，再確定點(diǎn)A^′ 的位置更合理？為什么確定了點(diǎn) 的位置后，連接 A^′?B^′ ，線段 A^′B^′ 就是三角形 _AB 邊繞 o 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 后的位置？如果這些問題認(rèn)識不清楚，幾何作圖問題就成了簡單的技能教學(xué)，課程內(nèi)容中關(guān)聯(lián)的相關(guān)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)也就失去了落實(shí)之地，幾何作圖的育人價(jià)值就會(huì)大打折扣。事實(shí)上，上述問題學(xué)生都可以結(jié)合具體圖形，用學(xué)過的知識加以說明。如點(diǎn) 分別是點(diǎn) A，B 繞 o 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 90^° 后的位置，已經(jīng)學(xué)過“兩點(diǎn)確定一條直線”連接 ，線段 A^′B^′ 就一定是 _AB 邊繞 o 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 后的位置。

6.總結(jié)作圖步驟。這一環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生回顧、反思、整理作圖過程：主要分為幾步，每一步的關(guān)鍵是什么。使學(xué)生的作圖技能進(jìn)階到規(guī)范化的層次，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、嚴(yán)密性。